忆阻器及忆阻混沌电路.ppt

忆阻器与忆阻混沌电路忆阻器与忆阻混沌电路学号：学号：姓名：姓名：.LOGO忆阻器的等效电路模型忆阻器的等效电路模型3引言引言1忆阻器的模型忆阻器的模型2基于三次型忆阻器的混沌电路基于三次型忆阻器的混沌电路4目录目录.u由电路基本理论可知，电路和元件特性是有四个基本变量来由电路基本理论可知，电路和元件特性是有四个基本变量来描述的，分别为四个电路变量电压（描述的，分别为四个电路变量电压（V）、电流（）、电流（I）、磁）、磁通量（通量（）和电荷量（）和电荷量（Q）a.电压和电流关系电压和电流关系电阻器电阻器R b.电压和电荷关系电压和电荷关系电容器电容器C c.电流和磁通关系电流和磁通关系电感器电感器Lu上述四个电路变量两两之间可以建立六个数学关系式，其中上述四个电路变量两两之间可以建立六个数学关系式，其中五对关系式已经为大家所熟知五对关系式已经为大家所熟知分别来自分别来自R、C、L、Q 的定义和法拉第电磁感应定律（如图的定义和法拉第电磁感应定律（如图1所示），但所示），但、Q 间间的关系却一直没被揭示。的关系却一直没被揭示。1 引言引言_.1 引言引言u根据图根据图1中基本变量组合完中基本变量组合完备性原理，美国加州大备性原理，美国加州大学伯克利分校华裔科学家学伯克利分校华裔科学家蔡少棠于蔡少棠于1971年从理论上年从理论上预测了描述电荷和磁通关预测了描述电荷和磁通关系元件的存在性，并且定系元件的存在性，并且定义这类元件为记忆电阻器义这类元件为记忆电阻器（简称忆阻器，英文名称（简称忆阻器，英文名称为为Memristor）.图图1 电路的四个基本变量与四个基本元件电路的四个基本变量与四个基本元件.u忆阻器具有其他三种基本元件任意组合都不能复制的特性，忆阻器具有其他三种基本元件任意组合都不能复制的特性，是一种有记忆功能的非线性电阻，可以记忆流经它的电荷是一种有记忆功能的非线性电阻，可以记忆流经它的电荷数量，通过控制电流的变化可改变其阻值。数量，通过控制电流的变化可改变其阻值。u2008年年5月，惠普公司实验室研究人员月，惠普公司实验室研究人员Strukov等在等在Nature上首次报道了忆阻器的实现性，其研究成果震惊了上首次报道了忆阻器的实现性，其研究成果震惊了国际电工电子技术世界，极大的唤起了人们开展忆阻器的国际电工电子技术世界，极大的唤起了人们开展忆阻器的全方位研究的兴趣。全方位研究的兴趣。u2008年年11月，美国加州大学月，美国加州大学Pershi和和Ventra二位学者二位学者在在Physical Review B上发表文章，描述了在半导体自上发表文章，描述了在半导体自旋电子器件中发现了自旋记忆效应，提出了自旋电子忆阻旋电子器件中发现了自旋记忆效应，提出了自旋电子忆阻器器件器器件。1 引言引言_.u通过忆阻器的电流可以改变其电阻，而且这种变化当断电时通过忆阻器的电流可以改变其电阻，而且这种变化当断电时还能继续保护，从而使得忆阻器成为天然的非易失性存储还能继续保护，从而使得忆阻器成为天然的非易失性存储器。器。u忆阻器的出现，将不仅使得集成电路元件变得更小，计算机忆阻器的出现，将不仅使得集成电路元件变得更小，计算机可以即开机关，而且拥有可以模拟复杂的人脑神经功能的可以即开机关，而且拥有可以模拟复杂的人脑神经功能的超级能力。超级能力。u因此，忆阻器的记忆特性将对计算机科学，生物工程学，神因此，忆阻器的记忆特性将对计算机科学，生物工程学，神经网络，电子工程，通信工程等产生极其深远的影响，同经网络，电子工程，通信工程等产生极其深远的影响，同时，忆阻电路的存在，使基础元件由电阻，电容和电感增时，忆阻电路的存在，使基础元件由电阻，电容和电感增加到四个，忆阻器为电路设计及其忆阻电路应用提供了全加到四个，忆阻器为电路设计及其忆阻电路应用提供了全新的发展空间。新的发展空间。