全国通用高中数学必修二第六章平面向量及其应用(十五).docx

全国通用高中数学必修二第六章平面向量及其应用(十五)1单选题1、已知向量a,b满足a=2,b=1,aa-2b=2，则a与b的夹角为（）A30B60C120D150答案：B分析：由题意，先求出ab，然后根据向量的夹角公式即可求解.解：因为a(a-2b)=a2-2ab=a2-2ab=4-2ab=2，所以ab=1，设a与b的夹角为，则cos=abab=12，因为0,180，所以=60，故选：B.2、锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=7、b=8，m=12,cosA，n=(sinA，-32)，且mn，则ABC的面积为（）A3B33C53D103答案：D分析：先由向量垂直得到A=3，利用余弦定理求出c=3或c=5，利用锐角三角形排除c=3，从而c=5，利用面积公式求出答案.由题意得：12sinA-32cosA=0，故tanA=3，因为A0,2，所以A=3，由余弦定理得：cosA=64+c2-4928c=12，解得：c=3或c=5，当c=3时，最大值为B，其中cosB=49+9-642730，故B为锐角，符合题意，此时SABC=12bcsinA=128532=103.故选：D3、在ABC中，已知b2ac且c2a，则cosB等于（）A14B34C24D23答案：B分析：利用余弦定理求得cosB.b2=ac,c=2a，则b2=2a2，由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22a2a=34.故选：B4、我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求职公式，即ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则ABC的面积S=14c2a2-c2+a2-b222.已知在ABC中，accosB=6,b=22，则ABC面积的最大值为（）A33B233C2D4答案：D分析：由条件accosB=6,b=22得a2+c2=20，由基本不等式得ac10，再由S=14c2a2-c2+a2-b222可求解.accosB=aca2+c2-b22ac=a2+c2-b22=6，又b=22，a2+c2=12+b2=20.aca2+c22=10（当且仅当a=c=10时取等号）.SABC=14a2c2-a2+c2-b222=14a2c2-6214102-62=4，ABC面积的最大值为4.故选：D5、若点M是ABC所在平面内的一点，且满足3AMABAC0，则ABM与ABC的面积之比为（）A12B13C14D25答案：B分析：由平面向量的加法结合已知可得M为AD的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得.如图，D为BC边的中点，则AD=12(AB+AC)因为3AMABAC0所以3AM=AB+AC=2AD，所以AM=23AD所以SABM=23SABD=13SABC.故选：B6、如图，某城市有一条公路从正西方MO通过市中心O后转向东北方ON，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L，并在MO,ON上分别设置两个出口A,B，若AB部分为直线段，且要求市中心O与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（）A202-1千米B402-1千米C202+1D402+1答案：D分析：使用余弦定理及基本不等式，得到AB22+2ab，使用正弦定理及三角恒等变换得到ab16002-2，进而求得AB的最短距离.在ABC中，AOB=135，设AO=a,BO=b，则AB2=a2+b2-2abcos135=a2+b2+2ab2+2ab，当且仅当a=b时取等号，设BAO=，则ABO=45-，又O到AB的距离为20千米，所以a=20sin，b=20sin45-，故ab=400sinsin45-=16002sin2+45-216002-2（=22.5时取等号），所以AB216002+22-2=16002+12，得AB402+1，故选：D7、已知向量a,b满足|a|=2，|b|=3，|a-2b|=213则a与b的夹角为（）A6B3C23D56答案：C分析：先对|a-2b|=213平方，代入已知条件整理得ab=-3，再利用数量积公式可求得.|a-2b|=213，|a-2b|2=a2-4ab+4b2=52，又|a|=2，|b|=3，ab=-3，设a与b的夹角为，cos=ab|a|b|=-12，从而=23，所以a与b的夹角=23.故选：C8、向量AB=7,-5，将AB按向量a=(3,6)平移后得到向量AB，则AB的坐标形式为（）A10,1B4,-11C7,-5D3,6答案：C分析：由向量平移可知，AB与AB方向相同且长度相等，即可得AB的坐标.因为平移后，AB与AB方向相同且长度相等，故AB=AB=7,-5.故选：C多选题9、在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，a+bsinA-sinB=c-bsinC，若b+c=4，则a的取值可以是（）A1B2C3D4答案：BC分析：由三角形三边关系，得到ab+c=4，由a+bsinA-sinB=c-bsinC，可得A=3，再由余弦定理得到a2的范围，从而得到答案.由三角形三边关系，得到ab+c=4；因为a+bsinA-sinB=c-bsinC，由正弦定理asinA=bsinB=csinC得，a+ba-b=c-bc，即b2+c2-a2=bc，由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12，因为A0,，所以A=3，且b+c=4,bcb+c22所以a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=b+c2-3bc14b+c2=4，所以a2，当且仅当b=c=2时，等号成立，故2a4.