全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用高频考点知识梳理.docx

(名师选题)全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用高频考点知识梳理

单选题
1、设在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b,c， 若 bcosC+ccosB=asinA， 则△ABC的形状为（   ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．钝角三角形
答案：A
分析：根据两角和的正弦公式和正弦定理求得sinA=sin2A，得到sinA=1，求得A=π2，即可求解.
因为bcosC+ccosB=asinA，
由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sin2A，
即sinB+C=sin2A，即sinA=sin2A，所以sinA=1，
又因为A∈(0,π)，所以A=π2，所以是直角三角形.
故选：A.
2、向量AB=7,-5，将AB按向量a=(3,6)平移后得到向量A'B'，则A'B'的坐标形式为（    ）
A．10,1B．4,-11
C．7,-5D．3,6
答案：C
分析：由向量平移可知，A'B'与AB方向相同且长度相等，即可得A'B'的坐标.
因为平移后，A'B'与AB方向相同且长度相等，故A'B'=AB=7,-5.
故选：C
3、我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC=a，BA=b，BE=3EF，则BF=（    ）

A．1225a+925bB．1625a+1225b
C．45a+35bD．35a+45b
答案：B
分析：根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.
因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC⃑=a→，BA=b，BE=3EF，
则BF=BC+CF=BC+34EA =BC+34(EB+BA) =BC+34(-34BF+BA)
=BC-916BF+34BA，解得BF=1625BC+1225BA，所以BF=1625a+1225b.
故选：B
4、若z1+i3=i，则在复平面内复数z对应的点位于（    ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：B
分析：先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断.
因为z(1-i)=i，
所以z=i1-i=i(1+i)2=-1+i2，
故z对应的点位于复平面内第二象限．
故选：B．
5、若非零向量a,b满足a=3b, (2a+3b)⊥b，则a与b的夹角为（    ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
答案：C
分析：设a与b的夹角为θ, |b|=t，进而根据向量数量积的运算律和向量垂直时数量积为0得cosθ=-12，进而得答案.
解：根据题意，设a与b的夹角为θ, |b|=t，则|a|=3|b|=3t，
若(2a+3b)⊥b，则(2a+3b)⋅b=2a⋅b+3b2=6t2cosθ+3t2=0，
即cosθ=-12，
又由0≤θ≤π，则θ=2π3，
故选：C．
6、△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b2+c2-a2=bc，则A=（    ）
A．π6B．5π6C．π3D．2π3
答案：C
分析：利用余弦定理求出cosA，再求出A即可.
∵b2+c2-a2=bc,∴cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，∵0<A<π，∴A=π3.
故选：C
7、若A(-2,3)，B(3,2)，C12,m三点共线，则实数m的值为
A．2B．-2C．52D．-12
答案：C
分析：由三点共线可得出向量共线，再根据向量共线的知识即可解题.
因为A(-2,3)，B(3,2)，C12,m三点共线，
所以方向向量AB=(5,-1)与AC=52,m-3共线，
所以5(m-3)-(-1)×52=0，解得m=52.
故选：C
小提示：本题主要考查点共线和向量共线问题，属于常规题型.
8、某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角∠A＝23°，∠C＝120°，AC=603米，则A，B间的直线距离约为（参考数据sin37°≈0.6）（    ）

