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全国通用高中数学必修二第六章平面向量及其应用(八)

1

单选题
1、在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若A=45°,B=60°,b=23，则c 等于（    ）
A．6-24B．6+24C．6-2D．6+2
答案：D
分析：先求出C，再由正弦定理求解即可.
解：在△ABC中，C=180°-45°-60°=75°．
由正弦定理可知csinC=bsinB，所
以csin75°=23sin60°，
故c=23sin75°sin60°=4sin75°=4sin(30°+45°)=4×6+24=6+2．
故选：D.
2、给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是(    )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
答案：D
分析：根据向量的定义即可判断.
密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；
速度、位移既有大小又有方向，是向量．
故选：D．
3、已知在三角形ABC中，BC=4，AB=2AC，则AB⋅AC的取值范围是（    ）
A．-329,32B．-329,32C．0,32D．0,32
答案：A
分析：根据三角形三边关系得到AC的取值范围，再利用余弦定理表示出cos∠CAB，最后根据平面向量数量积的定义计算可得；
解：因为BC=4，AB=2AC，所以AB+AC>4AB-AC<4，即2AC+AC>42AC-AC<4，解得43<AC<4，由余弦定理cos∠CAB=AC2+AB2-BC22AC⋅AB，所以AB⋅AC=AB⋅ACcos∠CAB=AB⋅AC⋅AC2+AB2-BC22AC⋅AB=AC2+AB2-BC22
=5AC2-162，因为43<AC<4，所以169<AC2<16，所以-329<5AC2-162<32，即AB⋅AC∈-329,32；
故选：A
4、下列说法错误的是（    ）
A．向量OA的长度与向量AO的长度相等B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等方向相反的向量共线D．方向相反的向量可能相等
答案：D
分析：向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况.向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项.
A.向量OA与向量AO的方向相反，长度相等，故A正确；
B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；
C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；
D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.
小提示：本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型.
5、《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形ABCDEFGH的边长为22，点P是正八边形ABCDEFGH的内部（包含边界）任一点，则AP⋅AB的取值范围是（    ）

A．[-42,42]B．[-42,8+42]C．[8-42,8+42]D．[-42,8-42]
答案：B
分析：先求出AP在AB方向上的投影的取值范围，再由数量积的定义求出AP⋅AB的取值范围即可.

如图，作AM⊥GH的延长线于M，BN⊥DC的延长线于N，根据正八边形的特征，可知AM=BN=2，
于是AP在AB方向上的投影的取值范围为[-2,22+2]，结合向量数量积的定义可知，AP⋅AB等于AB的模与AP在AB方向上的投影的乘积，
又AB=22，∴AP⋅AB的最大值为22×22+2=8+42，AP⋅AB的最小值为22×-2=-42．
则AP⋅AB的取值范围是[-42,8+42].
故选：B．
6、在△ABC中，已知B=120°，AC=19，AB=2，则BC=（    ）
A．1B．2C．5D．3
答案：D
分析：利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
设AB=c,AC=b,BC=a，
结合余弦定理：b2=a2+c2-2accosB可得：19=a2+4-2×a×c×cos120∘，
即：a2+2a-15=0，解得：a=3（a=-5舍去），
故BC=3.
故选：D.
小提示：利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
7、下列条件中能得到a=b的是（    ）
A．|a|=|b|B．a与b的方向相同；
C．a=0，b为任意向量D．a=0且b=0
答案：D
分析：根据相等向量的概念，即可得到结果.
由于a=b，所以a与b的大小相等，方向相同，故D正确.
故选：D.
8、在△ABC中，已知a=11，b=20，A=130°，则此三角形（    ）
A．无解B．只有一解
C．有两解D．解的个数不确定
答案：A
分析：根据三角形大边对大角（小边对小角）和三角形内角和为180°，即可判断解的情况.
∵a<b，∴A<B，
又∵A=130°，∴A+B+C>180°，
故此三角形无解．
故选:A.
多选题
9、[多选]向量a=2e,b=-6e，则下列说法正确的是（  ）
A．a//bB．向量a,b方向相反
C．|a|=3|b|D．b=-3a
答案：ABD
分析：根据向量的数乘运算，即可得到答案；
因为a=2e,b=-6e ，
所以b=-3a，故D正确；
由向量共线定理知，A正确；
－3<0，a与b方向相反，故B正确；
由上可知|b|=3|a|，故C错误．
故选：ABD
10、任意两个非零向量和m，n，定义：m⊗n=m⋅nn⋅n，若平面向量a,b满足|a|≥2|b|>0，a与b的夹角θ∈0,π3，且a⊗b和b⊗a都在集合n4n∈Z中，则a⊗b的值可能为（    ）
A．5B．4C．3D．2
答案：CD
分析：由已知得集合{n4|n∈Z}的元素特征，再分析a⊗b和b⊗a的范围，再由定义计算后，可得答案.
首先观察集合{n4|n∈Z}=⋅⋅⋅,-1,-34,-12,-14,0,14,12,34,1,⋅⋅⋅，从而分析a⊗b和b⊗a的范围如下：
因为θ∈(0,π3)，∴12<cosθ<1，而b⊗a=b⋅aa⋅a=bacosθ，且|a|≥2|b|>0，
可得0<bacosθ<12，
又∵b⊗a∈ {n4|n∈Z}中，∴bacosθ=14，从而ba=14cosθ，
∴a⊗b=a⋅bb⋅b=abcosθ=4cos2θ，又14<cos2θ<1，所以1<a⊗b=4cos2θ<4．且a⊗b也在集合{n4|n∈Z}中，
故有a⊗b=2或3．
故选：CD.
小提示：关键点睛：解决本题的关键一是对向量运算的新定义的理解，二在于能迁移运用向量的数量积运算解决问题.
11、已知a、b是平面上夹角为π3的两个单位向量，c在该平面上，且a-c⋅b-c=0，则下列结论中正确的有（    ）
A．a+b=1B．a-b=1
C．c<3D．a+b与c的夹角是钝角
答案：BC
分析：利用平面向量的数量积运算可判断AB选项的正误；作OA=a，OB=b，OC=c，分析得出点C的轨迹，求出c的最大值，可判断C选项的正误；以OA、OB为邻边作平行四边形OAEB，考查∠EOC取最大值时点C的位置，可判断D选项的正误.
对于A选项，a+b2=a2+b2+2a⋅b=a2+b2+2a⋅bcosπ3=3，故a+b=3，A错；
对于B选项，a-b2=a2+b2-2a⋅b=a2+b2-2a⋅bcosπ3=1，故a-b=1，B对；
对于CD选项，作OA=a，OB=b，OC=c，
则a-c=OA-OC=CA，b-c=OB-OC=CB，a-c⋅b-c=CA⋅CB=0，
所以，CA⊥CB，故点C的轨迹是以AB为直径的圆，如下图所示：

