2025年中考数学大题&几何压轴-专题10-三角形压轴(讲练)(原卷版).pdf

专题 10 三角形压轴目 录一、考情分析二、知识建构考点 三角形压轴【真题研析规律探寻】题型 01 与三角形有关的多结论问题（选/填）题型 02 与三角形有关的平移问题题型 03 与三角形有关的翻折问题题型 04 与三角形有关的旋转问题题型 05 与三角形有关的全等/相似问题题型 06 与三角形有关的最值问题题型 07 与三角形有关的动点问题题型 08 与三角形有关的新定义问题题型 09 与三角形有关的阅读理解问题题型 10 与三角形有关的存在性问题题型 11 三角形与几何图形综合题型 12 三角形与函数综合【核心提炼查漏补缺】【好题必刷强化落实】考点要求命题预测三角形压轴在中考中，涉及三角形压轴题的相关题目单独出题的可能性还是比较大的，多以选择、填空题型出现，但是三角形结合其它几何图形、函数出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.考点 三角形压轴题型 01 与三角形有关的多结论问题（选/填）1（2023内蒙古赤峰中考真题）如图，把一个边长为 5 的菱形沿着直线折叠，使点 C 与延长线上的点 Q 重合交于点 F，交延长线于点 E交于点 P，于点 M，=4，则下列结论，=，=3，=158，正确的是（）ABCD2（2023四川宜宾中考真题）如图，和 是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把 以为中心顺时针旋转，点为射线、的交点若=3，=1以下结论：=；当点在的延长线上时，=332；在旋转过程中，当线段最短时，的面积为12其中正确结论有（）A1 个B2 个C3 个D4 个3（2023湖北中考真题）如图，,和 都是等腰直角三角形，=90，点在 内，连接交于点,交于点，连接给出下面四个结论：=；=；=；=其中所有正确结论的序号是 4（2022黑龙江牡丹江中考真题）如图，在等腰直角三角形 ABC 和等腰直角三角形 ADE 中，=90，点 D 在 BC 边上，DE 与 AC 相交于点 F，垂足是 G，交 BC 于点 H下列结论中：=；22=；若=3 5，=5，则=3；2=，正确的是 题型 02 与三角形有关的平移问题1（2023四川攀枝花中考真题）如图 1，在 中，=2=8，沿方向向左平移得 到 ，A、对应点分别是、点是线段上的一个动点，连接，将线段绕点 A 逆时针旋转至线段，使得=，连接 (1)当点与点重合时，求的长；(2)如图 2，连接、在点的运动过程中：和是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由；当的长为多少时，能构成等腰三角形？2（2022广西贵港中考真题）已知：点 C，D 均在直线 l 的上方，与都是直线 l 的垂线段，且在的右侧，=2，与相交于点 O(1)如图 1，若连接，则 的形状为_，的值为_；(2)若将沿直线 l 平移，并以为一边在直线 l 的上方作等边 如图 2，当与重合时，连接，若=32，求的长；如图 3，当=60时，连接并延长交直线 l 于点 F，连接求证：3（2023湖北宜昌中考真题）如图，已知(0,2),(2,0)点E位于第二象限且在直线=2上，=90，=，连接，(1)直接判断 的形状：是_三角形；(2)求证：；(3)直线 EA 交 x 轴于点(,0),2将经过 B，C 两点的抛物线1=2+4向左平移 2 个单位，得到抛物线2若直线与抛物线1有唯一交点，求 t 的值；若抛物线2的顶点 P 在直线上，求 t 的值；将抛物线2再向下平移，2(1)2个单位，得到抛物线3若点 D 在抛物线3上，求点 D 的坐标题型 03 与三角形有关的翻折问题1（2022浙江绍兴中考真题）如图，在ABC 中，ABC=40，ACB=90，AE 平分BAC 交 BC 于点EP 是边 BC 上的动点（不与 B，C 重合），连结 AP，将APC 沿 AP 翻折得APD，连结 DC，记BCD=(1)如图，当 P 与 E 重合时，求 的度数(2)当 P 与 E 不重合时，记BAD=，探究 与 的数量关系2（2023宁夏中考真题）综合与实践问题背景数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究 探究发现如图 1，在 中，=36，=（1）操作发现：将 折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，则=_，设=1，=，那么=_（用含的式子表示）；（2）进一步探究发现：底腰=5 12，这个比值被称为黄金比在（1）的条件下试证明：底腰=5 12；拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形例如，图 1 中的 是黄金三角形如图 2，在菱形中，=72，=1求这个菱形较长对角线的长 3（2023辽宁大连中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质已知=,90，点为上一动点，将 以为对称轴翻折同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点落在上时，=2”小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题 1，请你回答：问题 1：在等腰 中，=,90,由 翻折得到 （1）如图 1，当点落在上时，求证：=2；（2）如图 2，若点为中点，=4,=3，求的长问题解决：小明经过探究发现：若将问题 1 中的等腰三角形换成 90的等腰三角形，可以将问题进一步拓展问题 2：如图 3，在等腰 中，点 D 在边上，将线段绕点 D 