2023年人教版高中数学第六章平面向量及其应用知识汇总笔记.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第六章平面向量及其应用知识汇总笔记年人教版高中数学第六章平面向量及其应用知识汇总笔记 单选题 1、在等腰梯形中，=2，,分别为,的中点，为的中点，则 等于（）A38+34 B38+12 C12+34 D14+38 答案：B 分析：根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即可.因为在等腰梯形中，=2，,分别为,的中点，为的中点，所以可得：=+=12+12=12+14(+)=12+38 故选：B.2、在 中，角,的对边分别是,，若=45,=60,=23，则 等于（）A624B6+24C6 2D6+2 答案：D 分析：先求出，再由正弦定理求解即可.解：在 中，=180 45 60=75 由正弦定理可知sin=sin，所 以sin75=23sin60，故=23sin75sin60=4sin75=4sin(30+45)=4 6+24=6+2 故选：D.3、下列说法正确的是（）A向量/就是 所在的直线平行于 所在的直线 B长度相等的向量叫做相等向量 C若 =,=，则 =D共线向量是在一条直线上的向量 答案：C 分析：根据共线向量的定义可判断 A，D；由相等向量的定义可判断 B，C；进而可得正确选项.对于 A：根据共线向量的定义可知向量/就是 所在的直线与 所在的直线平行或重合，故选项 A 不正确；对于 B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项 B 不正确；对于 C：若 =,=，则 =，故选项 C 正确；对于 D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项 D 不正确；故选：C.4、易经是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是易经中记载的几何图形八卦图图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为22，点P是正八边形的内部（包含边界）任一点，则 的取值范围是（）A42,42B42,8+42C8 42,8+42D42,8 42 答案：B 分析：先求出 在 方向上的投影的取值范围，再由数量积的定义求出 的取值范围即可.如图，作 的延长线于M，的延长线于N，根据正八边形的特征，可知=2，于是 在 方向上的投影的取值范围为2,22+2，结合向量数量积的定义可知，等于 的模与 在 方向上的投影的乘积，又|=22，的最大值为22 (22+2)=8+42，的最小值为22 (2)=42 则 的取值范围是42,8+42.故选：B 5、如图，在 中，点M是上的点且满足=3，N是上的点且满足=，与交于P点，设=,=，则=（）A12 +14 B35 +15 C14 +12 D310 +35 答案：B 分析：根据三点共线有,，使=+3(1)4、=2+(1 )，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案.=3 =34，=12，由，P，M共线，存在 ，使=+(1 )=+3(1)4，由N，P，B共线，存在 ，使得=+(1 )=2+(1 )，由 =23(1)4=1 =15,=25，故=35 +15.故选：B.6、下列条件中能得到 =的是（）A|=|B 与 的方向相同；C =0，为任意向量 D =0 且=0 答案：D 分析：根据相等向量的概念，即可得到结果.由于 =，所以 与 的大小相等，方向相同，故 D 正确.故选：D.7、在复平面内，把复数3 3i对应的向量按顺时针方向旋转3，所得向量对应的复数是()A23B23iC3 3iD3+3i 答案：B 分析：由题意知复数3 3对应的向量按顺时针方向旋转3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果 解：由题意知复数3 3i对应的向量按顺时针方向旋转3，旋转后的向量为(3 3i)cos(3)+isin(3)=(3 3i)(123i2)=3233i23i2+3i22=23i 故选：B 8、如图，正六边形的边长为 2，动点从顶点出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点，若 的最大值和最小值分别是，则+=（）A9B10C11D12 答案：D 分析：连接，根据正六边形的特征可得=，从而可得 =|cos,，再根据当在上运动时，|与cos,均逐渐增大，当从移动到时，|与cos,均逐渐减小，即可求得，从而得出答案.解：连接，在正六边形中，=，=|cos,，正六边形的边长为 2，|=23，因为当在上运动时，|与cos,均逐渐增大，当从移动到时，|与cos,均逐渐减小，所以当在上运动时，|cos,取得最大值，为23，当移动到点时，|cos,取得最小值，为 0 =23 23=12，=23 0=0，+=12 故选：D.小提示：9、在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45，a=6，b=32，则B的大小为（）A30B60 C30或 150D60或 120 答案：A 分析：先由正弦定理求出 sinB=12，可得B=30或B=150，再由ab，得AB，从而可求出B=30.由正弦定理得sin=sin，即32sin=6sin45，解得 sinB=12，又B为三角形内角，所以B=30或B=150，又因为ab，所以AB，即B=30.