(试题附答案)高中数学第六章平面向量及其应用考点突破.pdf

(名师选题名师选题)（精选试题附答案）高中数学第六章平面向量及其应用考点突破（精选试题附答案）高中数学第六章平面向量及其应用考点突破 单选题 1、如图，在 中，点M是上的点且满足=3，N是上的点且满足=，与交于P点，设=,=，则=（）A12 +14 B35 +15 C14 +12 D310 +35 答案：B 分析：根据三点共线有,，使=+3(1)4、=2+(1 )，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案.=3 =34，=12，由，P，M共线，存在 ，使=+(1 )=+3(1)4，由N，P，B共线，存在 ，使得=+(1 )=2+(1 )，由 =23(1)4=1 =15,=25，故=35 +15.故选：B.2、下列命题：（1）零向量没有方向；（2）单位向量都相等；（3）向量就是有向线段；（4）两向量相等，若起点相同，终点也相同；（5）若四边形为平行四边形，则=,=其中正确命题的个数是（）A1B2 C3D4 答案：A 分析：零向量的方向是任意的可判断（1）；单位向量方向不一定相同可判断（2）；有向线段只是向量的一种表示形式可判断（3）；根据向量的二要素可判断（4）；由相等向量的定义可判断（5），进而可得正确答案.对于（1）：零向量不是没有方向，而是方向是任意的，故（1）不正确 对于（2）：单位向量只是模均为单位1，而方向不相同，所以单位向量不一定都相等，故（2）不正确 对于（3）：有向线段只是向量的一种表示形式，向量是可以自由移动，有向线段不可以自由移动，不能把两者等同起来，故（3）不正确，对于（4）：两向量相等，若起点相同，终点也相同；故（4）正确；对于（5）：如图：若四边形为平行四边形，则=，且方向相同，=但方向相反，所以 与 不相等，故（5）不正确；所以正确的有一个，故选：A.3、,为非零向量，且|+|=|+|，则（）A /，且 与 方向相同 B ,是共线向量且方向相反 C =D ,无论什么关系均可 答案：A 分析：根据向量加法的性质及三角形边之间的关系即可得出答案.当两个非零向量 ,不共线时，+的方向与 ,的方向都不相同，且|+|+|；当两个非零向量 ,同向时，+的方向与 ,的方向都相同，且|+|=|+|；当两个非零向量 ,反向时且|，+的方向与 的方向相同，且|+|=|，所以对于非零向量 ,，且|+|=|+|，则 /，且 与 方向相同.故选：A.4、如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若=2，则|+|的取值范围是（）A1,3B2,3 C3,10D2,10 答案：D 分析：根据题意可得出0|2，然后根据向量的运算得出|+|2=(+)2=(|+1)2+1，从而可求出答案.因为点C为的中点，=2，所以|=2,=4，所以|+|2=(+)2=2+2+2 =|2+|2+2|cos4=|2+2|+2=(|+1)2+1，因为点M为线段AB上的一点，所以0|2，所以2 (|+1)2+1 10，所以|+|的取值范围是2,10,故选：D.5、已知=(2,3)，=(3，t)，|=1，则 =A-3B-2 C2D3 答案：C 分析：根据向量三角形法则求出 t，再求出向量的数量积.由=(1,3)，|=12+(3)2=1，得=3，则=(1,0)，=(2,3)(1,0)=2 1+3 0=2故选 C 小提示：本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大 6、化简3(+2)2(+)的结果为（）A +4 B +C2 +D 答案：A 分析：由向量的加减运算法则即可求解.解：3(+2)2(+)=+4，故选：A.7、已知向量 与 的夹角为6，且|=2|=2，则 =（）A3B1C23D2 答案：A 解析：利用向量数量积的定义即可求解.由|=2|=2，则|=2，|=1，又向量 与 的夹角为6，所以 =|cos ,=2 1 32=3.故选：A 小提示：本题考查了向量数量积的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8、一个骑行爱好者从地出发向西骑行了2km到达地，然后再由地向北偏西60骑行23km到达地，再从地向南偏西30骑行了5km到达地，则地到地的直线距离是（）A8B37C33D5 答案：B 分析：根据给定信息作出图形，再利用三角形正弦定理、余弦定理计算作答.如图，在 中，=150，=2,=23，依题意，=90，在 中，由余弦定理得：=2+2 2 cos=4+12+83 32=27，由正弦定理得：sin=sin=127，在 中，cos=cos(90+)=sin=127，由余弦定理得：=2+2 2 cos=28+25+2 27 5 127=37，所以地到地的直线距离是37km.故选：B 9、已知直角三角形ABC中，=90，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则 的最大值为（）A16+1655B16+855C165D565 答案：D 分析：建立如图所示的坐标系，根据 =|2 5可求其最大值.以为原点建系，(0,2),(4,0)，:4+2=1，即+2 4=0，故圆的半径为=45，圆:2+2=165，设中点为(2,1)，=214 2=|214 20=|2 5，|max=|+=5+45=95，()max=815 5=565，故选：D.10、P是 所在平面内一点，满足|+2|=0，则 的形状是（）A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等边三角形 答案：B 分析：根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出 =0，由此可判断出 的形状.