按顺时针方向旋转90得到，线段交于点 E，作 于点 F，与线段交于点 G，连接,(1)求证：；(2)求证：=；(3)若=8，tan=12，当平分四边形的面积时，求的长3（2022山西中考真题）综合与实践 问题情境：在 RtABC 中，BAC=90，AB=6，AC=8直角三角板 EDF 中EDF=90，将三角板的直角顶点 D 放在 RtABC 斜边 BC 的中点处，并将三角板绕点 D 旋转，三角板的两边 DE，DF 分别与边 AB，AC交于点 M，N，猜想证明：（1）如图，在三角板旋转过程中，当点 M 为边 AB 的中点时，试判断四边形 AMDN 的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图，在三角板旋转过程中，当=时，求线段 CN 的长；（3）如图，在三角板旋转过程中，当 AM=AN 时，直接写出线段 AN 的长4（2022湖南湘潭中考真题）在 中，=90，=，直线经过点，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、(1)特例体验：如图，若直线，=2，分别求出线段、和的长；(2)规律探究：如图，若直线从图状态开始绕点旋转(0 45)，请探究线段、和的数量关系并说明理由；如图，若直线从图状态开始绕点 A 顺时针旋转(45 90)，与线段相交于点，请再探线段、和的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图中，延长线段交线段于点，若=3，=1，求题型 05 与三角形有关的全等/相似问题1（2023四川成都中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究 在Rt 中，=90,=，D 是边上一点，且=1（n 为正整数），E 是边上的动点，过点D 作的垂线交直线于点 F 【初步感知】(1)如图 1，当=1时，兴趣小组探究得出结论：+=22，请写出证明过程【深入探究】(2)如图 2，当=2，且点 F 在线段上时，试探究线段，之间的数量关系，请写出结论并证明；请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）【拓展运用】(3)如图 3，连接，设的中点为 M若=2 2，求点 E 从点 A 运动到点 C 的过程中，点 M 运动的路径长（用含 n 的代数式表示）2（2023福建中考真题）如图 1，在 中，=90,=,是边上不与,重合的一个定点 于点，交于点是由线段绕点顺时针旋转90得到的，,的延长线相交于点 (1)求证：；(2)求的度数；(3)若是的中点，如图 2求证：=3（2023湖北黄冈中考真题）【问题呈现】和 都是直角三角形，=90,=,=，连接，探究，的位置关系 (1)如图 1，当=1时，直接写出，的位置关系：_；(2)如图 2，当 1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由【拓展应用】(3)当=3,=4 7,=4时，将 绕点 C 旋转，使,三点恰好在同一直线上，求的长题型 06 与三角形有关的最值问题1（2023湖北随州中考真题）1643 年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点 A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中处从“直角”和“等边”中选择填空，处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，处填写角度数，处填写该三角形的某个顶点）当 的三个内角均小于120时，如图 1，将 绕，点 C 顺时针旋转60得到 ，连接，由=，=60，可知 为 三角形，故=，又=，故+=+，由 可知，当 B，P，A 在同一条直线上时，+取最小值，如图 2，最小值为，此时的P 点为该三角形的“费马点”，且有=；已知当 有一个内角大于或等于120时，“费马点”为该三角形的某个顶点如图 3，若 120，则该三角形的“费马点”为 点(2)如图 4，在 中，三个内角均小于120，且=3，=4，=30，已知点 P 为 的“费马点”，求+的值；(3)如图 5，设村庄 A，B，C 的连线构成一个三角形，且已知=4km，=2 3km，=60现欲建一中转站 P 沿直线向 A，B，C 三个村庄铺设电缆，已知由中转站 P 到村庄 A，B，C 的铺设成本分别为 a元/km，a 元/km，2元/km，选取合适的 P 的位置，可以使总的铺设成本最低为_元（结果用含 a 的式子表示）2（2023重庆中考真题）如图，在等边 中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，将绕点顺时针旋转60得到线段，连接(1)如图 1，求证：=；(2)如图 2，连接交于点，连接，与所在直线交于点，求证：=；(3)如图3，连接交于点，连接，将 沿所在直线翻折至 所在平面内，得到 ，将 沿所在直线翻折至 所在平面内，得到 ，连接，若=4，直接写出+的最小值3（2022北京中考真题）在平面直角坐标系中，已知点(,),.对于点给出如下定义：将点向右(0)或向左(0)平移|个单位长度，再向上(0)或向下(0)平移|个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”(1)如图，点(1,1),点在线段的延长线上，若点(2,0),点为点的“对应点”在图中画出点；连接,交线段于点.