设线段AB的中点为点D，则OD=32，DC=12AB=12，
所以，c=OC=OD+DC≤OD+DC=3+12<3，C对，
以OA、OB为邻边作平行四边形OAEB，则OE=OA+OB=a+b，
则∠EOC为向量a+b与c的夹角，
当OC与圆D相切时（此时点C与点C'重合），此时，∠EOC取得最大值，
连接DC，则DC⊥OC，则∠EOC为锐角，即a+b与c的夹角是锐角，D错误.
故选：BC.
12、四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则（    ）
A．AB=2MDB．DM-CB=AMC．AD+MC=MAD．AM⋅BC=1
答案：BD
分析：如图，根据向量的线性运算和数量积的定义计算，依次判断选项即可.
如图，

A：AB=2DM=-2MD，故A错误；
B：AM=AD+DM=BC+DM=DM-CB，故B正确；
C：MA=MD+DA=-DM-AD=CM-AD，故C错误；
D：AM⋅BC=(AD+DM)⋅BC=AD⋅BC+DM⋅BC，
由BC⊥DM，得DM⋅BC =0，
所以AM⋅BC=AD⋅BC+0=BC2=1，故D正确.
故选：BD
解答题
13、如图所示，在△ABC中，D，F分别是边BC，AC的中点，且AE=23AD，AB=a，AC=b．求证：B，E，F三点共线．

答案：证明见解析
分析：利用平面向量基本定理求出BE，BF，再根据向量共线定理得BE=23BF即可证明．
证明：因为在△ABC中，D，F分别是边BC，AC的中点，
所以AD=12AB+AC=12(a+b)，AE=23AD=13(a+b)，
所以BE=AE-AB=13(a+b)-a=13(b-2a)，
因为AF=12AC=12b，
所以BF=AF-AB=12b-a=12(b-2a)，
所以BE=23BF，
所以BE∥BF．
又BE与BF有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
14、已知函数fx=4cosxsinx-π3+3．
（Ⅰ）求函数fx在区间π4,π2上的值域．
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角，fC=3，且c=2，求△ABC面积的最大值．
答案：（Ⅰ）1,2；（Ⅱ）3
分析：（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数f(x)在区间[π4，π2]上的值域；
（Ⅱ）先求出C，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得△ABC面积的最大值．
解：（Ⅰ）f(x)=4cosxsin(x-π3)+3
=4cosxsinxcosπ3-cosxsinπ3+3
=4cosx12sinx-32cosx+3
=2sinxcosx-23cos2x+3
=sin2x-3cos2x=2sin(2x-π3)， 
由π4⩽x⩽π2，有π6⩽2x-π3⩽2π3，所以12≤sin2x-π3≤1
∴函数f(x)的值域为1,2． 
（Ⅱ）由fC=3，有sin(2C-π3)=32，
∵C为锐角，∴2C-π3=π3，∴C=π3．
∵c=2，∴由余弦定理得：a2+b2-ab=4，
∵a2+b2⩾2ab，∴4=a2+b2-ab⩾ab．
∴S△ABC=12absinC=34ab⩽3，
∴当a=b，即△ABC为正三角形时，△ABC的面积有最大值3．
15、在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，

（1）如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a,b分别表示BF,DE.
（2）如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a,b表示AG.
答案：（1）BF-12a+b，DE=a-12b（2）AG=14a+34b.
分析：（1）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可；
（2）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.
（1）BF=BC+CF=AD+12CD=AD-12AB=-12a+b，
DE=DC+CE=AB+12CB=AB-12AD=a-12b；
（2）AG=AD+DG=AD+14DB=AD+14(DA+AB)=14AB+34AD=14a+34b.

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