1 引言引言_.2 忆阻器模型忆阻器模型 2.1 忆阻器的定义 2.2 物理器件模型 2.3 数学理论模型 2.3.1 分段线性模型 2.3.2 三次型非线性模型 2.3.3 二次型非线性模型.2 忆阻器模型忆阻器模型2.1 忆阻器的定义忆阻器的定义 忆阻器是一个基本的无源二端元件，它的磁通量忆阻器是一个基本的无源二端元件，它的磁通量 与累积与累积的电荷的电荷q 之间的关系可以用之间的关系可以用-q 或或q-平面上的一条曲平面上的一条曲线线f(，q)=0 来确定，忆阻器分为荷控忆阻器和磁控来确定，忆阻器分为荷控忆阻器和磁控忆阻器两种，如图忆阻器两种，如图2所示所示图图2 忆阻器忆阻器（a）荷控忆阻器（）荷控忆阻器（b）磁控忆阻器）磁控忆阻器.图图1(a)中的荷控忆阻器可以用中的荷控忆阻器可以用q-平面上一条通过原点的特性曲线平面上一条通过原点的特性曲线=(q)来表征，其斜率即磁链随电荷的变化率来表征，其斜率即磁链随电荷的变化率 称为忆阻，流过的电流称为忆阻，流过的电流i(t)与两端的电压与两端的电压u(t)之间的伏安关系之间的伏安关系（VCR）可以描述为）可以描述为u(t)=M(q)i(t)图图1(b)中的磁控忆阻器可以用中的磁控忆阻器可以用 -q 平面上一条通过原点的特性曲线平面上一条通过原点的特性曲线q=q()来表征，其斜率即电荷随磁链的变化率来表征，其斜率即电荷随磁链的变化率 称为忆导，流过的电流和两端的电压之间的伏安特性可以描述为称为忆导，流过的电流和两端的电压之间的伏安特性可以描述为i（t）=W()u(t)这里这里M(q)和和W()均是非线性函数，且取决于忆阻均是非线性函数，且取决于忆阻器内部状态变量器内部状态变量q 或或 .2.2 物理器件模型物理器件模型u忆阻模型种类很多，大致可以分为二大类：物理器件模型和忆阻模型种类很多，大致可以分为二大类：物理器件模型和数学理论模型。数学理论模型。分类：分类：基于金属和金属氧化物的纳米级忆阻器（惠普实验室）基于金属和金属氧化物的纳米级忆阻器（惠普实验室）基于电子磁性特性的电子自旋忆阻器基于电子磁性特性的电子自旋忆阻器基于具有亚纳秒开关特性的氧化钽忆阻器基于具有亚纳秒开关特性的氧化钽忆阻器基于具有亚纳秒开关特性的铁电忆阻器基于具有亚纳秒开关特性的铁电忆阻器基于具有亚纳秒开关特性的铁电隧道忆阻器基于具有亚纳秒开关特性的铁电隧道忆阻器基于具有亚纳秒开关特性的发光忆阻器基于具有亚纳秒开关特性的发光忆阻器u研究在所有忆阻物理器件模型中，研究并应用最为广泛的是研究在所有忆阻物理器件模型中，研究并应用最为广泛的是HP TiO2忆阻线性杂质漂移模型和忆阻线性杂质漂移模型和HP TiO2忆阻非线性忆阻非线性窗函数模型。窗函数模型。.图图3 为惠普实验室给出的纳米级忆阻的基本模型为惠普实验室给出的纳米级忆阻的基本模型该忆阻元件是由未掺杂部分与掺杂部分组成的，该忆阻元件是由未掺杂部分与掺杂部分组成的，D 为元件为元件的长度，的长度，w(t)为元件的掺杂区域的宽度，为元件的掺杂区域的宽度，v为离子在均为离子在均匀场中的平均迁移率。当匀场中的平均迁移率。当w(t)=0 时，对应的元件电阻时，对应的元件电阻值为值为OFF，当，当w(t)=D 时，对应的元件电阻值为时，对应的元件电阻值为ON。忆阻元件上流过的电流忆阻元件上流过的电流i(t)与与w(t)变化率成线性关系。变化率成线性关系。图图3 HP TiO2 忆阻的基本模型忆阻的基本模型.HP TiO2忆阻线性杂质漂移模型和非线性窗函数模型可以统一表忆阻线性杂质漂移模型和非线性窗函数模型可以统一表示为示为:式中：式中：i为输入电流；为输入电流；v 为输出电压；为输出电压；RON.ROFF和和k 为系统参数；为系统参数；x为状态变量；为状态变量；M(x)代表忆阻模型的忆阻器；代表忆阻模型的忆阻器；Fn(x)(n=1,2,3,4,5)分别代表分别代表HP线性窗函数和线性窗函数和4种非线性窗函数种非线性窗函数.