故选：BC.10、下列向量中与a=1,3共线的是（）Ab=1,2Bc=-1,3Cd=-1,-3De=2,6答案：CD分析：根据给定向量，利用向量共线的坐标表示判断作答.向量a=1,3，因12-310，则b=1,2与a=1,3不共线，A不是；因12-3(-1)0，则c=-1,3与a=1,3不共线，B不是；而d=-1,-3=-a，e=2,6=2a，则d,e与a都共线，即C，D是.故选：CD11、已知实数m、n和向量a、b，下列结论中正确的是（）Ama-b=ma-mbBm-na=ma-naC若ma=mb，则a=bD若ma=naa0，则m=n答案：ABD分析：利用平面向量的线性运算可判断ABCD选项.对于A选项，ma-b=ma-mb，A对；对于B选项，m-na=ma-na，B对；对于C选项，若ma=mb，则ma-b=0，所以，m=0或a=b，C错；对于D选项，若ma=naa0，则m-na=0，所以，m-n=0，即m=n，D对.故选：ABD.12、已知，R，AB=,1，AC=-1,1，AD=1,，那么（）ACB+DC=-1,1-B若ABAD，则=2，=12C若A是BD中点，则B，C两点重合D若点B，C，D共线，则=1答案：AC分析：根据向量运算、向量平行（共线）等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.A选项，CB+DC=AB-AC+AC-AD=AB-AD=,1-1,=-1,1-，A选项正确.B选项，若AB/AD，则=1，故可取=3,=13，B选项错误.C选项，若A是BD的中点，则AB=-AD，即,1=-1,-=-1，所以AB=AC=-1,1，所以B,C两点重合，C选项正确.D选项，由于B,C,D三点共线，所以BC/BD，BC=AC-AB=-1,1-,1=-1-,0，BD=AD-AB=1-,-1，则-1-1=01-=-1或=1，所以D选项错误.故选：AC解答题13、康平滕龙阁，位于康平县中央公园中心，建在有“敖包朝霞”之称的敖包山旧址上，是老百姓心中的祥瑞之地.如图，小明同学为测量滕龙阁的高度，在滕龙阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为8米，在地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕龙阁顶部C的仰角分别为15和60，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30，试替小明求滕龙阁的高度？（精确到0.01米）答案：37.86米分析：在ACM中，利用正弦定理求得CM，然后在RtCDM中，由CD=CMsin60求解.解：由题意得，在RtABM中，AM=ABsin15，在ACM中，CAM=30+15=45，AMC=180-15-60=105，所以ACM=30，由正弦定理AMsinACM=CMsinCAM，得CM=sinCAMsinACMAM=2ABsin15，又sin15=sin45-30=2232-2212=6-24，在RtCDM中，CD=CMsin60=6AB2sin15=8626-24=24+8337.86.答：滕龙阁的高度约为37.86米.14、在ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知2acosB=2c-b（1）求角A的值；（2）若b=5，ACCB=-5，求ABC的周长；（3）若2bsinB+2csinC=bc+3a，求ABC面积的最大值答案：（1）A=3;（2）20;（3）334.解析：（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得cosA=12，可求得角A的值；（2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出a,c，即可求得周长；（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值；（1）2acosB=2c-b2sinAcosB=2sinC-sinB,2sinAcosB=2sin(A+B)-sinB=2(sinAcosB+cosAsinB)-sinB,cosA=12,0A,A=3;（2）ACCB=AC(AB-AC)=ACAB-AC2=c5cos3-52=52c-25=-5c=8，在ABC中利用余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=52+82-25812=49，a=7，ABC的周长为：5+8+7=20；（3）bsinB=csinC=asinA=a32=23a3，sinB=32ba，sinC=32ca，2b32ba+2c32ca=bc+3a，3b2+c2-a2=abc3cosA=a2312=a2a=3，3b2+c2-3=3bcb2+c2=3+bc，3+bc2bcbc3，等号成立当且仅当b=c，ABC面积的最大值为12bcsinAmax=334.小提示：本题考查三角恒等变换、正余弦定理在解三角形中的应用，求解时注意选择边化成角或者角化成边的思路.15、如图所示，在ABC中，D，F分别是边BC，AC的中点，且AE=23AD，AB=a，AC=b求证：B，E，F三点共线答案：证明见解析分析：利用平面向量基本定理求出BE，BF，再根据向量共线定理得BE=23BF即可证明证明：因为在ABC中，D，F分别是边BC，AC的中点，所以AD=12AB+AC=12(a+b)，AE=23AD=13(a+b)，所以BE=AE-AB=13(a+b)-a=13(b-2a)，因为AF=12AC=12b，所以BF=AF-AB=12b-a=12(b-2a)，所以BE=23BF，所以BEBF又BE与BF有公共点B，所以B，E，F三点共线12