全国高中数学第六章平面向量及其应用经典大题例题.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用经典大题例题全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用经典大题例题 单选题 1、如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若=2，则|+|的取值范围是（）A1,3B2,3 C3,10D2,10 答案：D 分析：根据题意可得出0|2，然后根据向量的运算得出|+|2=(+)2=(|+1)2+1，从而可求出答案.因为点C为的中点，=2，所以|=2,=4，所以|+|2=(+)2=2+2+2 =|2+|2+2|cos4=|2+2|+2=(|+1)2+1，因为点M为线段AB上的一点，所以0|2，所以2 (|+1)2+1 10，所以|+|的取值范围是2,10,故选：D.2、向量，满足 =(1,3)，|=1，|+|=3，则在 方向上的投影为（）A-1B12C12D1 答案：B 解析：根据题条件，先求出 ，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果.因为向量，满足 =(1,3)，|=1，|+|=3，所以|2+2 +|2=3，即4+2 +1=3，则 =1，所以在 方向上的投影为|cos=|=12.故选：B.3、如图，在 中，点M是上的点且满足=3，N是上的点且满足=，与交于P点，设=,=，则=（）A12 +14B35 +15 C14 +12D310 +35 答案：B 分析：根据三点共线有,，使=+3(1)4、=2+(1 )，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案.=3=34，=12，由，P，M共线，存在 ，使=+(1 )=+3(1)4，由N，P，B共线，存在 ，使得=+(1 )=2+(1 )，由 =23(1)4=1 =15,=25，故=35 +15.故选：B.4、已知向量 =(1,2)，=(3,0)，若()，则实数=（）A0B35C1D3 答案：B 分析：根据平面向量的坐标运算，结合两向量垂直，数量积等于零，求得的值.因为向量 =(1,2)，=(3,0)，且()，所以()=0，即 2 =0，所以有5 3=0，解得=35，故选：B.小提示：方法点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题方法如下：（1）根据向量垂直向量数量积等于零，建立等式；（2）根据向量数量积运算法则进行化简；（3）利用向量数量积坐标公式求得结果.5、已知向量=(2,2)，=(,1)，若=2，则=（）A5B4C3D2 答案：B 分析：先根据已知条件计算，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案.解：根据题意得：=(,1)(2,2)=(2,1)，所以=2(2)+2 (1)=2 4 2=2，解得=4.故选：B.小提示：本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题.6、在 中，点D在边AB上，=2记=，=，则=（）A3 2 B2 +3 C3 +2 D2 +3 答案：B 分析：根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出 因为点D在边AB上，=2，所以=2，即 =2()，所以=3 2=3 2 =2 +3 故选：B 7、已知 ，是不共线的向量，=+，=3 2，=2 3，若,三点共线，则实数，满足（）A=5B=+5C=1D=+1 答案：B 解析：根据向量的线性运算方法，分别求得=(3 )(2+)，=；再由/，得到3 =(2+)，即可求解.由=+，=3 2，=2 3，可得=(3 )(2+)，=；若,三点共线，则/，可得3 =(2+)，化简得=+5.故选：B.8、,为非零向量，且|+|=|+|，则（）A /，且 与 方向相同 B ,是共线向量且方向相反 C =D ,无论什么关系均可 答案：A 分析：根据向量加法的性质及三角形边之间的关系即可得出答案.当两个非零向量 ,不共线时，+的方向与 ,的方向都不相同，且|+|+|；当两个非零向量 ,同向时，+的方向与 ,的方向都相同，且|+|=|+|；当两个非零向量 ,反向时且|，+的方向与 的方向相同，且|+|=|，所以对于非零向量 ,，且|+|=|+|，则 /，且 与 方向相同.故选：A.9、化简3(+2)2(+)的结果为（）A +4B +C2 +D 答案：A 分析：由向量的加减运算法则即可求解.解：3(+2)2(+)=+4，故选：A.10、“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为 36的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A”如图所示，已知五角星是由 5 个“黄金三角形A”与 1 个正五边形组成，其中sin18=514，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（）A514B55C5+16D3520 答案：B 分析：在三角形中，由sin18值，可得=512，即=512，设 的面积为x，由此可知 和 的面积均为512，的面积为x，由此即可求出结果.如图所示，依题意，在三角形中，sin18=2=514，故=512；所以=512，设 的面积为x，则 面积为512，同理 的面积为512，的面积为x，则阴影部分面积与五角形面积的比值为2+25122512+6=55.故选：B 11、向量=(,12)，=(4,5)，=(10,)若,三点共线，则的值为（）A2B1C2或 11D2 或11 答案：C 分析：求得，利用向量共线的充要条件，可得关于的方程，求解即可.解：由题可得：=(,12)(4,5)=(4,7)，=(,12)(10,)=(10,12 ).因为,三点共线，所以 ，所以(4)(12 )7(10)=0，整理得2 9 22=0，解得=2或=11.故选：C.12、在ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则 cosB=（）A19B13C12D23 答案：A 分析：根据已知条件结合余弦定理求得，再根据cos=2+222，即可求得答案.