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大题 01 数与式及方程（组）中的计算问题（8 大题型）数与式及方程（组）中的计算问题是中考的必考内容，该部分内容涉及知识点较多，但是考题相对简单，所以需要学生在复习这部分内容时，扎实掌握好基础，在书写计算步骤时注意细节，避免因为粗心而丢分.+题型一：实数与根式的计算1（2023湖南张家界中考真题）计算：|3|(4 )02sin60+151【答案】4【分析】先化简绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，然后计算加减法即可【详解】解：原式=3 1 2 32+5=4【点睛】题目主要考查绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，熟练掌握各个运算法则是解题关键2（2023湖北宜昌一模）已知实数，在数轴上的位置如图所示(1)若|=|，则+=，=(2)化简：2+3(+)3|【答案】(1)0，1(2)【分析】（1）根据，异号且绝对值相等，可得，互为相反数，进而可得结果；（2）根据数轴上，的位置和大小关系，再由绝对值的性质去掉绝对值符号，进行计算即可【详解】（1）由数轴可知，0 ，|=|，+=0，=1（2）0 b|a-b|=0 a=b|a-b|=b-aab3）特殊的三角函数要记牢.4）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号1（2022湖南娄底中考真题）计算：(2022 )0+(12)1+|1 3|2sin60【答案】2【分析】分别计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，然后按照去括号、先乘除后 加减的顺序依次计算即可得出答案【详解】解：(2022-)0+(12)-1+|1 3|2sin60=1+2 (1 3)2 32=1+2 1+3 3=2【点睛】此题考查实数的混合运算，包含零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值熟练掌握相关运算的运算法则以及整体的运算顺序是解决问题的关键2（2023湖北宜昌一模）已知 a，b 满足 +1+|1|=0，求2022+20234的平方根【答案】6【分析】根据 +1+|1|=0，可得=1，=1，再求解2022+20234的值，结合平方根的含义可得答案【详解】解：+1+|1|=0，+1=0，1=0，=1，=1，2022+2023+4=1+1+4=6，2022+20234的平方根为 6【点睛】本题考查的是非负数的性质，算术平方根的含义，平方根的含义，熟练的求解=1，=1是解本题的关键3（23-24 九年级上四川眉山阶段练习）已知实数、在数轴上的位置如图所示，化简：2|+|+()2()2【答案】化简得 a【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质，绝对值的意义，利用数轴确定出,+,的符号，再利用绝对值的意义化简运算即可，利用数轴确定出,+,的符号是解题的关键【详解】由题意得：0 ，+0,0，2|+|+()2()2 =+()=+=题型二：代数式的混合计算1（2023青海西宁中考真题）计算：(2 3)2(+5)(5)【答案】3212+34【分析】运用完全平方公式，平方差公式及整式的加减运算法则处理；【详解】解：原式=(42 12+9)(2 25)=4212+9 2+25 =3212+34.【点睛】本题考查整式的运算，掌握乘法公式以简化运算是解题的关键2（2023湖北襄阳中考真题）化简：1 1221【答案】1【分析】先根据同分母分式相加减法则计算，再利用提公因式和平方差公式分解因式，把除法换成乘法，即可求解；【详解】解：原式=1 1 1(1)(1)(1)=1+1+1=1【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键3（2024黑龙江大庆一模）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式(1)求整式 P (2)将整式因式分解(3)的最小值为_【答案】(1)4216(2)4(+2)(2)(3)16【分析】本题考查多项式的加减、因式分解和最小值的计算，熟练掌握多项式的加减运算规则和因式分解的方法是解决本题的关键（1）直接求和即可；（2）根据平方差公式分解因式；（3）由2 0即可判断的最小值为 16【详解】（1）解：=324 20+(+2)2=32 4 20+2+4+4=4216（2）4216=4(24)=4(+2)(2)（3）=4216，2 0，当=0时，的最小值为 161）幂的运算 2）乘法公式3）因式分解 1（2024重庆模拟预测）计算：(1)(+2)(2)+()2(2)1 3 124 4 1【答案】(1)222 32(2)2 2【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算，乘法公式（1）根据乘法公式计算，再合并同类项即可；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可【详解】（1）解：(+2)(2)+()2=2 42+2 2+2=222 32；（2）解：1 3 124 4 1 =2 1+13+1(2)2+1=(+2)(2)+1+1(2)2=2 22（2024湖南模拟预测）已知整式=42+4 24(1)将整式分解因式；(2)求证：若取整数，则能被4整除【答案】(1)4(+3)(2)；(2)证明见解析【分析】（1）利用配方法把42+4配成一个完全平方式，再利用平方差公式因式分解即可；（2）利用（1）的结果即可求证；本题考查了因式分解及其应用，掌握因式分解的方法是解题的关键【详解】（1）解：=(42+4+1)25 =(2+1)2 52，=(2+1)+5(2+1)5，=4(+3)(2)；（2）证明：取整数，+3和 