其中其中 F1(x)=1；F2(x)=x-x2；F3(x)=1 (2x 1)2p；(Joglekar窗函数窗函数)F4(x)=1 (x stp(i)2p；（Biolek 窗函数）窗函数）F5(x)=j 1(x 0.5)2+0.75p;(Prodromakis窗函窗函数数).2.3 数学器件模型数学器件模型2.3.1 分段线性模型分段线性模型2.3.2 三次型非线性模型三次型非线性模型2.3.3 二次型非线性模型二次型非线性模型.2.3.1 2.3.1 分段线性模型分段线性模型Itoh和蔡少棠教授采用一个特性曲线为单调上升且分段和蔡少棠教授采用一个特性曲线为单调上升且分段线性的非线性忆阻器替换蔡氏振荡器或规范式蔡氏振荡线性的非线性忆阻器替换蔡氏振荡器或规范式蔡氏振荡器中的蔡氏二极管，导出了两类基于忆阻器的混沌振荡器中的蔡氏二极管，导出了两类基于忆阻器的混沌振荡电路，这些忆阻振荡器可生成不同形状的混沌吸引子。电路，这些忆阻振荡器可生成不同形状的混沌吸引子。图图4所示的忆阻器的特性曲线可表达为如下数学关系式：所示的忆阻器的特性曲线可表达为如下数学关系式：或或.相应的忆阻和忆导分别为相应的忆阻和忆导分别为式中，式中，a.b.c和和d是正常数；是正常数；sgn(.)为符号常数。为符号常数。.图图 4 分段线性忆阻特性曲线分段线性忆阻特性曲线.2.3.2 三次型非线性模型三次型非线性模型该部分主要针对磁控忆阻器展开相应的研究工作。定义磁控忆阻该部分主要针对磁控忆阻器展开相应的研究工作。定义磁控忆阻器是由一条光滑单调上升的三次非线性特性曲线来描述，即器是由一条光滑单调上升的三次非线性特性曲线来描述，即 （1）式中，式中，a,b0.由此可得到它的忆导由此可得到它的忆导W()（2）式（式（1）所描述的磁控忆阻器在平面上的特性曲线如图）所描述的磁控忆阻器在平面上的特性曲线如图5所示所示；式（式（2）所描述的忆导关系曲线如图）所描述的忆导关系曲线如图5所示，它是跟随内部状态变所示，它是跟随内部状态变量变化的量变化的正值函数正值函数.2.3.2 三次型非线性模型三次型非线性模型图图5 光滑磁控忆阻器特性曲线和相应的忆导关系曲线光滑磁控忆阻器特性曲线和相应的忆导关系曲线.2.3.2 三次型非线性模型三次型非线性模型u上述忆阻器所消耗的即时功率为上述忆阻器所消耗的即时功率为 从时刻从时刻t0到到t,对所有对所有t=t0,流入此忆阻器的能量满足流入此忆阻器的能量满足 因此，具有图所示特性曲线的磁控忆阻器是无源的。因此，具有图所示特性曲线的磁控忆阻器是无源的。.2.3.3 二次型非线性模型二次型非线性模型一个分段二次型非线性特性曲线描述的有源磁控忆阻器可表一个分段二次型非线性特性曲线描述的有源磁控忆阻器可表示为示为 式中，式中，a,b0,sgn(.)为符号函数。因此，可得到它相应为符号函数。因此，可得到它相应的忆导的忆导.2.3.3 二次型非线性模型二次型非线性模型图图 6 有源磁控忆阻器特性曲线及其忆导关系曲线有源磁控忆阻器特性曲线及其忆导关系曲线.2.3.3 二次型非线性模型二次型非线性模型由于有源磁控忆阻器的忆导在一定范围内可以变成负值，因此其由于有源磁控忆阻器的忆导在一定范围内可以变成负值，因此其即时功率即时功率 和流入的能量和流入的能量随着时间的演化将在正值和负值之间变化。随着时间的演化将在正值和负值之间变化。根据蔡少棠提出的忆阻器无源定理，可以判断上式描述的是磁控根据蔡少棠提出的忆阻器无源定理，可以判断上式描述的是磁控忆阻器不具备无源性，有源的。忆阻器不具备无源性，有源的。一个有源忆阻器可以等效为一个有无源忆阻器和负电阻组成的忆一个有源忆阻器可以等效为一个有无源忆阻器和负电阻组成的忆阻电力阻电力。.3 忆阻器的等效电路模型忆阻器的等效电路模型3.1 模拟单元电路介绍模拟单元电路介绍 3.1.1 线性运算电路线性运算电路 3.1.2非线性运算电路非线性运算电路 3.1.3 模拟时滞电路模拟时滞电路3.2 简单忆阻器模型介绍简单忆阻器模型介绍3.3 其他忆阻器等效电路其他忆阻器等效电路.3 忆阻器的等效电路模型忆阻器的等效电路模型 u基于忆阻器等效电路模型实现主要分为二种：基于忆阻器等效电路模型实现主要分为二种：a.