求证：=12;(2)的半径为 1，是 上一点，点在线段上，且=(12 ，且=，=，求的度数；(2)如图 2，若=，且=，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转60得到线段，连接，点是的中点，连接在点，运动过程中，猜想线段，之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)若=，且=，将 沿直线翻折至 所在平面内得到 ，点是的中点，点是线段上一点，将 沿直线翻折至 所在平面内得到 ，连接在点，运动过程中，当线段取得最小值，且 时，请直接写出的值题型 08 与三角形有关的新定义问题1（2022山东青岛中考真题）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形例如：如图在 和 中，,分别是和边上的高线，且=，则 和 是等高三角形【性质探究】如图，用，分别表示 和 的面积则=12 ,=12，=:=:【性质应用】(1)如图，D 是 的边上的一点若=3,=4，则:=_；(2)如图，在 中，D，E 分别是和边上的点若:=1:2，:=1:3，=1，则=_，=_；(3)如图，在 中，D，E 分别是和边上的点，若:=1:，:=1:，=，则=_2（2021山东东营中考真题）已知点 O 是线段 AB 的中点，点 P 是直线 l 上的任意一点，分别过点 A 和点 B 作直线 l 的垂线，垂足分别为点 C 和点 D我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”（1）猜想验证如图 1，当点 P 与点 O 重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC 和 OD 的数量关系是_（2）探究证明如图 2，当点 P 是线段 AB 上的任意一点时，“足中距”OC 和 OD 的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展延伸如图 3，当点 P 是线段 BA 延长线上的任意一点时，“足中距”OC 和 OD 的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；若=60，请直接写出线段 AC、BD、OC 之间的数量关系 题型 09 与三角形有关的阅读理解问题1（2022吉林中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整【作业】如图，直线12，与 的面积相等吗？为什么？解：相等理由如下：设1与2之间的距离为，则=12 ，=12 =【探究】(1)如图，当点在1，2之间时，设点，到直线2的距离分别为，则=证明：(2)如图，当点在1，2之间时，连接并延长交2于点，则=证明：过点作 ，垂足为，过点作 ，垂足为，则=90，=由【探究】（1）可知=，=(3)如图，当点在2下方时，连接交2于点若点，所对应的刻度值分别为 5，1.5，0，的值为 2（2022贵州黔东南中考真题）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图，和 都是等边三角形，点在上求证：以、为边的三角形是钝角三角形(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明=，=120，从而得出 为钝角三角形，故以、为边的三角形是钝角三角形请你根据小明的思路，写出完整的证明过程(2)【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上 试猜想：以、为边的三角形的形状，并说明理由若2+2=10，试求出正方形的面积题型 10 与三角形有关的存在性问题1（2020湖南湘潭中考真题）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心 （1）特例感知：如图（一），已知边长为 2 的等边 的重心为点，求 与 的面积（2）性质探究：如图（二），已知 的重心为点，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由（3）性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点若正方形的边长为 4，求的长度；若=1，求正方形的面积2（2023四川甘孜中考真题）如图，在Rt 中，=3 2，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转90得到，连接，(1)求证：；(2)若=2时，求的长；(3)点在上运动时，试探究2+2的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由3（2023北京中考真题）在 中、=(0 45)，于点 M，D 是线段上的动点（不与点 M，C 重合），将线段绕点 D 顺时针旋转2得到线段 (1)如图 1，当点 E 在线段上时，求证：D 是的中点；(2)如图 2，若在线段上存在点 F（不与点 B，M 重合）满足=，连接，直接写出的大小，并证明4（2023黑龙江齐齐哈尔中考真题）综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地 (1)发现问题：如图 1，在 和 中，=，=，=30，连接，延长交于点则与的数量关系：_，=_；(2)类比探究：如图 2，在 和 中，=，=，=120，连接，延长，交于点请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图 3，和 均为等腰直角三角形，=90，连接，且点，在一条直线上，过点作 ，垂足为点则，之间的数量关系：_；(4)实践应用：正方形中，=2，若平面内存在点满足=90，=1，则=_ 题型 11 三角形与几何图形综合1（2023江苏镇江中考真题）【发现】如图 