全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用高频考点知识梳理.docx

(名师选题)全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用高频考点知识梳理单选题1、设在ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b,c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为（）A直角三角形B等边三角形C等腰三角形D钝角三角形答案：A分析：根据两角和的正弦公式和正弦定理求得sinA=sin2A，得到sinA=1，求得A=2，即可求解.因为bcosC+ccosB=asinA，由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sin2A，即sinB+C=sin2A，即sinA=sin2A，所以sinA=1，又因为A(0,)，所以A=2，所以是直角三角形.故选：A.2、向量AB=7,-5，将AB按向量a=(3,6)平移后得到向量AB，则AB的坐标形式为（）A10,1B4,-11C7,-5D3,6答案：C分析：由向量平移可知，AB与AB方向相同且长度相等，即可得AB的坐标.因为平移后，AB与AB方向相同且长度相等，故AB=AB=7,-5.故选：C3、我国东汉末数学家赵夾在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示在“赵爽弦图”中，若BC=a，BA=b，BE=3EF，则BF=（）A1225a+925bB1625a+1225bC45a+35bD35a+45b答案：B分析：根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC=a，BA=b，BE=3EF，则BF=BC+CF=BC+34EA=BC+34(EB+BA)=BC+34(-34BF+BA)=BC-916BF+34BA，解得BF=1625BC+1225BA，所以BF=1625a+1225b.故选：B4、若z1+i3=i，则在复平面内复数z对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案：B分析：先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断.因为z(1-i)=i，所以z=i1-i=i(1+i)2=-1+i2，故z对应的点位于复平面内第二象限故选：B5、若非零向量a,b满足a=3b,(2a+3b)b，则a与b的夹角为（）A6B3C23D56答案：C分析：设a与b的夹角为,|b|=t，进而根据向量数量积的运算律和向量垂直时数量积为0得cos=-12，进而得答案.解：根据题意，设a与b的夹角为,|b|=t，则|a|=3|b|=3t，若(2a+3b)b，则(2a+3b)b=2ab+3b2=6t2cos+3t2=0，即cos=-12，又由0，则=23，故选：C6、ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b2+c2-a2=bc，则A=（）A6B56C3D23答案：C分析：利用余弦定理求出cosA，再求出A即可.b2+c2-a2=bc,cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，0A，A=3.故选：C7、若A(-2,3)，B(3,2)，C12,m三点共线，则实数m的值为A2B-2C52D-12答案：C分析：由三点共线可得出向量共线，再根据向量共线的知识即可解题.因为A(-2,3)，B(3,2)，C12,m三点共线，所以方向向量AB=(5,-1)与AC=52,m-3共线，所以5(m-3)-(-1)52=0，解得m=52.故选：C小提示：本题主要考查点共线和向量共线问题，属于常规题型.8、某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角A23，C120，AC=603米，则A，B间的直线距离约为（参考数据sin370.6）（）A60米B120米C150米D300米答案：C分析：应用正弦定理有ACsinB=ABsinC，结合已知条件即可求A，B间的直线距离.由题设，B=180-A-C=37，在ABC中，ACsinB=ABsinC，即603sin37=AB32，所以AB=90sin37150米.故选：C9、我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求职公式，即ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则ABC的面积S=14c2a2-c2+a2-b222.已知在ABC中，accosB=6,b=22，则ABC面积的最大值为（）A33B233C2D4答案：D分析：由条件accosB=6,b=22得a2+c2=20，由基本不等式得ac10，再由S=14c2a2-c2+a2-b222可求解.accosB=aca2+c2-b22ac=a2+c2-b22=6，又b=22，a2+c2=12+b2=20.aca2+c22=10（当且仅当a=c=10时取等号）.SABC=14a2c2-a2+c2-b222=14a2c2-6214102-62=4，ABC面积的最大值为4.故选：D10、下列说法错误的是（）A向量OA的长度与向量AO的长度相等B零向量与任意非零向量平行C长度相等方向相反的向量共线D方向相反的向量可能相等答案：D分析：向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况.向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项.A.向量OA与向量AO的方向相反，长度相等，故A正确；B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.小提示：本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型.11、在平行四边形ABCD中，|AB|=3，若BABA+BCBC=BDBD，则|AC|=（）A23B33C43D3答案：B解析：由题意分析可知，四边形ABCD为菱形且ABC=120，然后求解|AC|.BA|BA|+BC|BC|=BDBD，则BD平分ABC，则四边形ABCD为菱形.且ABC=120，由AB=BC=3，则|AC|=33,故选：B.