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全国通用高中数学必修二第六章平面向量及其应用(十五)

1

单选题
1、已知向量a,b满足a=2,b=1,a⋅a-2b=2，则a与b的夹角为（    ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
答案：B
分析：由题意，先求出a⋅b，然后根据向量的夹角公式即可求解.
解：因为a⋅(a-2b)=a2-2a⋅b=a2-2a⋅b=4-2a⋅b=2，所以a⋅b=1，
设a与b的夹角为θ，则cosθ=a⋅bab=12，
因为θ∈0°,180°，
所以θ=60°，
故选：B.
2、锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=7、b=8，m=12,cosA，n=(sinA，-32)，且m⊥n，则△ABC的面积为（    ）
A．3B．33C．53D．103
答案：D
分析：先由向量垂直得到A=π3，利用余弦定理求出c=3或c=5，利用锐角三角形排除c=3，从而c=5，利用面积公式求出答案.
由题意得：12sinA-32cosA=0，故tanA=3，
因为A∈0,π2，
所以A=π3，
由余弦定理得：cosA=64+c2-492×8c=12，
解得：c=3或c=5，
当c=3时，最大值为B，其中cosB=49+9-642×7×3<0，故B为钝角，不合题意，舍去；
当c=5时，最大值为B，其中cosB=49+25-642×7×5>0，故B为锐角，符合题意，
此时S△ABC=12bcsinA=12×8×5×32=103.
故选：D
3、在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于（    ）
A．14B．34C．24D．23
答案：B
分析：利用余弦定理求得cosB.
b2=ac,c=2a，则b2=2a2，
由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22a⋅2a=34.
故选：B
4、我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求职公式，即△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则△ABC的面积S=14c2a2-c2+a2-b222.已知在△ABC中，accosB=6,b=22，则△ABC面积的最大值为（    ）
A．33B．233C．2D．4
答案：D
分析：由条件accosB=6,b=22得a2+c2=20，由基本不等式得ac≤10，再由S=14c2a2-c2+a2-b222可求解.
∵accosB=ac·a2+c2-b22ac=a2+c2-b22=6，又∵b=22，a2+c2=12+b2=20.
∴ac≤a2+c22=10（当且仅当a=c=10时取等号）.
∴S△ABC=14a2c2-a2+c2-b222
=14a2c2-62≤14×102-62=4，
∴△ABC面积的最大值为4.
故选：D
5、若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3AM－AB－AC＝0→，则△ABM与△ABC的面积之比为（  ）
A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．2∶5
答案：B
分析：由平面向量的加法结合已知可得M为AD的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得.
如图，D为BC边的中点，

则AD=12(AB+AC)
因为3AM－AB－AC＝0→
所以3AM=AB+AC=2AD，
所以AM=23AD
所以S△ABM=23S△ABD=13S△ABC.
故选：B
6、如图，某城市有一条公路从正西方MO通过市中心O后转向东北方ON，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L，并在MO,ON上分别设置两个出口A,B，若AB部分为直线段，且要求市中心O与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（    ）

A．202-1千米B．402-1千米
C．202+1D．402+1
答案：D
分析：使用余弦定理及基本不等式，得到AB2≥2+2ab，使用正弦定理及三角恒等变换得到ab≥16002-2，进而求得AB的最短距离.

