全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用解题方法技巧.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用解题方法技巧全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用解题方法技巧 单选题 1、设,均为单位向量，且|=1，则|2|=（）A3B7C3D7 答案：A 分析：由已知，利用向量数量积的运算律求得 =12，又|2|2=2 4 +42即可求|2|.由题设，|2=2 2 +2=1，又,均为单位向量，=12，|2|2=2 4 +42=3，则|2|=3.故选：A 2、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinAbsinB=4csinC，cosA=14，则=A6B5C4D3 答案：A 分析：利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.详解：由已知及正弦定理可得2 2=42，由余弦定理推论可得 14=cos=2+222,2422=14,32=14,=32 4=6，故选 A 小提示：本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用 3、已知向量,满足|=2,|=1,(2)=2，则 与的夹角为（）A30B60C120D150 答案：B 分析：由题意，先求出 ，然后根据向量的夹角公式即可求解.解：因为 (2)=2 2 =|2 2 =4 2 =2，所以 =1，设 与的夹角为，则cos=|=12，因为 0,180，所以=60，故选：B.4、在 中，=3，=2，=60，点P是 内一点（含边界），若=23+，则|的最大值为（）A273B83C2193D2133 答案：D 分析：以为原点，以所在的直线为轴，建立坐标系，设点为(,)，根据向量的坐标运算可得=3(2)，当直线=3(2)与直线相交时|最大，问题得以解决 以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，=3，=2，=60，(0,0)，(3,0)，(1,3)，设点为(,)，0 3，0 3，=23+，(，)=23(3，0)+(1，3)=(2+，3)，=2+=3，=3(2)，直线的方程为=32(3)，联立，解得=73=33，此时|最大，|=499+13=2133，故选：小提示：本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系将几何运算转化为坐标运算，同时考查了学生的数形结合的能力，属于中档题 5、我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求职公式，即 的三个内角,所对的边分别为,，则 的面积=1422(2+222)2.已知在 中，cos=6,=22，则 面积的最大值为（）A33B233C2D4 答案：D 分析：由条件cos=6,=22得2+2=20，由基本不等式得 10，再由=1422(2+222)2可求解.cos=2+222=2+222=6，又 =22，2+2=12+2=20.2+22=10（当且仅当=10时取等号）.=1422(2+222)2=14(22 62)14(102 62)=4，面积的最大值为 4.故选：D 6、向量=(,12)，=(4,5)，=(10,)若,三点共线，则的值为（）A2B1C2或 11D2 或11 答案：C 分析：求得，利用向量共线的充要条件，可得关于的方程，求解即可.解：由题可得：=(,12)(4,5)=(4,7)，=(,12)(10,)=(10,12 ).因为,三点共线，所以，所以(4)(12 )7(10)=0，整理得2 9 22=0，解得=2或=11.故选：C.7、向量=(7,5)，将按向量 =(3,6)平移后得到向量，则的坐标形式为（）A(10,1)B(4,11)C(7,5)D(3,6)答案：C 分析：由向量平移可知，与方向相同且长度相等，即可得的坐标.因为平移后，与方向相同且长度相等，故=(7,5).故选：C 8、魏晋时刘徽撰写的海岛算经是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高如图，点，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高=（）A表高表距表目距的差+表高 B表高表距表目距的差表高 C表高表距表目距的差+表距 D表高表距表目距的差表距 答案：A 分析：利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出 如图所示：由平面相似可知，=,=，而 =，所以=，而 =+，即=+=+表高表距表目距的差+表高 故选：A.小提示：本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出 9、在锐角 中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若sinsin3sin=cos+cos，且=34(2+2 2)，则2+的取值范围是（）A(6,23B(6,43C12,33)D3,2)答案：D 分析：根据给定条件利用正弦定理、余弦定理、三角形面积定理求出角C及边c，再求出+的范围即可计算作答.