2均为整数，又由（1）可知，=4(+3)(2)，能被4整除题型三：化简求值1（2023山东淄博中考真题）先化简，再求值：(2)2+(5 )42，其中=5 12，=5 12【答案】；1【分析】直接利用整式的混合运算法则化简进而合并得出答案【详解】原式=2+424 2+5 42=,当 =5 12,=5 12时,原式=5 125 12=44=1【点睛】此题主要考查了整式的混合运算二次根式的运算，正确合并同类项是解题关键2（2023辽宁丹东中考真题）先化简，再求值：2122 11 13 1，其中=121+(3)0【答案】3，1【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，根据负整数幂和 0 次幂的运算法则，求出 x 的值，最后将 x 的值代入计算即可【详解】解：2122 11 13 1=(+1)(1)(1)2 1(1)2 13=(1)(1)2 13=3，=121+(3)0=2+1=3，原式=3=33=1【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则，以及负整数幂和 0 次幂的运算法则是解题的关键化简求值常见方法汇总：1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值.2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值.3.整体代入法：观察已知代数式和所求代数式的关系.利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系.把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值 5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值 例如：若几个非负数的和为 0，则每个非负数的值均为 0 已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值.6.利用“无关”求值：若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为 0；若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的符号9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值12.利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母13.利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值1（2024广西桂林一模）先化简，再求值：(2 22 3)(+)()，其中=32，=2【答案】2，6【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键先分别利用多项式除以单项式、平方差公式进行计算，然后合并同类项，最后代入数值进行计算即可【详解】解：原式=2 22 3 (2 2)=2 2 2 2+2=2；当=32，=2时，原式=2 32 2=62（2024山东滨州一模）先化简再求值：2 12 1 1，其中=(3 1)0+121+52|1|【答案】2,5【分析】本题考查了分式的化简求值，求算术平方根，负整数指数幂以及零指数幂等知识点，根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将原式中除法转化成乘法，然后利用乘法分配律展开计算，然后化简合并，代入数据计算即可，熟练灵活运用公式是解决此题的关键【详解】解：2 12 1 1=2 12 1 1=2 1 12 1 1=2，当=(3 1)0+121+52|1|=1+2+5 1=2+5时，原式=2+5 2=53（2024四川广元二模）先化简，再求值：2221 +1 2 1 1，其中 x 是不等式组2(1)+2，2+4 1 的整数解【答案】1 1，14【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，先根据分式的混合计算法则化简，然后解不等式组求出不等式组的整数解，再根据分式有意义的条件确定 x 的值，最后代值计算即可【详解】解：2221 +1 2 1 1，=(2)(+1)(1)2 1 2+1 1=(2)(+1)(1)1(2)=1 12(1)+22+4 1 解不等式得：4，解不等式得：1，不等式组的解集为 1 4，x 为整数且+1 0，1 0，0，2 0，=3，原式=13 1=144（2024黑龙江哈尔滨一模）先化简，再求代数式 222 124 4 422的值，其中=2(tan45 cos30)【答案】1 2，33【分析】本题考查特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键先化简括号内的式子，再算括号外的乘除法，最后将求出 x 的值代入化简后的式子计算即可【详解】解：原式=2(2)1(2)2 4(2)=2 4(2)22(2)2(2)4=4(2)2(2)4=1 2，当=2(tan45 cos30)=2 1 32=2 3时，原式=123 2=33题型四：解方程（组）相关计算1.解关于 x 的一元一次方程：4 351=2 23【答案】=7【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解【详解】解：4 351=2 23去分母得3(4 3)15=5(2 2)，去括号得12 9 15=10 10，移项得12 10=24 10，合并同类项得2=14，=7【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键2.