在△ABC中，∠AOB=135°，
设AO=a,BO=b，
则AB2=a2+b2-2abcos135°=a2+b2+2ab≥2+2ab，
当且仅当a=b时取等号，
设∠BAO=α，则∠ABO=45°-α，
又O到AB的距离为20千米，所以a=20sinα，b=20sin45°-α，
故ab=400sinαsin45°-α=16002sin2α+45°-2≥16002-2（α=22.5°时取等号），
所以AB2≥16002+22-2=16002+12，得AB≥402+1，
故选：D
7、已知向量a,b满足|a|=2，|b|=3，|a-2b|=213则a与b的夹角为（    ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
答案：C
分析：先对|a-2b|=213平方，代入已知条件整理得a⋅b=-3，再利用数量积公式可求得.
∵|a-2b|=213，∴|a-2b|2=a2-4a⋅b+4b2=52，
又|a|=2，|b|=3，∴a⋅b=-3，
设a与b的夹角为θ，
∴cosθ=a⋅b|a||b|=-12，
从而θ=2π3，所以a与b的夹角θ=2π3.
故选：C
8、向量AB=7,-5，将AB按向量a=(3,6)平移后得到向量A'B'，则A'B'的坐标形式为（    ）
A．10,1B．4,-11
C．7,-5D．3,6
答案：C
分析：由向量平移可知，A'B'与AB方向相同且长度相等，即可得A'B'的坐标.
因为平移后，A'B'与AB方向相同且长度相等，故A'B'=AB=7,-5.
故选：C
多选题
9、在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，a+bsinA-sinB=c-b⋅sinC，若b+c=4，则a的取值可以是（    ）
A．1B．2C．3D．4
答案：BC
分析：由三角形三边关系，得到a<b+c=4，由a+bsinA-sinB=c-bsinC，可得A=π3，再由余弦定理得到a2的范围，从而得到答案.
由三角形三边关系，得到a<b+c=4；
因为a+bsinA-sinB=c-bsinC，
由正弦定理asinA=bsinB=csinC得，
a+ba-b=c-bc，
即b2+c2-a2=bc，
由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12，
因为A∈0,π，所以A=π3，
且b+c=4,bc≤b+c22
所以a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc
=b+c2-3bc≥14b+c2=4，
所以a≥2，当且仅当b=c=2时，等号成立，
故2≤a<4.
故选：BC.
10、下列向量中与a=1,3共线的是（    ）
A．b=1,2B．c=-1,3C．d=-1,-3D．e=2,6
答案：CD
分析：根据给定向量，利用向量共线的坐标表示判断作答.
向量a=1,3，因1×2-3×1≠0，则b=1,2与a=1,3不共线，A不是；
因1×2-3×(-1)≠0，则c=-1,3与a=1,3不共线，B不是；
而d=-1,-3=-a，e=2,6=2a，则d,e与a都共线，即C，D是.
故选：CD
11、已知实数m、n和向量a、b，下列结论中正确的是（    ）
A．ma-b=ma-mbB．m-na=ma-na
C．若ma=mb，则a=bD．若ma=naa≠0，则m=n
答案：ABD
分析：利用平面向量的线性运算可判断ABCD选项.
对于A选项，ma-b=ma-mb，A对；
对于B选项，m-na=ma-na，B对；
对于C选项，若ma=mb，则ma-b=0，所以，m=0或a=b，C错；
对于D选项，若ma=naa≠0，则m-na=0，所以，m-n=0，即m=n，D对.
故选：ABD.
12、已知λ，μ∈R，AB=λ,1，AC=-1,1，AD=1,μ，那么（    ）
A．CB+DC=λ-1,1-μ
B．若AB∥AD，则λ=2，μ=12
C．若A是BD中点，则B，C两点重合
D．若点B，C，D共线，则μ=1
答案：AC
分析：根据向量运算、向量平行（共线）等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
A选项，CB+DC=AB-AC+AC-AD=AB-AD
=λ,1-1,μ=λ-1,1-μ，A选项正确.
B选项，若AB//AD，则λ⋅μ=1，故可取λ=3,μ=13，B选项错误.
C选项，若A是BD的中点，则AB=-AD，即λ,1=-1,-μ⇒λ=μ=-1，
所以AB=AC=-1,1，所以B,C两点重合，C选项正确.
D选项，由于B,C,D三点共线，所以BC//BD，
BC=AC-AB=-1,1-λ,1=-1-λ,0，
BD=AD-AB=1-λ,μ-1，
则-1-λ×μ-1=0×1-λ⇒λ=-1或μ=1，所以D选项错误.
故选：AC
解答题
13、康平滕龙阁，位于康平县中央公园中心，建在有“敖包朝霞”之称的敖包山旧址上，是老百姓心中的祥瑞之地.如图，小明同学为测量滕龙阁的高度，在滕龙阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为8米，在地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕龙阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，试替小明求滕龙阁的高度？（精确到0.01米）

答案：37.86米
分析：在△ACM中，利用正弦定理求得CM，然后在Rt△CDM中，由CD=CMsin60°求解.
解：由题意得，在Rt△ABM中，AM=ABsin15°，
在△ACM中，∠CAM=30°+15°=45°，∠AMC=180°-15°-60°=105°，
所以∠ACM=30°，由正弦定理AMsin∠ACM=CMsin∠CAM，
得CM=sin∠CAMsin∠ACM⋅AM=2ABsin15°，
又sin15°=sin45°-30°=22×32-22×12=6-24，
在Rt△CDM中，CD=CMsin60°=6AB2sin15°=862×6-24=24+83≈37.86.
答：滕龙阁的高度约为37.86米.
14、在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知2acosB=2c-b．
（1）求角A的值；
（2）若b=5，AC⋅CB=-5，求△ABC的周长；
（3）若2bsinB+2csinC=bc+3a，求△ABC面积的最大值．
答案：（1）A=π3;（2）20;（3）334.
解析：（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得cosA=12，可求得角A的值；
（2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出a,c，即可求得周长；
（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值；
（1）∵ 2acosB=2c-b⇒2sinA⋅cosB=2sinC-sinB,
∴ 2sinA⋅cosB=2⋅sin(A+B)-sinB=2(sinA⋅cosB+cosA⋅sinB)-sinB,
∴ cosA=12,
∵0<A<π,∴A=π3;
（2）∵AC⋅CB=AC⋅(AB-AC)=AC⋅AB-AC2
=c⋅5⋅cosπ3-52=52c-25=-5⇒c=8，
在△ABC中利用余弦定理得：a2=b2+c2-2b⋅c⋅cosA=52+82-2⋅5⋅8⋅12=49，
∴a=7，∴ ΔABC的周长为：5+8+7=20；
（3）∵ bsinB=csinC=asinA=a32=23a3，∴ sinB=32ba，sinC=32ca，
∴ 2b⋅32⋅ba+2c⋅32⋅ca=bc+3a，
∴3b2+c2-a2=abc⇒3⋅cosA=a2⇒3⋅12=a2⇒ a=3，
∴3b2+c2-3=3bc⇒b2+c2=3+bc，
∴3+bc⩾2bc⇒bc⩽3，等号成立当且仅当b=c，
△ABC面积的最大值为12bcsinAmax=334.
小提示：本题考查三角恒等变换、正余弦定理在解三角形中的应用，求解时注意选择边化成角或者角化成边的思路.
15、如图所示，在△ABC中，D，F分别是边BC，AC的中点，且AE=23AD，AB=a，AC=b．求证：B，E，F三点共线．

答案：证明见解析
分析：利用平面向量基本定理求出BE，BF，再根据向量共线定理得BE=23BF即可证明．
证明：因为在△ABC中，D，F分别是边BC，AC的中点，
所以AD=12AB+AC=12(a+b)，AE=23AD=13(a+b)，
所以BE=AE-AB=13(a+b)-a=13(b-2a)，
因为AF=12AC=12b，
所以BF=AF-AB=12b-a=12(b-2a)，
所以BE=23BF，
所以BE∥BF．
又BE与BF有公共点B，
所以B，E，F三点共线．

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