A．60米B．120米C．150米D．300米
答案：C
分析：应用正弦定理有ACsinB=ABsinC，结合已知条件即可求A，B间的直线距离.
由题设，∠B=180°-∠A-∠C=37°，
在△ABC中，ACsinB=ABsinC，即603sin37°=AB32，
所以AB=90sin37°≈150米.
故选：C
9、我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求职公式，即△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则△ABC的面积S=14c2a2-c2+a2-b222.已知在△ABC中，accosB=6,b=22，则△ABC面积的最大值为（    ）
A．33B．233C．2D．4
答案：D
分析：由条件accosB=6,b=22得a2+c2=20，由基本不等式得ac≤10，再由S=14c2a2-c2+a2-b222可求解.
∵accosB=ac·a2+c2-b22ac=a2+c2-b22=6，又∵b=22，a2+c2=12+b2=20.
∴ac≤a2+c22=10（当且仅当a=c=10时取等号）.
∴S△ABC=14a2c2-a2+c2-b222
=14a2c2-62≤14×102-62=4，
∴△ABC面积的最大值为4.
故选：D
10、下列说法错误的是（    ）
A．向量OA的长度与向量AO的长度相等B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等方向相反的向量共线D．方向相反的向量可能相等
答案：D
分析：向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况.向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项.
A.向量OA与向量AO的方向相反，长度相等，故A正确；
B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；
C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；
D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.
小提示：本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型.
11、在平行四边形ABCD中，|AB|=3，若BABA+BCBC=BDBD，则|AC|=（    ）
A．23B．33C．43D．3
答案：B
解析：由题意分析可知，四边形ABCD为菱形且∠ABC=120∘，然后求解|AC|.
∵BA|BA|+BC|BC|=BDBD，则BD平分∠ABC，则四边形ABCD为菱形.
且∠ABC=120∘，由AB = BC=3，则|AC|=33,
故选：B.
小提示：关键点睛：本题考查向量的综合运用，解题的关键是要注意aa为a上的单位向量，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.
12、已知向量a，b满足|a|=3，|b|=2，且a⊥(a-b)，则a与b的夹角为（    ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
答案：A
分析：利用数量积的定义，即可求解.
解：a⊥(a-b),所以a⋅(a-b)=0,即a→2-a→b→cosa→,b→=0，
解得cosa→,b→=32,又因为向量夹角的范围为0°,180°，则a与b的夹角为30°，
故选：A.
填空题
13、已知i、j、k表示共面的三个单位向量，i⊥j，那么i+k⋅j+k的取值范围是__________．
答案：1-2,1+2
分析：计算出i+j的值，利用平面向量的数量积的运算性质结合余弦函数的有界性可求得i+k⋅j+k的取值范围.
已知i、j、k表示共面的三个单位向量，i⊥j，则i⋅j=0，
i+j=i+j2=i2+2i⋅j+j2=2，
所以，i+k⋅j+k=i⋅j+i+j⋅k+k2=1+i+j⋅kcos<i+j,k>=1+2cos<i+j,k>，
而-1≤cos<i+j,k>≤1，因此，1-2≤i+k⋅j+k≤1+2.
所以答案是：1-2,1+2.
小提示：方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
14、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，DE=2EC，M为BC的中点，若点P在线段BD上运动，则PE⋅PM的最小值为______.

答案：2352
分析：构建直角坐标系，令AP=λAB+(1-λ)AD求P的坐标，进而可得PE，PM，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可.
以A为坐标原点，AB，AD分别为x，y建系，则E(2,2)，M(3,1)，

又AB=(3,0)，AD=(0,2)，令AP=λAB+(1-λ)AD=(3λ,2-2λ)，0≤λ≤1，
故P(3λ,2-2λ)，则PE=(2-3λ,2λ)，PM=(3-3λ,2λ-1)，
PE⋅PM=(2-3λ)(3-3λ)+2λ(2λ-1) =13λ2-17λ+6，
所以λ=1726时，PE⋅PM取最小值2352.
所以答案是：2352.
15、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD=45m，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，则AB两点的距离为______m．

答案：455
分析：先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。
解：易知在△ACD中，∠DAC=180°-∠ADB-∠BDC-∠ACD=15°，

∴ △ACD为等腰三角形，则AD=CD=45，
在△BCD中，∠CBD=180°-∠BDC-∠ACD-∠ACB=30°，∠BCD=120°+15°=135°，
所以由正弦定理得CDsin∠CBD=BDsin∠BCD，即45sin30°=BDsin135°，得BD=452，
在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD×BD×cos135°
=452+4522-2×45×452×-22=452×5，
所以AB=455，即A，B两点的距离为455，
所以答案是：455．
16、已知a､b是平面内两个互相垂直的单位向量，若c满足a-c⋅b-c=0，则c的最大值为___________.
答案：2
分析：首先根据数量积公式展开，再化简c=2cosα，利用三角函数的有界性求最值.
a-c⋅b-c=0⇔a⋅b-a+b⋅c+c2=0，
∴ c2=a+b⋅c=a+bccosα=2ccosα，即c=2cosα，cmax=2.
所以答案是：2
17、在△ABC中，AB=6,AC=63,BC=12,动点P自点C出发沿CB运动，到达点B时停止，动点Q自点B出发沿BC运动，到达点C时停止，且动点Q的速度是动点P的3倍．若二者同时出发，且当其中一个点停止运动时．另一个点也停止运动，则该过程中AP→⋅AQ→的最大值是________________________．
答案：72
分析：先求出∠BAC=90°,且∠ACB=30°,建立平面直角坐标系xAy，如图所示．设点P(x,63-3x),x∈0,2，求出AP→⋅AQ→=-12x-522+75，即得解.
因为AB=6,AC=63,BC=12,AB2+AC2=BC2，
所以∠BAC=90°,且∠ACB=30°,
建立平面直角坐标系xAy，如图所示．