（2023江苏连云港中考真题）解方程组3+=82 =7 【答案】=3=1【分析】方程组运用加减消元法求解即可【详解】解：3+=82 =7+得5=15，解得=3，将=3代入得3 3+=8，解得=1原方程组的解为=3,=1.【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，方法主要有：代入消元法和加减消元法3（2023江苏连云港中考真题）解方程：2 5 2=3 3 23【答案】=4【分析】方程两边同时乘以 x2，再解整式方程得 x4，经检验 x4 是原方程的根【详解】解：方程两边同时乘以 x2 得，2 5=3 3 3(2)，解得：=4检验：当=4时，2 0，=4是原方程的解，原方程的解为 x4【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏对根的检验是解题的关键4（2023广东广州中考真题）解方程：26+5=0【答案】1=1，2=5【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可【详解】解：26+5=0，(1)(5)=0，1=0或 5=0，1=1，2=5【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键1）解方程的一般步骤：去分母-移项-合并同类项-系数化为 1；2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的解法选择：当 a=1，b 为偶数，c0 时，首选配方法；当b=0 时，首选直接开平方法；当c=0 时，可选因式分解法或配方法；当a=1，b0，c0 时，可选配方法或因式分解法；当a1，b0，c0 时，可选公式法或因式分解法.3）解分式方程时易错点：去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为 0 的根，它不是原分式方程的根解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.分式方程有增根与无解并非是同一个概念分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.1（2023浙江一模）解方程：3 231=5 46【答案】=1.5【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为 1 的步骤，进行解答即可【详解】解：去分母，得：6 4 6=5 4，移项，得：6+4=5+4+6，合并同类项，得：10=15，系数化为 1，得：=1.5【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是在掌握解一元一次方程的方法和步骤2（2023陕西西安二模）解方程组：2 13=1,4 =8.【答案】=125=85【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可【详解】解：方程组整理得：3 2=44 =8，2 得：5=12，解得：=125，把=125代入得：485=8，解得：=85，则方程组的解为=125=85【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法3（2023江苏连云港模拟预测）解下列方程：（1）3 5 2=1 12；（2）24+3=0【答案】（1）原方程无解；（2）1=3，2=1【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，解题的关键是：（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解；（2）利用配方法求解即可【详解】解：（1）两边都乘以 2，得：3 5=2+1，解得=2，经检验=2是原方程的增根，所以原方程无解；（2）24+3=0，24=3，24+4=3+4，即(2)2=1，2=1或 2=1，解得1=3，2=1题型五：解一元一次不等式组（2023江苏中考真题）解不等式组4 8 0,1 3 +1，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解 【答案】1 2，整数解为：0，1，2【分析】先分别求出两个不等式的解集，再写出不等式组的解集，进而即可得到答案【详解】解：4 8 01 3 1，故不等式组的解集为：1 b，则 ac bc若 ab，则 ac b,c0，则 acbc（或）基本性质 3若 ab,c0，则 acbc（或 +33 25，并写出它的所有整数解【答案】1 1，解不等式，得 3，在同一条数轴上表示不等式的解集，原不等式组的解集是 1 2(2)=3【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出24 0，把字母和数代入求出的取值范围；（2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值【详解】（1）解：24=224 1 (3 )=8+4，有两个不相等的实数，8+4 0，解得：2；（2）方程的两个根为，=3 ，2=3 +3，解得：1=3，2=1（舍去）即：=3【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握1，2是方程2+=0的两根时，1+2=，1 2=2（2023四川南充中考真题）已知关于 x 的一元二次方程2(2 1)32+=0(1)求证：无论 m 为何值，方程总有实数根；(2)若1，2是方程的两个实数根，且21+12=52，求 m 的值【答案】(1)见解析(2)25或1【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定 0即可得到答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到1+2=2 1，12=32+，整体代入得到2+2 3=0求解即可得到答案【详解】（1）证明：关于的一元二次方程2(2 1)32+=0，=1，=(2 1)，=32+，=24=(2 1)24 1 (32+)=(4 1)2，(4 1)2 0，即 0，不论为何值，方程总有实数根；（2）解：1，2是关于 x 的一元二次方程2(2 1)32+=0的两个实数根，1+2=2 1，12=32+，21+12=122212=(12)221212=52，(12)212=12，(2 1)232=12，整理，得527+2=0，解得1=25，2=1，m 的值为25或1【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键1）根的判别式求根公式的使用条件：a0 且0.