1，有一张三角形纸片，小宏做如下操作：（1）取，的中点 D，E，在边上作=；（2）连接，分别过点 D，N 作 ，垂足为 G，H；（3）将四边形剪下，绕点 D 旋转180至四边形的位置，将四边形剪下，绕点 E 旋转180至四边形的位置；（4）延长，交于点 F小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：点 Q，A，T 在一条直线上；四边形是矩形；四边形与 的面积相等【任务 1】请你对结论进行证明【任务 2】如图 2，在四边形中，P，Q 分别是，的中点，连接求证：=12(+)【任务 3】如图 3，有一张四边形纸，=2，=8，=9，sin=45，小丽分别取，的中点 P，Q，在边上作=，连接，她仿照小宏的操作，将四边形分割、拼成了矩形若她拼成的矩形恰好是正方形，求的长2（2022浙江金华中考真题）如图，在菱形中，=10,sin=35，点 E 从点 B 出发沿折线 向终点 D 运动过点 E 作点 E 所在的边（或）的垂线，交菱形其它的边于点 F，在的右侧作矩形 (1)如图 1，点 G 在上求证：=(2)若=，当过中点时，求的长(3)已知=8，设点 E 的运动路程为 s当 s 满足什么条件时，以 G，C，H 为顶点的三角形与 相似（包括全等）？3（2023贵州中考真题）如图，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，=,=90，过点作射线 ，垂足为，点在上 (1)【动手操作】如图，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转90与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_度；(2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转90与交于点，探究线段,之间的数量关系，并说明理由题型 12 三角形与函数综合1（2023黑龙江齐齐哈尔中考真题）综合与探究如图，抛物线=2+上的点 A，C 坐标分别为(0,2)，(4,0)，抛物线与 x 轴负半轴交于点 B，点 M为 y 轴负半轴上一点，且=2，连接，(1)求点 M 的坐标及抛物线的解析式；(2)点 P 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，当=时，求点 P 的坐标；(3)点 D 是线段(包含点 B，C)上的动点，过点 D 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 Q，交直线于点 N，若以点 Q，N，C 为顶点的三角形与 相似，请直接写出点 Q 的坐标；(4)将抛物线沿 x 轴的负方向平移得到新抛物线，点 A 的对应点为点，点 C 的对应点为点，在抛物线平移过程中，当+的值最小时，新抛物线的顶点坐标为_，+的最小值为_2（2022辽宁沈阳中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数=+的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点(0,9)，与直线 OC 交于点(8,3)(1)求直线 AB 的函数表达式；(2)过点 C 作 轴于点 D，将 沿射线 CB 平移得到的三角形记为 ，点 A，C，D 的对应点分别为，若 与 重叠部分的面积为 S，平移的距离=，当点与点 B 重合时停止运动若直线交直线 OC 于点 E，则线段的长为_（用含有 m 的代数式表示）；当0 0)与 x 轴交于点 A，与抛物线:=2交于 B，C 两点（B 在 C 的左边）(1)求 A 点的坐标；(2)如图 1，若 B 点关于 x 轴的对称点为点，当以点 A，C 为顶点的三角形是直角三角形时，求实数 a的值；(3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如(2,1)，(2,0)等均为格点如图2，直线 l 与抛物线 E 所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是 26 个，求 a 的取值范围一、全等三角形的判定 二、相似三角形的性质与判定相似三角形的判定方法：1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似2）两个三角形相似的判定定理：三边成比例的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.相似三角形的性质：1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3）相似三角形周长的比等于相似比.4）相似三角形面积比等于相似比的平方.判定两个三角形相似需要根据条件选择方法有时条件不具备，需从以下几个方面探求：1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例1（2023北京中考真题）如图，点 A、B、C 在同一条线上，点 B 在点 A，C 之间，点 D，E 在直线 AC同侧，=90，连接 DE，设=，=，=，给出下面三个结论：+2+2；2(+)；上述结论中，所有正确结论的序号是（）ABCD2（2023四川遂宁中考真题）如图，在 中，=10，=6，=8，点 P 为线段上的动点，以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 向点 B 移动，到达点 B 时停止过点 P 作 于点 M、作 于点 N，连接，线段的长度 y 与点 P 的运动时间 