设点P(x,63-3x),x∈0,2，则CP=2x,BQ=6x，
从而可得Q(6-3x,33x)，
所以AP→⋅AQ→=x(6-3x)+33x(63-3x)=-12x-522+75．
因为y=-12x-522+75在0,2上单调递增，
所以当x=2时，AP→⋅AQ→取得最大值，且最大值为72．
所以答案是：72
解答题
18、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，csinA+3asinC+π2=0，c=6.
（1）求△ABC外接圆的面积；
（2）若c=3b，AM=13AB，求△ACM的周长.
答案：（1）12π；（2）4+23.
分析：（1）先利用诱导公式将原式化简，再运用正弦定理进行边角互化，得出角C的大小，然后运用正弦定理csinC=2R求解外接圆的半径，从而得出外接圆的面积.
（2）由c=6及c=3b可解出b，sinB的大小，得出角B的大小，进而得出角A，然后在△ACM中，由余弦定理可解得CM的值，得出△ACM的周长.
（1）∵ csinA+3asinC+π2=0，
∴ csinA+3acosC=0，由正弦定理得：sinCsinA+3sinAcosC=0，
因为 sinA≠0，所以sinC+3cosC=0，得tanC=-3，
又0<C<π，故 C=2π3，
∴△ABC外接圆的半径R=12⋅csinC=12×632=23，
∴△ABC外接圆的面积为12π.
（2）由c=6及c=3b得：b=23，sinB=sinC3=323=12，
∵C=2π3，则B为锐角，
∴B=π6，故A=π-B-C=π6.
如图所示，在△ACM中，由余弦定理得，
CM2=AM2+AC2-2AM⋅AC⋅cosA=22+232-2×2×23×32=4，
解得CM=2，
则△ACM的周长为4+23.

小提示：解三角形时，若题目所给式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或者边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征不明显，则两个定理都有可能用到.
19、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+c2-b2=4，sinB=154.
(1)求△ABC的面积；
(2)若sinAsinC=12，求△ABC的周长.
答案：(1)15；
(2)15+35.
分析：（1）由余弦定理及已知可得accosB=2，根据同角平方关系求出cosB，进而求得ac=8，最后应用三角形面积公式求面积.
（2）正弦定理求得b=15，再应用余弦定理求得a+c=35，即可得结果.
（1）
由余弦定理得：cosB=a2+c2-b22ac，又a2+c2-b2=4，
所以accosB=2，则cosB>0，又sinB=154，则cosB=1-(154)2=14，
所以ac=2cosB=8，则S△ABC=12acsinB=15.
（2）
由正弦定理得：bsinB=asinA=csinC，则b2sin2B=asinA⋅csinC=acsinAsinC=812=16，
所以bsinB=4，b=4sinB=15.
由b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB，
整理得(a+c)2=b2+2ac+2accosB=15+16+4=35，解得a+c=35.
故△ABC的周长为15+35.
20、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知△ABC的周长为2+1，且a+b=2c．
(1)求c的长；
(2)若△ABC的面积为16sinC，求角C的大小．
答案：(1)c=1
(2)C=π3
分析：（1）利用三角形的周长公式以及已知条件可得出关于c的等式，即可解得c的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得ab，利用余弦定理可求得cosC的值，再结合角C的取值范围可求得角C的值.
（1）解：由已知可得a+b+c=2c+c=2+1c=2+1，解得c=1.
（2）解：因为S△ABC=12absinC=16sinC，所以ab=13，
从而cosC=a2+b2-c22ab=a+b2-2ab-c22ab=2-2×13-12×13=12，
因为C∈0,π，因此，C=π3.