使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定 a,b,c 的值.利用判别式可以判断方程的根的情况,反之,当方程：1）有两个不相等的实数根时,0;2）有两个相等的实数根时,=0;3）没有实数根时,0时，方程有两个不相等的实数根；当24=0时，方程有两个相等的实数根；当24 0时，方程没有实数根以及一元二次方程2+=0(0)根与系数关系：1+2=,1 2=（1）根据题意进行分类讨论：当=0时，当 0时；（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出1+2=2 1，12=2，进而得出11+12=1212=2，列出方程求解即可【详解】（1）解：当=0时，方程变形为+2=0，方程有实数根；当 0时，=(2+1)24 2=(2 1)2，(2 1)2 0，0，当 0时，方程有实数根，无论 k 取任何实数时，方程总有实数根；（2）解：存在，设方程两根为1、2，则1+2=2 1，12=2，11+12=1212=2，2 12=2解得：=52故存在实数 k 使方程两根的倒数和为 22（2023江西新余一模）关于 x 的方程2(2+1)+2=0(1)如果方程有实数根，求 k 的取值范围；(2)设1和2是方程的两根，且21+22=6+12，求 k 的值【答案】(1)14(2)=1【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、分式方程的解法以及根的判别式等知识，解题的关键是：（1）牢记“当 0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合已知得出关于 k 的方程（1）根据题意可得根的判别式 0，进而可得关于 k 的不等式，解之即可得出 k 的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得1+2=2+1，12=2，结合21+22=6+12，即可得出关于 k 的方程，解之经检验即可得出 k 的值【详解】（1）解：关于 x 的方程2(2+1)+2=0有实数根，=(2+1)242 0，解得：14（2）1和2是方程2(2+1)+2=0的两根，1+2=2+1，12=2，21+22=6+12，即(1+2)2=6+312，(2+1)2=6+32，整理得：2+4 5=0，解得：=5或=1，又 14，=1 题型七：新定义问题（2023山东枣庄中考真题）对于任意实数 a，b，定义一种新运算：=(2)+6(14，求的取值范围【答案】(1)15(2)2+2【分析】（1）根据题中的新定义，代入数据，根据有理数的混合运算进行计算即可求解；（2）根据题意，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解【详解】（1）解：根据题中的新定义，得原式=5 (2)2+5 (2)+5=20 10+5=15（2）已知不等式利用题中的新定义化简，得(2)22+2(2)+2 14，整理，得7 14+7 2，解得 2+2【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，解一元一次不等式，实数的混合运算，熟练掌握是解题的关键2（2023江苏盐城一模）定义：若两个分式的和为 n（n 为正整数），则称这两个分式互为“N分式”例如.分式3 1与31 互为“三分式”(1)分式12 3 2与_互为“六分式”；(2)若分式 42与222互为“一分式”（其中 a，b 为正数），求 ab 的值；(3)若正数 x，y 互为倒数，求证：分式5 2与52互为“五分式”【答案】(1)6 113 2(2)=12 (3)见解析【分析】（1）根据新定义，用6 12 3 2即可求解；（2）根据定义可得 42+222=1，根据分式的加减进行计算，即可求解；（3）根据题意首先利用倒数关系，将、进行消元，然后两分式相加计算得到结果，利用新定义即可判断【详解】（1）解：依题意，6 12 3 2=18 12 12 3 2=6 113 2，分式12 3 2与6 113 2互为“六分式”，故答案为：6 113 2；（2）解：分式 42与222互为“一分式”42+222=1即(22)2(42)(42)(22)=13+2+2+83=3+2+422+83，即422=2，a，b 为正数=12（3）正数 x，y 互为倒数，=15 2+52=512+521=5331+531=5(31)31=5分式5 2与52互为“五分式【点睛】本题主要考查了分式的加法，正确理解题意并掌握分式通分、约分运算方法是解决本题的关键3（2023河北沧州模拟预测）定义新运算：对于任意实数 m、n 都有=3，例如42=4 2 3 2=8 6=2，请根据上述知识解决下列问题(1)2 4，求 x 取值范围；(2)若 14=3，求 x 的值；(3)若方程=6，中是一个常数，且此方程的一个解为=1，求中的常数 【答案】(1)5(2)=9(3)52【分析】（1）根据题意列出不等式进行计算即可；（2）根据题意列出方程进行计算即可；（3）设中的常数为 y，根据题意列出关于 y 的方程，解方程即可【详解】（1）解：2 