在锐角 中，由余弦定理及三角形面积定理得：=34(2+2 2)=32cos=12sin，即有tan=3，而 (0,2)，则=3，又sinsin3sin=cos+cos，由正弦定理、余弦定理得，323=2+222+2+222，化简得：=23，由正弦定理有：sin=sin=sin=2332=4，即=4sin，=4sin，是锐角三角形且=3，有 (0,2)，=23 (0,2)，解得 (6,2)，因此+=4(sin+sin)=4sin+sin(23)=4(sin+32cos+12sin)=43sin(+6)，由 (6,2)得：+6(3,23)，sin(+6)(32,1，所以2+=1243sin(+6)3,2)故选：D 小提示：思路点睛：涉及求三角形周长范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解.10、下列命题中假命题是（）A向量与的长度相等 B两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C只有零向量的模等于0 D共线的单位向量都相等 答案：D 分析：利用相反向量的概念可判断 A 选项的正误；利用相等向量的定义可判断 B 选项的正误；利用零向量的定义可判断 C 选项的正误；利用共线向量的定义可判断 D 选项的正误.对于 A 选项，与互为相反向量，这两个向量的长度相等，A 选项正确；对于 B 选项，两个相等的向量，长度相等，方向相同，若两个相等向量的起点相同，则终点也相同，B 选项正确；对于 C 选项，只有零向量的模等于0，C 选项正确；对于 D 选项，共线的单位向量是相等向量或相反向量，D 选项错误.故选：D.小提示：本题考查平面向量的相关概念，考查相等向量、相反向量、共线向量以及零向量的定义的应用，属于基础题.11、已知非零平面向量，下列结论中正确的是（）（1）若 =，则 =；（2）若|+|=|+|，则/（3）若|+|=|，则 （4）若(+)()=0，则 =或 =A（1）（2）B（2）（3）C（3）（4）D（2）（3）（4）答案：B 解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.已知非零平面向量，（1）若 =，则()=0，所以 =或()，即（1）错；（2）若|+|=|+|，则 与同向，所以/，即（2）正确；（3）若|+|=|，则|2+|2+2 =|2+|2 2 ，所以2 =0，则 ；即（3）正确；（4）若(+)()=0，则|2|2=0，所以|=|，不能得出向量共线，故（4）错；故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.12、在 中，已知=120，=19，=2，则=（）A1B2C5D3 答案：D 分析：利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.设=,=,=，结合余弦定理：2=2+2 2cos可得：19=2+4 2 cos120，即：2+2 15=0，解得：=3（=5舍去），故=3.故选：D.小提示：利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形 填空题 13、在ABC中，a5，b53，A30，则B_.答案：60或120 分析：利用正弦定理求得sin，由此求得.由正弦定理得sin=sin，即5sin30=53sin sin=32，由于0 180，所以=60或=120.所以答案是：60或120 14、在 中，若=2，=512，=4，则=_.答案：6 解析：由内角和求得，然后由正弦定理求得 =5124=3，由正弦定理得sin=sin，所以=sinsin=2sin3sin4=6.所以答案是：6 15、若向量，不共线，且|=4，|=7，则|+|的取值范围是_ 答案：(3,11)分析：设向量，的夹角为，利用|+|=(+)2展开计算，再将1 cos 1代入，写出|+|的范围.设向量，的夹角为，因为|=4，|=7，所以|+|=(+)2=|2+2|cos+|2=16+2 4 7 cos+49=65+56cos，又向量，不共线，所以1 cos 1，所以3 65+56cos 11，即3|+|11.所以答案是：(3,11).16、设向量 =(1,1),=(+1,2 4)，若 ，则=_.答案：5 分析：根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.由 可得 =0，又因为 =(1,1),=(+1,2 4)，所以 =1 (+1)+(1)(2 4)=0，即=5，所以答案是：5.小提示：本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.17、已知向量 =(2,1)，=(5,3)，若()/(+)，则=_ 答案：1 分析：先求出 和 +，利用向量平行列方程及可求出k.=(2 5,1 3)，+=(7,2)，于是2(2 5)+7(1+3)=0，解得=1 所以答案是：-1.解答题 18、如图，在OAB中，延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D，使=13，DC与OA交点为E，设=,=，用，表示向量，.答案：=2 ，=2 53.分析：利用向量的加、减运算即可求解.AC=BA，A是BC的中点，=12(+)，=2=2 .=23=2 23=2 53.19、已知 ，向量 =(1,1+)，=(,2).（1）若向量2 与平行，求k的值；（2）若向量2 与的夹角为钝角，求k的取值范围 答案：（1）2或1；（2）(,2)(2,0)(6,+).解析：（1）利用向量平行的坐标表示列式计算即得结果；（2）利用(2 )0，且不共线，列式计算即得结果.解：（1）依题意，=(1,1+)，=(,2)，2 =(2 ,2)又2 /，得2(2 )=22，即2+2=0 解得=2或1；（2）2 与的夹角为钝角，则(2 )0，即(2 )+4 0，解得 6.由（1）知，当=2时，2 与平行，舍去，所以(,2)(2,0)(6,+).小提示：思路点睛：两向量,夹角为锐角（或钝角）的等价条件：（1）两向量,夹角为锐角，等价于 0，且,不共线；（2）两向量,夹角为钝角，等价于 0，且,不共线.20、如图，已知=，=，=，=，=，试用，表示以下向量：(1)；(2)；(3)；(4)+；(5)答案：(1)(2)(3)(4)+(5)分析：由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果.（1）=.（2）=.（3）=.（4）+=+=+.（5）=.