利用运算放大器，电阻和电容等分立器件形成各种独立的功能利用运算放大器，电阻和电容等分立器件形成各种独立的功能连接组成电路模拟硬件实现；连接组成电路模拟硬件实现；b.利用超大规模利用超大规模FPGA,DSP数字处理芯片经过数字处理芯片经过D/A转换输出电路转换输出电路数学实现。数学实现。u这里主要介绍模拟单元这里主要介绍模拟单元 电路实现。在这运算关系一般包含电路实现。在这运算关系一般包含线性运算和非线性运算，线性运算有加减运算，反相运算，线性运算和非线性运算，线性运算有加减运算，反相运算，积分运算等，非线性运算有乘法运算，分段线性运算（绝积分运算等，非线性运算有乘法运算，分段线性运算（绝对值，三角波，锯齿波等），指数运算等。对值，三角波，锯齿波等），指数运算等。.3.1 模拟单元电路介绍模拟单元电路介绍3.1.1 3.1.1 线性运算电路线性运算电路（1）反相比例电路）反相比例电路 一个反相比例电路如图所示。一个反相比例电路如图所示。其中输入信号其中输入信号ui经过电阻经过电阻R1送到反相输入端，同相输入端送到反相输入端，同相输入端相当于接相当于接“地地”（又称（又称“虚地虚地”）。在同相输入端和）。在同相输入端和”地地“之间有时会加一个平衡电阻，其作用主要是消除静态电之间有时会加一个平衡电阻，其作用主要是消除静态电流对输出电压的影响。流对输出电压的影响。根据理想运算放大器的二个特点知根据理想运算放大器的二个特点知 u+=u=0，i1=i2图（图（1）反相比例电路）反相比例电路.（1）反相比例电路）反相比例电路上式中，上式中，u+为同相输入端的输入电压，为同相输入端的输入电压，u-为反相输入端的为反相输入端的输入电压。输入电压。i1=ui/R1,i2=-uo/R2 得得uo=-R2/R1*ui可知，输出电压与输入电压是比例运算关系，或者说是比例可知，输出电压与输入电压是比例运算关系，或者说是比例放大关系，并且成反向，所以这种电路又称为反相比例运放大关系，并且成反向，所以这种电路又称为反相比例运算电路。算电路。当当R1=R2时，时，uo=-ui，这就是反相器。，这就是反相器。.（2）反相加法电路）反相加法电路 图所示是一个反相加法器，可对输入电压进行加法运算。图所示是一个反相加法器，可对输入电压进行加法运算。有图可得有图可得 i1=u1/R1,i2=u2/R2,i3=u3/R3,i4=-uo/R4 i1=u1/R1,i2=u2/R2,i3=u3/R3,i4=-uo/R4根据根据KCLKCL定律，得定律，得i4=i1+i2+i3i4=i1+i2+i3得得 u0 u0=当当R1=R2=R3=R4=RR1=R2=R3=R4=R时，式子可以得时，式子可以得uo=-(u1+u2+u3)uo=-(u1+u2+u3)图（图（2）反相加法电路）反相加法电路.(3)同相比例电路同相比例电路图下所示电路是一个同相放图下所示电路是一个同相放大器。根据理想运算放大器大器。根据理想运算放大器的二个特点可以知道，的二个特点可以知道，u+=u-=uu+=u-=ui i,i,i1 1=i=i2 2 由图可以列出由图可以列出 可得可得 当电阻当电阻R1=（断开）或者（断开）或者R3=0时，式可以写成时，式可以写成u0=ui，为，为电压跟随器。电压跟随器。图（图（3）b 电压跟随器电压跟随器图（图（3）a同相比例电路同相比例电路.(4)反相积分电路反相积分电路图所示电路是一个反相积分器，可对输入电压进行积分运算。图所示电路是一个反相积分器，可对输入电压进行积分运算。由图可知由图可知 根据理想运算放大器的特点（根据理想运算放大器的特点（i1=i2）,可得可得 即即 式中式中=R1C1为电路的时间常数，可用来调节系统的时间尺为电路的时间常数，可用来调节系统的时间尺度即工作频率。