4，2 3 2 4，解得：5（2）解：14=3，14 3 14=3，解得：=9（3）解：设中的常数为，根据题意得：3=6，此方程的一个解为=1，3=1 6，解得：=52【点睛】本题主要考查了新定义运算，解不等式，解一元一次方程，解题的关键是理解题意列出相应的不等式或方程4（22-23 九年级上河北石家庄期末）在实数范围内定义新运算“”，其规则为：=2，根据这个规则，解决下列问题：(1)求(+2)5=0中的值；(2)证明：(+)5=0中，无论 m 为何值，x 总有两个不同的值【答案】(1)2或 3(2)见解析【分析】（1）根据题意的运算法则可得出关于 x 的一元二次方程，解出该方程的解即可；（2）根据题意的运算法则可得出关于 x 的一元二次方程，再根据其根的判别式计算，即可证明【详解】（1）解：由题意可得：(+2)5=(+2)25(+2)=0，整理，得：2 6=0，解得：1=2，2=3故的值为 2或 3；（2）由题意可得：(+)5=(+)25(+)=0，整理，得：2+(2 5)+25=0，=24=(2 5)24(25)=25 0，无论 m 为何值，方程2+(2 5)+25=0总有两个不相等的实数根，即无论 m 为何值，x 总有两个不同的值【点睛】本题考查解一元二次方程，由一元二次方程根的判别式判断其根的情况读懂题意，掌握新定义的运算法则是解题关键题型八：比较大小（2023江苏盐城中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：已知3 0，=，=1 3，试比较与的大小小华：整式的大小比较可采用“作差法”.老师：比较2+1与2 1的大小小华：(2+1)(2 1)=2+1 2+1=(1)2+1 0，2+1 2 1老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？(1)请用“作差法”完成老师提出的问题(2)比较大小：2368_2265（填“”“=”或“(2)0，3(3)0，；（2）解：23682265=1495442014964420=144200，23682265故答案为：0ab；a-b=0a=b；a-b0ab2ab对任意负实数 a，b，若 a2b2a1/b，ab0，则 a1ab,a/bb3)任意负实数 a，b，a/b1ab,a/bb1（2023浙江温州模拟预测）观察下面的等式：2312=16，3423=112，4534=120，5645=130(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的(3)请用以上规律比较2022202320212022与2021202220202021的大小 【答案】(1)1 2 1=1(2)(1)(2)见解析(3)2022202320212022 2022 2021，120232022120222021，202220232021202220212022202020212（22-23 九年级下河北保定阶段练习）观察以下 10 个乘积，回答下列问题 11 29；12 28；13 27；14 26；15 25；16 24；17 23；18 22；19 21；20 20探究：经探究发现以上各乘积均可以写成平方差的形式例如：11 29=2 2=(+)()，列出方程组，解，的值即可按照以上思路写出“将11 29写成平方差的形式”的完整过程；探究：观察以上 10 个乘积，当+=40时，_202；（比较大小）拓展：当+=时，比较与22的大小，并说明理由【答案】探究：11 29=202 92；发现：；拓展：当+=时，22；理由见解析【分析】探究：根据题意，列出二元次方程，解题即可；发现：利用二次根式和完全平方公式解题即可；拓展：利用比差法解题即可【详解】解：探究：11 29=2 2=(+)()，则+=29 =11，解得=20,=9,11 29=202 92；发现：2 0+2 0，即40 2 0，202，故答案为：；拓展：当+=时，22；理由：22=22=22 24=()24 0，22【点睛】本题考查解二元一次方程组，二次根式和完全平方公式，掌握运算方法是解题的关键1（2024黑龙江齐齐哈尔一模）（1）计算：132+38+|3 2|+4sin60+123 （2）分解因式：23+12218【答案】（1）11（2）2(3)2【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及综合提公因式以及公式法分解因式（1）本题主要考查实数的混合运算，先计算负整数指数幂、立方根、绝对值和三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得（2）先提公因式再利用完全平方公式进行分解因式【详解】解：（1）132+38+|3 2|+4sin60+123=9+(2)+2 3+4 32+12+3=9 3+2 3+2 322(3)2=9+3+2 3=11（2）23+12218=2(2 6+9)=2(3)22（2024江苏扬州一模）解不等式组：2+1 32+1 34 1，并求出它的所有整数解的和【答案】3 1，这个不等式组的所有整数解的和为 6【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键分别求出不等式组中两个不等式的解集，即可得出不等式组的解集，再求出所有整数解，即可求出答案；【详解】解：解不等式得，1，解不等式得，3，不等式组的解集是 3 或 0，2+1 2 1(1)已知2 3 0，=，=2 3，试比较 M 与 N 的大小(2)比较大小：79118_77115（填“”“=”或“”）【答案】(1)(2)3 0，3 0，0，（2）解：7911877115=79115 77118118115，79 115 77 118=1，7911877115，故答案为：9（23-24 九年级上四川宜宾期末）实数 a 在数轴上的对应点的位置如图所示(1)化简：(+1)2=_；1=_(2)若最简二次根式 2+与3 