(精选试题附答案)高中数学第六章平面向量及其应用知识集锦.pdf

(名师选题名师选题)（精选试题附答案）高中数学第六章平面向量及其应用知识集锦（精选试题附答案）高中数学第六章平面向量及其应用知识集锦 单选题 1、给出下列物理量：密度；温度；速度；质量；功；位移.正确的是()A是数量，是向量 B是数量，是向量 C是数量，是向量 D是数量，是向量 答案：D 分析：根据向量的定义即可判断.密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量 故选：D 2、已知不共线的平面向量,两两所成的角相等，且|=1,|=4,|+|=7，则|=（）A2B2C3D2 或 3 答案：D 分析：先求出=23，转化|+|=(+)2=7，列方程即可求出.由不共线的平面向量，两两所成的角相等，可设为，则=23.设|=m.因为|=1，|=4，|+|=7，所以|+|2=7，即 2+2 +2+2 +2 +2=7，所以12+2 1 4cos23+42+2 4 cos23+2 1 cos23+2=7 即2 5+6=0，解得：=2或 3.所以|=2 或 3 故选：D 3、在 中，已知=120，=19，=2，则=（）A1B2C5D3 答案：D 分析：利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.设=,=,=，结合余弦定理：2=2+2 2cos可得：19=2+4 2 cos120，即：2+2 15=0，解得：=3（=5舍去），故=3.故选：D.小提示：利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形 4、向量=(7,5)，将 按向量 =(3,6)平移后得到向量，则 的坐标形式为（）A(10,1)B(4,11)C(7,5)D(3,6)答案：C 分析：由向量平移可知，与 方向相同且长度相等，即可得 的坐标.因为平移后，与 方向相同且长度相等，故=(7,5).故选：C 5、我国东汉末数学家赵夾在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示在“赵爽弦图”中，若=，=，=3，则=（）A1225 +925 B1625 +1225 C45 +35 D35 +45 答案：B 分析：根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且=，=，=3，则=+=+34 =+34(+)=+34(34+)=916+34，解得=1625+1225，所以=1625 +1225.故选：B 6、已知单位向量，则下列说法正确的是（）A =B +=0C|=|D/答案：C 分析：利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得.对于 A，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同，A 错误；对于 B，向量，为单位向量，但向量，不一定为相反向量，B 错误；对于 C，向量，为单位向量，则|=|=1，C 正确；对于 D，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同或相反，即 与不一定平行，D 错误.故选：C.7、已知向量 =(1,)，=(2,4)，若 与 共线，则=（）A1B1C2D2 答案：C 分析：根据平面向量共线坐标表示可得答案.由题意得2=4，即=2.故选：C 8、设为实数，已知向量=(-1，2)，=(1，).若 ，则向量+2 与之间的夹角为（）A4B3C23D34 答案：A 解析：根据向量垂直的坐标运算解得=12，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.因为向量 =(1,2),=(1,)，若 ，则 =1 1+2=0，解得=12，所以 +2 =(1,3)，所以(+2)=1 (1)+3 2=5，|+2|=12+32=10，|=(1)2+22=5，设向量 +2 与 之间的夹角，则0 ，cos=(+2)|+2|=5105=22，所以向量 +2 与 之间的夹角为4.故选：A.9、在等腰梯形中，=2，,分别为,的中点，为的中点，则 等于（）A38+34 B38+12 C12+34 D14+38 答案：B 分析：根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即可.因为在等腰梯形中，=2，,分别为,的中点，为的中点，所以可得：=+=12+12=12+14(+)=12+38 故选：B.10、在ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则 cosB=（）A19B13C12D23 答案：A 分析：根据已知条件结合余弦定理求得，再根据cos=2+222，即可求得答案.在 中，cos=23，=4，=3 根据余弦定理：2=2+2 2 cos 2=42+32 2 4 3 23 可得2=9，即=3 由 cos=2+222=9+916233=19 故cos=19.故选：A.小提示：本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.填空题 11、设,为单位向量，且|+|=1，则|=_.答案：3 分析：整理已知可得：|+|=(+)2，再利用 ,为单位向量即可求得2 =1，对|变形可得：|=|2 2 +|2，问题得解.