度即工作频率。图图（4）反向积分电路反向积分电路.3.1.2非线性运算电路非线性运算电路（1）乘法电路）乘法电路 模拟乘法器是完成乘法运算模拟乘法器是完成乘法运算的常用集成电路，一般的模拟的常用集成电路，一般的模拟乘法器的输出具有一个增益系乘法器的输出具有一个增益系数。数。图所示电路分别是二次项和三图所示电路分别是二次项和三次项乘法电路，可对输入电压次项乘法电路，可对输入电压进行乘法运算。进行乘法运算。由图可得由图可得 uo=u1u2 由图可得由图可得 uo=u1u2u3 当当u1=u2=u时，式可以写成时，式可以写成uo=u2,为二次项乘法电路。为二次项乘法电路。当当u1=u2=u3=u时，式可以时，式可以写成写成uo=u3，为三次项乘法电为三次项乘法电路。路。图（图（1）乘法电路）乘法电路.3.1.2非线性运算电路非线性运算电路（2）符号函数电路）符号函数电路a.前级运算放大器电路是开环电路，利用运算放大器的饱和前级运算放大器电路是开环电路，利用运算放大器的饱和特性实现符号运算功能；后级运算放大器电路就是反相比特性实现符号运算功能；后级运算放大器电路就是反相比例电路，实现反相比例运算功能。例电路，实现反相比例运算功能。b.前级运算放大器工作在开环状态，设其开环放大倍数为前级运算放大器工作在开环状态，设其开环放大倍数为A，输出，输出饱和电压为饱和电压为Esat,则前级运算放大器工作在线性区则前级运算放大器工作在线性区时的输出端电压时的输出端电压u1=-Aui,在运算放大器较理想的情况下在运算放大器较理想的情况下存在存在A趋于无穷大。趋于无穷大。.c.经过后级运算放大器电路的反相比例运算后得到经过后级运算放大器电路的反相比例运算后得到若选择若选择R1=ESATk,R2=1K，则式可以写成，则式可以写成uo=sgn(ui)图（图（2）符号函数电路）符号函数电路.(3)绝对值函数电路绝对值函数电路 a.绝对值函数运算可以表示为一个变量与自身符号函数绝对值函数运算可以表示为一个变量与自身符号函数的乘积。根据此思路，绝对值函数单元电路可由符号函的乘积。根据此思路，绝对值函数单元电路可由符号函数电路与乘法电路连接实现。数电路与乘法电路连接实现。b.若选择若选择R1=ESATk,R2=1K，则由图得到，则由图得到图图(3)绝对值函数电路绝对值函数电路.3.1.3 模拟时滞电路模拟时滞电路时滞电路电路是一种简单的模拟控制电路，如图所示，模拟时时滞电路电路是一种简单的模拟控制电路，如图所示，模拟时滞电路的状态方程为滞电路的状态方程为模拟时滞电路的输出电压为模拟时滞电路的输出电压为式子中，式子中，ui和和uo分别是输入和输出电压信号，分别是输入和输出电压信号，uT是该时滞电是该时滞电路的内部状态变量即电容二端的电压。路的内部状态变量即电容二端的电压。图图3.1.3 模拟时滞电路模拟时滞电路.3.2 有源磁控忆阻器等效电路有源磁控忆阻器等效电路 该方法主要描述的二次型有源磁控忆阻器为例子说明忆阻该方法主要描述的二次型有源磁控忆阻器为例子说明忆阻器的等效电路实现的研究思路。器的等效电路实现的研究思路。下图是有源忆阻器等效电路实现的通用原理图，图中下图是有源忆阻器等效电路实现的通用原理图，图中H（.）是一个非线性函数电路，可以是平方函数电路，绝对值函是一个非线性函数电路，可以是平方函数电路，绝对值函数电路等。运算放大器数电路等。运算放大器U1为跟随电路，用于避免负载效应。为跟随电路，用于避免负载效应。运算放大器运算放大器U2与电阻与电阻Ro和和Co相连接，构成了一个积分器，相连接，构成了一个积分器，可实现以下关系可实现以下关系 （1）式中，式中，.3.2 有源磁控忆阻器等效电路有源磁控忆阻器等效电路 由图可知，乘法器由图可知，乘法器M1的输出电压为的输出电压为 （2）式子，式子，g1是乘法器是乘法器M1中可变尺度因子。