6是同类二次根式，求 a 的值【答案】(1)1，(2)3【分析】本题主要考查最简二次根 及二次根式的化简，数轴，解答的关键是对相应的知识的掌握（1）由数轴可得 1，再根据二次根式的性质进行求解即可；（2）根据最简二次根式和同类二次根式的定义列方程求解即可【详解】（1）由数轴得：3，代数式：=228，=32+6，=342+4(1)因式分解 A；(2)在 A，B，C 中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式【答案】(1)2(+2)(2)(2)见解析【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可【详解】（1）解：=228=2(2 4)=2(+2)(2)；（2）解：当选择 A、B 时：=326228=3(2)2(2)(2)=32 4，=228326=2(2)(2)3(2)=2 43；当选择 A、C 时：=3424228=(2)22(2)(2)=222 4，=2283424=2(2)(2)(2)2=2 422；当选择 B、C 时：=3424326=(2)23(2)=24 43 6，=3263424=3(2)(2)2=3 624 4【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法5（2023浙江衢州中考真题）小红在解方程73=4 16+1时，第一步出现了错误：解：2 7=(4 1)+1，(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处(2)写出你的解答过程【答案】(1)见解析；(2)=12.【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为 1，求出解（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；（2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成 1 即可求解【详解】（1）（2）解：73=4 16+1，去分母，得，2 7=4 1+6，移项，得：14 4=1+6，合并同类页，得：10=5，解得：=126（2023青海中考真题）为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏：(1)解不等式组：2 1 2；(2)当 m 取（1）的一个整数解时，解方程22 =0.【答案】(1)1 4(2)1=1+3，2=1 3（答案不唯一）【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；（2）根据(1)中不等式的解集得出的一个值，求出的值即可【详解】（1）解：由得，1，故不等式组组的解集为：1 4（2）由(1)知1 4，令=2，则方程变为22 2=0，=(2)24 1 (2)=12，=2 1221=22 32=1 3，1=1+3，2=1 3（答案不唯一）【点睛】本题考查的是解一元二次方程及解一元一次不等式组，先根据题意得出的取值范围是解题的关键7（2023江苏徐州中考真题）（1）解方程组=4+12 5=8（2）解不等式组4 5 3 132 15【答案】（1）=9=2；（2）8 2【分析】（1）利用代入法解二元一次方程组即可；（2）求出每个不等式的解集，取每个不等式解集的公共部分即可【详解】解：（1）=4+12 5=8把代入得，2(4+1)5=8，解得=2，把=2代入得，=4 2+1=9，=9=2；（2）4 5 3 13 8，不等式组的解集是 8 25且 0(2)1=3+14，2=3 14 【分析】（1）根据题意，可得(2+4)24(6)0，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，（2）将=1代入2(2+4)+6=0，利用配方法解方程即可【详解】（1）解：依题意得：0=(2+4)2 4(6)=40+16 0，解得 25且 0；（2）解：当=1时，原方程变为：26 5=0，则有：26+9=5+9，(3)2=14，3=14，方程的根为1=3+14，2=3 14【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键9（2023湖北黄石中考真题）关于 x 的一元二次方程2+1=0，当=1时，该方程的正根称为黄金分割数宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数(1)求黄金分割数；(2)已知实数 a，b 满足：2+=1,22=4，且 2，求 ab 的值；(3)已知两个不相等的实数 p，q 满足：2+1=,2+1=，求 的值【答案】(1)152(2)2(3)0【分析】（1）依据题意，将=1代入然后解一元二次方程2+1=0即可得解；（2）依据题意，将22=4变形为 22+21=0，从而可以看作，2是一元二次方程2+1=0的两个根，进而可以得解；（3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解【详解】（1）依据题意，将=1代入2+1=0得2+1=0，解得=1 52，黄金分割数大于 0，黄金分割数为152（2）22=4，22 4=0，则 22+21=0又 2，2是一元二次方程2+1=0的两个根，则 2=1，=2（3）2+1=，2+1=；2+1+2+1=+；即 2+2+(+)2=+；(+)22+(+)2=+又 2+1 2+1=；2 2+()=()；即()(+1)=0，为两个不相等的实数，0，则+1=0，+=1又(+)22+(+)2=+，(1)22+(1)2=1，即 =0【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题
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