由|=|+2|，可得|=|+|，即|=|+|，等式|=|+|两边平方，化简得 =0，因此，是直角三角形.故选：B.小提示：本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，是中等题 填空题 11、在 中，点满足=34，当点在线段上移动时，若=+，则=(1)2+2的最小值是_ 答案：910#0.9 分析：根据题意画出图形，利用,表示出，再设=，0 1；用分别表示出求出与，再将其代入=(1)2+2，可得=5282+1，然后利用二次函数的性质即可求=(1)2+2的最小值 如图所示，中，=34，=+=+34=+34()=14+34，又点点在线段上移动，设=，0 1，=4+34，又=+，=4=34，=(1)2+2=(4 1)2+(34)2=5282+1，当=25时，取到最小值，最小值为910.所以答案是：910 12、已知 是平面内两个互相垂直的单位向量，若 满足()()=0，则|的最大值为_.答案：2 分析：首先根据数量积公式展开，再化简|=2cos，利用三角函数的有界性求最值.()()=0 (+)+2=0，|2=(+)=|+|cos=2|cos，即|=2cos，|max=2.所以答案是：2 13、若向量=(1，1)与向量=(1，x)的夹角为锐角，则x的取值范围是_.答案：(1,1)(1,+)解析：设向量与向量的夹角为，由cos=|=1+21+2,结合夹角为锐角求解.设向量与向量的夹角为，则cos=|=1+21+2,因为夹角为锐角，所以0 cos 1，即 0 1+21+2 1 且(1+)2 2(1+2),解得 1 1，所以答案是：(1,1)(1,+)14、在平面四边形中，=60，=150，=4，=433，=23，若点M 为边上的动点，则 的最小值为_.答案：154 分析：根据题目条件，建立适当的直角坐标系，并结合已知条件得到相关点的坐标，设出线段CD上的动点的坐标，求得,的坐标关于t的表达式，得到 关于t的表达式，利用二次函数的性质求得最小值.如图所示，建立直角坐标系.由=23得(23,0),由=4 得=233,又 =433，=60，=90，且=2,=30.(23,2),作CFAD于F,=150，DCF=30，由=23,=2，(0,4),在线段上，故可设=(1 )+=(23,4 2),（0 0且cos=12，即可求出角的值；选择条件，根据向量的数量积公式以及三角形的面积公式，化简得出sin=3cos，即可求出角的值；选择条件，根据两角和的正弦公式和辅助角公式，化简的出sin(+6)=1，从而可求出角的值；（2）根据题意，利用正弦定理边角互化得出=23sin，=23sin，再根据三角形面积公式化简得出=36sin(2 6)+312，由 为锐角三角形，求出角的范围，从而得出 的面积的取值范围.解：（1）选(2 )cos=cos，由正弦定理得：2sincos sincos=sincos，2sincos=sin，(0,)，sin 0，cos=12，(0,)，=3；选3=2，3cos=2 12sin，sin=3cos，(0,)，sin 0，则cos 0，=3；选sin+sin(+3)=3，得sin+12sin+32cos=3，32sin+12cos=1，sin(+6)=1，(0,)，+6(6,76)，+6=2，=3.（2）已知 为锐角三角形，且=1，由正弦定理得：sin=sin=sin=23，=23sin，=23sin，=12sin=13sinsin(23)=36sin(2 6)+312，为锐角三角形，0 20 =23 2 6 2，2 6(6,56)，(36,34.小提示：关键点点睛：本题考查正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式、辅助角公式、向量的数量积的应用，考查三角形的面积公式以及三角形内角的性质，根据三角函数的性质求区间内的最值从而求出三角形的面积的取值范围是解题的关键，考查转化思想和化简运算能力.19、在 中，sin+cos=0(1)求；(2)再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，使 存在且唯一确定，求 的面积 条件：=2；条件：sin=1010；条件：=10 答案：(1)34(2)1 分析：(1)利用正弦定理将已知条件边化角，化简即可.(2)若选择，可以确定 的三个角，但无法确定边长，不符合题意；若选，利用正弦定理求边长，根据角度关系求sin，即可求出面积；若选，利用余弦定理求边长，再求出，即可求面积.（1）因为sin+cos=0，由正弦定理可得sinsin+sincos=0，因为sin 0，所以sin+cos=0，即tan=1，因为 (0,)，则=34；（2）若选择，由sin=2sin，可得sin=510，由于已知条件未给出任意一边的长度，满足条件的三角形有无数个，并不唯一确定，不符合题意.若选择，由正弦定理sin=sin，及=10，sin=1010，得10sin34=1010，所以=2，因为=34，所以 (0,4)，cos=1 sin2=31010，sin=sin(+)=sincos+cossin=2231010221010=55，所以=12sin=12 10 2 55=1 若选择，由余弦定理得2=2+2 2cos，及=2，得10=22+2 22222，解得=2，所以=2，所以=12sin=12 2 2 22=1