中可变尺度因子。图图7中运算放大器中运算放大器U3是电流转换器，当是电流转换器，当R2=R3时，可以时，可以实现关系式实现关系式 （3）.3.2 有源磁控忆阻器等效电路有源磁控忆阻器等效电路图图 7 二次型有源磁控忆阻器的等效电路实现原理图二次型有源磁控忆阻器的等效电路实现原理图.3.2 有源磁控忆阻器等效电路有源磁控忆阻器等效电路图（图（b）给出了）给出了H（.）为绝对值函数是的电路实现的例子，可）为绝对值函数是的电路实现的例子，可以得到以得到 （4）公式代入得到等效电导表达式为公式代入得到等效电导表达式为 （5）.3.2 有源磁控忆阻器等效电路有源磁控忆阻器等效电路u利用磁控忆阻器二端的磁通和流过的电流的定义，以及忆导利用磁控忆阻器二端的磁通和流过的电流的定义，以及忆导的定义，的定义，（6）将（将（1）（）（3）（）（6）进行比较，得到）进行比较，得到.3.3 其他忆阻器等效电路其他忆阻器等效电路图图8 P 型忆阻器等效电路型忆阻器等效电路图图 9 N 型忆阻器等效电路型忆阻器等效电路.4 基于三次型忆阻器的混沌电路基于三次型忆阻器的混沌电路基于有源磁控忆阻器的蔡氏混沌电路如图所示，该混基于有源磁控忆阻器的蔡氏混沌电路如图所示，该混沌振荡电路是通过无源二端口光滑磁控忆阻器和一个沌振荡电路是通过无源二端口光滑磁控忆阻器和一个负电导负电导-G构成的有源忆阻电路代替蔡氏二极管来实现构成的有源忆阻电路代替蔡氏二极管来实现的。的。.4 基于三次型忆阻器的混沌电路基于三次型忆阻器的混沌电路 从端口A 流进的电流im与AA端的电压v 之间的伏安关系为 由基尔霍夫定律和元件的伏安特性可得，图 所示电路的状方程为四个联立的一阶微分方程组.4基于三次型忆阻器的混沌电路基于三次型忆阻器的混沌电路u设设得得并定义非线性函数W(w).u状态方程可以重写为 因此，磁控忆阻混沌电路是一个四维系统，它的动力学特性由状态方程式描述，基于该式的代数方程可以进行相应的理论分析和数值仿真。.4 基于三次型忆阻器的混沌电路基于三次型忆阻器的混沌电路图图10 相图及其时域波形相图及其时域波形.4 基于三次型忆阻器的混沌电路基于三次型忆阻器的混沌电路lyapunov指数解析指数解析 Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌,可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来:一个正的Lyapunov指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。u在三维情形下有(1,2,3)=(-,-,-):稳定不动点;(1,2,3)=(0,-,-):极限环;(1,2,3)=(0,0,-):二维环面;(1,2,3)=(+,+,0):不稳极限环;(1,2,3)=(+,0,0):不稳二维环面;(1,2,3)=(+,0,-):奇怪吸引子。.lyapunov指数结论：指数结论：李雅谱诺夫指数小于零，则意味着相邻点最终要靠拢合并成李雅谱诺夫指数小于零，则意味着相邻点最终要靠拢合并成一点，这对应于稳定的不动点和周期运动一点，这对应于稳定的不动点和周期运动;若指数大于零，则意味着相邻点最终要分离，这对应于轨道若指数大于零，则意味着相邻点最终要分离，这对应于轨道的局部不稳定，如果轨道还有整体的稳定因素（如整体有的局部不稳定，如果轨道还有整体的稳定因素（如整体有界、耗散、存在捕捉区域等），则在此作用下反复折叠并界、耗散、存在捕捉区域等），则在此作用下反复折叠并形成混沌吸引子。形成混沌吸引子。指数越大，说明混沌特性越明显，混沌程度越高指数越大，说明混沌特性越明显，混沌程度越高.4基于三次型忆阻器的混沌电路基于三次型忆阻器的混沌电路图图11 系统随系统随c 变化的变化的Lyapunov 指数谱和分岔图指数谱和分岔图.