因为 ,为单位向量，所以|=|=1 所以|+|=(+)2=|2+2 +|2=2+2 =1 解得：2 =1 所以|=()2=|2 2 +|2=3 所以答案是：3 小提示：本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.12、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos+33sin =0，设D为边的中点，若=7且3=2，则=_ 答案：2 分析：由正弦定理化边为角，利用诱导公式、两角和的正弦公式展开变形求得，已知3=，由余弦定理得=2，求出=2，再由勾股定理求得 由正弦定理可得：sincos+33sinsin sin=0又在三角形中，sin=sin(+)，sincos+33sinsin=sin(+)=sincos+cossin，33sinsin=sincos 又在三角形中，sin 0，33sin=cos，tan=3 (0,)，=3 由点D为的中点，3=2，得3=即3=，而2=2+2 得2 22=0得=2或=（舍去），cos=2+222=0，则=2，在 中有，=7,3=2,=2，则2+2=2，解得=2，即=2 所以答案是：2 13、已知向量，满足|1，|2，|2，则|+|_ 答案：6 分析：先将|2 两边平方，求出 =12，再将|+|平方，即可求得结论 由题意知：|2=2 2 +2=5 2 =4，即 =12，而|+|2=2+2 +2=5+2 =6，|+|=6，所以答案是：6 14、已知P，Q分别是四边形ABCD的对角线AC与BD的中点，=,=，且 ,是不共线的向量，则向量=_.答案：12 12 分析：取AB的中点E，连接,，然后利用向量的加法法则和三角形中位线定理求解.如图，取AB的中点E，连接,，因为P，Q分别是四边形ABCD的对角线AC与BD的中点，=,=所以=12=12 ,=12=12，所以=+=12+12=12 12.所以答案是：12 12 15、已知向量 =(,3),=(1,+1)若 ，则=_ 答案：34#0.75 分析：直接由向量垂直的坐标表示求解即可.由题意知：=+3(+1)=0，解得=34.所以答案是：34.解答题 16、在ABC中，a=3，bc=2，cosB=12（）求b，c的值；（）求 sin（BC）的值 答案：()=7=5；()473.分析：()由题意列出关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b,c的值；()由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得sin()的值.()由题意可得：=2+222=12 =2=3，解得：=3=7=5.()由同角三角函数基本关系可得：sin=1 cos2=32，结合正弦定理sin=sin可得：sin=sin=5314，很明显角C为锐角，故cos=1 sin2=1114，故sin()=sincos cossin=473.小提示：本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17、记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知sinsin()=sinsin()(1)若=2，求C；(2)证明：22=2+2 答案：(1)58；(2)证明见解析 分析：（1）根据题意可得，sin=sin()，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sin(sincos cossin)=sin(sincos cossin)，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出（1）由=2，sinsin()=sinsin()可得，sinsin=sinsin()，而0 0，而0 ,0 ，显然 ，所以，+=，而=2，+=，所以=58（2）由sinsin()=sinsin()可得，sin(sincos cossin)=sin(sincos cossin)，再由正弦定理可得，cos cos=cos cos，然后根据余弦定理可知，12(2+2 2)12(2+2 2)=12(2+2 2)12(2+2 2)，化简得：22=2+2，故原等式成立 18、已知向量 满足：|=1,|=2，且(2)(2 )=15.(1)求向量 与向量 的夹角；(2)若()，求实数的值.答案：(1)23(2)4 分析：（1）由(2 )(2 )=15展开，可解出 =1，根据向量夹角公式即可求出夹角的大小；（2）根据两向量垂直，数量积为 0，列出方程即可求出的值(1)(2 )(2 )=15 2|2 5 +2|2=15 =1 cos=|=12，且 0,，=23(2)()()=0，即|2=0 4=0 =4 19、在下图田字格中，以图中的结点为向量的起点或终点.（1）写出与12 相等的向量；（2）写出与12 平行的向量；（3）写出13 的负向量.答案：（1）23，12，23，12，23；（2）13，23，12，23，21，32，21，32，31；（3）31，31，31 分析：（1）根据相等向量的概念进行寻找，注意方向要相同，大小（长度）要相等,表示向量的有向线段可以共线也可以平行；（2）根据平行向量的概念进行寻找，注意方向可以相同或相反，长度可以相同也可以不同,表示向量的有向线段可以共线也可以平行；（3）根据负向量的概念寻找，注意方向要相反，长度要相等，表示向量的有向线段可以共线也可以平行.（1）如图标出了与12 方向相同，大小相等的向量，是与12 相等的向量，有23，12，23，12，23；（2）与12 平行的向量是指与12 方向相同或相反的向量，长度可以相等也可以不相等，故有13，23，12，23，21，32，21，32，31，如图所示；（3）13 的负向量是指方向相反，长度相等的向量，故有31，31，31，如图所示.