t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点 E的坐标为（）A 5，5B 6,245C325,245D325,53（2023湖北鄂州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为原点，=3 5，点为平面内一动点，=32，连接，点是线段上的一点，且满足:=1:2当线段取最大值时，点的坐标是（）A35,65B355,655C65,125D655,12554（2023湖北武汉中考真题）如图，平分等边 的面积，折叠 得到 ,分别与,相交于,两点若=,=，用含,的式子表示的长是 5（2023浙江嘉兴中考真题）一副三角板和中，=90，=30，=45，=12将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点 G（如图 1），此时线段的长是 ，现将 绕点()按顺时针方向旋转（如图 2），边与相交于点 H，连结，在旋转0到60的过程中，线段扫过的面积是 6（2023黑龙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点 A 在直线1:=33上，顶点 B在 x 轴上，垂直轴，且=2 2，顶点在直线2:=3上，2；过点作直线2的垂线，垂足为1，交 x 轴于1，过点1作11垂直 x 轴，交1于点1，连接11，得到第一个 111；过点1作直线2的垂线，垂足为2，交 x 轴于2，过点2作22垂直 x 轴，交1于点2，连接22，得到第二个 222；如此下去，则 202320232023的面积是 7（2023黑龙江大庆中考真题）如图，在 中，将绕点 A 顺时针旋转至，将绕点 A 逆时针旋转至(0 180,0 180)，得到 ，使+=180，我们称 是 的“旋补三角形”，的中线叫做 的“旋补中线”，点 A 叫做“旋补中心”下列结论正确的有 与 面积相同；=2；若=，连接和，则+=180；若=，=4，=6，则=108（2023重庆中考真题）如图，在等边 中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，将绕点顺时针旋转60得到线段，连接 (1)如图 1，求证：=；(2)如图 2，连接交于点，连接，与所在直线交于点，求证：=；(3)如图3，连接交于点，连接，将 沿所在直线翻折至 所在平面内，得到 ，将 沿所在直线翻折至 所在平面内，得到 ，连接，若=4，直接写出+的最小值9（2023河北中考真题）如图 1 和图 2，平面上，四边形中，=8,=2 11,=12,=6,=90，点在边上，且=2将线段绕点顺时针旋转(0 0)，连接 (1)若点在上，求证：=；(2)如图 2连接求的度数，并直接写出当=180时，的值；若点到的距离为2，求tan的值；(3)当0 8时，请直接写出点到直线的距离（用含的式子表示）10（2023重庆中考真题）在Rt 中，=90，=60，点为线段上一动点，连接 (1)如图 1，若=9，=3，求线段的长(2)如图 2，以为边在上方作等边 ，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点 若=，求证：=+(3)在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边 点为所在直线上一点，将 沿所在直线翻折至 所在平面内得到 连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将 沿所在直线翻折至 所在平面内得到 ，请直接写出此时的值11（2023广西中考真题）【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘【动手操作】如图 1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点 B落在上，并使折痕经过点 A，得到折痕，点 B，E 的对应点分别为，展平纸片，连接，请完成：(1)观察图 1 中1，2和3，试猜想这三个角的大小关系；(2)证明（1）中的猜想；【类比操作】如图 2，N 为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点 P，折叠纸片，使 B，P 两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点 B，P 分别落在，上，得到折痕 l，点 B，P 的 对应点分别为，展平纸片，连接，请完成：(3)证明是的一条三等分线12（2023广西中考真题）如图，是边长为 4 的等边三角形，点 D，E，F 分别在边，上运动，满足=(1)求证：；(2)设的长为 x，的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述 的面积随的增大如何变化13（2023江苏中考真题）如图，二次函数=122+4的图像与 x 轴相交于点(2,0)、，其顶点是 C (1)=_；(2)D 是第三象限抛物线上的一点，连接 OD，tan=52；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点 D，过点(,0)作 x 轴的垂线 l已知在 l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求 k 的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点 Q，且其顶点 P 落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ已知 是直角三角形，求点 P 的坐标