在 中，cos=23，=4，=3 根据余弦定理：2=2+2 2 cos 2=42+32 2 4 3 23 可得2=9，即=3 由 cos=2+222=9+916233=19 故cos=19.故选：A.小提示：本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.填空题 13、已知|=3，向量 在向量 上的投影向量为2，则 _.答案：18 解析：由题意向量 在向量 上的投影向量为2，分析可得|cos=2|，代入公式，即可得答案.因为向量 在向量 上的投影向量为2，则可得|cos=2|，所以 =|cos=2|=2|2=18，所以答案是：18.小提示：本题考查向量投影的应用，考查分析理解的能力，属基础题.14、已知,为单位向量，且 =0，若 =2 5，则cos=_.答案：23.分析：根据|2结合向量夹角公式求出|，进一步求出结果.因为 =2 5，=0，所以 =2 2 5 =2，|2=4|2 45 +5|2=9，所以|=3，所以cos=|=213=23 小提示：本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角渗透了数学运算、直观想象素养使用转化思想得出答案 15、已知|=|=|，作=,=+，则=_.答案：30#6 分析：由题设可得=3，再根据向量夹角公式及数量积运算律可得cos=2+|+|、|+|=()2+4 ，结合已知即可求角的大小.由|=|=|知：=3，而cos=|=2+|+|，|+|=()2+4 ，所以cos=32 23 2=32，又 0,，则=6.所以答案是：6 16、若=，=，则平分线上的向量可以表示为_ 答案：(|+|)，分析：根据题意，以|，|为邻边作平行四边形则四边形为菱形，根据平面向量加法的平行四边形法则得=|+|=|+|，由，共线，最后根据向量共线定理得=，从而得出答案.解：=，=，|=|，|=|，以|，|为邻边作平行四边形则为菱形，平分，根据向量加法的平行四边形法则可得：=|+|=|+|，共线，由共线定理可得存在唯一的实数使得：=(|+|).所以答案是：(|+|)，.小提示：本题考查平面向量加法的平行四边形法则和向量共线定理，解题的关键是利用菱形的对角线平分对角这一重要性质.17、已知 中，点D在边BC上，=120,=2,=2当取得最小值时，=_ 答案：3 1#1+3 分析：设=2=2 0，利用余弦定理表示出22后，结合基本不等式即可得解.方法一：余弦定理 设=2=2 0，则在 中，2=2+2 2 cos=2+4+2，在 中，2=2+2 2 cos=42+4 4，所以22=42+442+4+2=4(2+4+2)12(1+)2+4+2=4 12(+1)+3+1 4 122(+1)3+1=4 23，当且仅当+1=3+1即=3 1时，等号成立，所以当取最小值时，=3 1.所以答案是：3 1.方法二：建系法 令 BD=t，以 D 为原点，OC 为 x 轴，建立平面直角坐标系.则 C（2t,0），A（1，3），B（-t,0）22=(2 1)2+3(+1)2+3=42 4+42+2+4=4 12(+1)+3+1 4 23当且仅当+1=3,即=3 1时等号成立。方法三：余弦定理 设 BD=x,CD=2x.由余弦定理得 2=2+4+22=4+42 4，22+2=12+62，2=2+4+22=4+42 4，22+2=12+62，令=，则22+22=12+62，2+2=12+622=12+622+2+4=6(1 2(+1)+3+1)6 23，2 4 23，当且仅当+1=3+1，即=3+1时等号成立.方法四：判别式法 设=，则=2 在 中，2=2+2 2 cos=2+4+2，在 中，2=2+2 2 cos=42+4 4，所以22=42+442+4+2，记=42+442+4+2，则(4 )2(4+2)+(4 4)=0 由方程有解得：=(4+2)2 4(4 )(4 4)0 即2 8+4 0，解得：4 23 4+23 所以min=4 23，此时=2+4=3 1 所以当取最小值时，=3 1，即=3 1.解答题 18、如图，为测量河对岸A，B两点的距离，在河的这边取C，D两点观察，测得=3km，=45，=30，=75，=45（A，B，C，D在同一平面内），求A，B两点之间的距离 答案：5km 分析：由题意，先计算得=60，=120，=30，由正弦定理计算,，再由余弦定理计算 DAC180ADCDCBACB30，DBC180DCBADCADB60 在ADC中由正弦定理得：sin=sin(+)=sin(+)sin=3 在CDB中由正弦定理得：sin=sin =sin sin=2 在ADB中由余弦定理得：AB2DB2+AD22DBABcosADB2+9223225 AB5km 答：A、B两点间的距离为5km 19、在 中，sin2=3sin(1)求；(2)若=6，且 的面积为63，求 的周长 答案：(1)6(2)6+63 分析：（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得 的周长.（1）解：因为 (0,)，则sin 0，由已知可得3sin=2sincos，可得cos=32，因此，=6.（2）解：由三角形的面积公式可得=12sin=32=63，解得=43.由余弦定理可得2=2+2 2cos=48+36 2 43 6 32=12，=23，所以，的周长为+=63+6.20、如图，已知在 中，M为BC上一点，=2 ，(0,2)且sin=158 (1)若=，求的值；(2)若AM为的平分线，且=1，求 的面积 答案：(1)78(2)1512 分析：（1）由sin=158求得cos=78，由=2可得sin=2sin，结合=得=2，利用正弦定理即可求得答案；（2）由余弦定理求得=2，根据角平分线性质定理可求得=23，再求得sin，由三角形面积公式可得答案.（1）因为sin=158，(0,2),所以cos=1 sin2=78，因为=2，所以由正弦定理知sinsin=2，即sin=2sin，因为=，所以=2，sin=sin2=2sincos，在 中，=sinsin=2sincos2sin=cos=78（2）由题意知=2=2，设=，由余弦定理得cos=22+2124=78，解得=2或=32 因为2 ，所以=2，因为AM为的平分线，=所以=12sin12sin=1212（h为底边BC的高）所以=2，故=13=23，而由（1）知sin=2sin=154，所以=12 sin=12 1 23154=1512