小提示：关键点睛：本题考查向量的综合运用，解题的关键是要注意aa为a上的单位向量，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.12、已知向量a，b满足|a|=3，|b|=2，且a(a-b)，则a与b的夹角为（）A30B60C120D150答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a(a-b),所以a(a-b)=0,即a2-abcosa,b=0，解得cosa,b=32,又因为向量夹角的范围为0,180，则a与b的夹角为30，故选：A.填空题13、已知i、j、k表示共面的三个单位向量，ij，那么i+kj+k的取值范围是_答案：1-2,1+2分析：计算出i+j的值，利用平面向量的数量积的运算性质结合余弦函数的有界性可求得i+kj+k的取值范围.已知i、j、k表示共面的三个单位向量，ij，则ij=0，i+j=i+j2=i2+2ij+j2=2，所以，i+kj+k=ij+i+jk+k2=1+i+jkcos=1+2cos，而-1cos1，因此，1-2i+kj+k1+2.所以答案是：1-2,1+2.小提示：方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用14、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，DE=2EC，M为BC的中点，若点P在线段BD上运动，则PEPM的最小值为_.答案：2352分析：构建直角坐标系，令AP=AB+(1-)AD求P的坐标，进而可得PE，PM，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可.以A为坐标原点，AB，AD分别为x，y建系，则E(2,2)，M(3,1)，又AB=(3,0)，AD=(0,2)，令AP=AB+(1-)AD=(3,2-2)，01，故P(3,2-2)，则PE=(2-3,2)，PM=(3-3,2-1)，PEPM=(2-3)(3-3)+2(2-1)=132-17+6，所以=1726时，PEPM取最小值2352.所以答案是：2352.15、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD=45m，ADB=135，BDC=DCA=15，ACB=120，则AB两点的距离为_m答案：455分析：先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。解：易知在ACD中，DAC=180-ADB-BDC-ACD=15，ACD为等腰三角形，则AD=CD=45，在BCD中，CBD=180-BDC-ACD-ACB=30，BCD=120+15=135，所以由正弦定理得CDsinCBD=BDsinBCD，即45sin30=BDsin135，得BD=452，在ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2ADBDcos135=452+4522-245452-22=4525，所以AB=455，即A，B两点的距离为455，所以答案是：45516、已知ab是平面内两个互相垂直的单位向量，若c满足a-cb-c=0，则c的最大值为_.答案：2分析：首先根据数量积公式展开，再化简c=2cos，利用三角函数的有界性求最值.a-cb-c=0ab-a+bc+c2=0，c2=a+bc=a+bccos=2ccos，即c=2cos，cmax=2.所以答案是：217、在ABC中，AB=6,AC=63,BC=12,动点P自点C出发沿CB运动，到达点B时停止，动点Q自点B出发沿BC运动，到达点C时停止，且动点Q的速度是动点P的3倍若二者同时出发，且当其中一个点停止运动时另一个点也停止运动，则该过程中APAQ的最大值是_答案：72分析：先求出BAC=90,且ACB=30,建立平面直角坐标系xAy，如图所示设点P(x,63-3x),x0,2，求出APAQ=-12x-522+75，即得解.因为AB=6,AC=63,BC=12,AB2+AC2=BC2，所以BAC=90,且ACB=30,建立平面直角坐标系xAy，如图所示设点P(x,63-3x),x0,2，则CP=2x,BQ=6x，从而可得Q(6-3x,33x)，所以APAQ=x(6-3x)+33x(63-3x)=-12x-522+75因为y=-12x-522+75在0,2上单调递增，所以当x=2时，APAQ取得最大值，且最大值为72所以答案是：72解答题18、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，csinA+3asinC+2=0，c=6.（1）求ABC外接圆的面积；（2）若c=3b，AM=13AB，求ACM的周长.答案：（1）12；（2）4+23.分析：（1）先利用诱导公式将原式化简，再运用正弦定理进行边角互化，得出角C的大小，然后运用正弦定理csinC=2R求解外接圆的半径，从而得出外接圆的面积.（2）由c=6及c=3b可解出b，sinB的大小，得出角B的大小，进而得出角A，然后在ACM中，由余弦定理可解得CM的值，得出ACM的周长.（1）csinA+3asinC+2=0，csinA+3acosC=0，由正弦定理得：sinCsinA+3sinAcosC=0，因为sinA0，所以sinC+3cosC=0，得tanC=-3，又0C0，又sinB=154，则cosB=1-(154)2=14，所以ac=2cosB=8，则SABC=12acsinB=15.（2）由正弦定理得：bsinB=asinA=csinC，则b2sin2B=asinAcsinC=acsinAsinC=812=16，所以bsinB=4，b=4sinB=15.由b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB，整理得(a+c)2=b2+2ac+2accosB=15+16+4=35，解得a+c=35.故ABC的周长为15+35.20、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c已知ABC的周长为2+1，且a+b=2c(1)求c的长；(2)若ABC的面积为16sinC，求角C的大小答案：(1)c=1(2)C=3分析：（1）利用三角形的周长公式以及已知条件可得出关于c的等式，即可解得c的值；（2）利用三角形的面积公式可求得ab，利用余弦定理可求得cosC的值，再结合角C的取值范围可求得角C的值.（1）解：由已知可得a+b+c=2c+c=2+1c=2+1，解得c=1.（2）解：因为SABC=12absinC=16sinC，所以ab=13，从而cosC=a2+b2-c22ab=a+b2-2ab-c22ab=2-213-1213=12，因为C0,，因此，C=3.