故选：A.10、已知平面向量 (1，2)，(2，m)，且 ，则 2 3()A(4，8)B(8，16)C(4，8)D(8，16)答案：A 分析：根据向量平行的坐标表示求出m，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解.，1m2(2)，m4，(2，4)，2 3(2，4)(6，12)(4，8)故选：A.11、已知向量 =(1,7)，|=3，=36，则 与 的夹角为（）A6B4C3D23 答案：A 分析：先计算向量 的模，再根据向量数量积的定义，将 =36展开，即可求得答案.因为 =(1,7)，所以|=12+(7)2=22，又因为 =36，设 与 的夹角为，0,，所以|cos=36，即22 3 cos=36，解得cos=32，故=6，故选：A.12、已知 ，是不共线的向量，=+，=3 2，=2 3，若,三点共线，则实数，满足（）A=5B=+5C=1D=+1 答案：B 解析：根据向量的线性运算方法，分别求得=(3 )(2+)，=；再由/，得到3 =(2+)，即可求解.由=+，=3 2，=2 3，可得=(3 )(2+)，=；若,三点共线，则/，可得3 =(2+)，化简得=+5.故选：B.双空题 13、如图，设点P，Q是线段的三等分点，若=，=，则=_,=_（用 ,表示）答案：23 +13 13 +23 解析：直接利用向量的三角形法则即可。=13+=13()+=23+13=23 +13 =23+=23()+=13+23=13 +23 小提示：本题主要考查了向量的三角形法则，属于基础题。14、在ABC中，内角,所对的边分别为a，b，c，且=2sin,=23cos；则角B=_；a的取值范围为_.答案：3 (0，2 分析：由题意可得sin=2，进而可得=3cos sin，利用正弦定理化简可得tan=3，即可求出角B；根据诱导公式可得=2sin(+)，结合角C的范围和正弦函数的性质即可得出结果.由=2sin sin=2，所以=23cos=3cos sin，由正弦定理，得sin=3cos sinsin=3cos，有tan=3，又 (0，)，故=3；=2sin=2sin (+)=2sin(+)=2sin(3+)，因为=3，所以 (0，23)，则+3(3，)，所以sin(+3)(0，1，即 (0，2.所以答案是：3；(0，2 15、在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，=60，且2sincos+sincos=4sin，则=_，+2的最大值为_.答案：2 4213 解析：根据正弦定理，化简得cos+cos=4，再由余弦定理，列出方程求得=2，结合正弦定理化简+2=43(sin+2sin)=43 7sin(+)，进而求得+2的最大值.因为2sincos+sincos=4sin，由正弦定理，可得2cos+2cos=4，即cos+cos=4，又由余弦定理 2+222+2+222=4，所以=2，根据正弦定理sin=sin=sin=232=43，可得=43sin，=43sin，所以+2=43(sin+2sin)=43(sin+2sin(23)=43(2sin+3cos)=43 7sin(+)，其中tan=32，因为0 23，当+=2时，+2的最大值为4213.小提示：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.16、在等腰梯形中，设=，=，=2，为的中点，则=_（用 和 表示），当=_时，|最小.答案：32 +12 12 分析：第一空，根据向量加法的三角形法则可得；第二空，设=，则 =，由此即可求出答案 解：为的中点，=12(+)=12+12(+)=12 +12+12 2 =32 +12，如图，设=，则 =，当 时，|最小，此时由几何知识易得=12，所以答案是：32 +12，12 小提示：本题主要考查平面向量的线性运算，考查数形结合思想，属于中档题 17、托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，=4，且 为正三角形，则 面积的最大值为_，四边形 ABCD 的面积为_.（注：圆内接凸四边形对角互补）答案：3 43 解析：先利用托勒密定理得出与的关系，然后利用基本不等式求解出 的最值，得出 面积最值，再利用=+=12 sin+12 sin求解四边形的面积.如图所示，设 的边长为，则根据托勒密定理可得：4=+，得+=4，根据基本不等式得 (+)24=4，当且仅当=2时等号成立.又 为等边三角形，则=3，根据圆内接凸四边形对角互补得=23.所以 的面积=12 sin2312 4 32=3;又因为=3，=3，所以=+=12 sin+12 sin=12sin3 (+)=43.所以答案是：3；43.小提示：解答的关键在于根据托勒密定理得出+=4，然后利用基本不等式求出 的最大值.解答题 18、在 中，、的对边分别为、，其中边最长，并且sin2+sin2=1(1)求证：是直角三角形；(2)当=1时，求 面积的最大值 答案：(1)证明见解析(2)14 分析：（1）利用同角关系，将已知条件变形，配合诱导公式，可以证明结论.（2）利用勾股定理知2+2=2=1，利用基本不等式可得面积最大值(1)证明：由sin2+sin2=1，得sin2=1 sin2，即sin2=cos2，又边最长，则、均为锐角，所以sin=cos=sin(2)，解得=2，+=2即=2，所以 为直角三角形(2)因为=2，由勾股定理2+2=2,因为=1，所以2+2=1.记 面积为,则=12，由2 2+2得=12 14(2+2)=14，当且仅当=22时等号成立 所以当=22时，面积取到最大值14 19、在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin1cos=3(1)求角A的大小；(2)若+=10,=43，求a的值 答案：(1)=3(2)=213 分析：（1）由正弦定理结合辅助角可求出sin(+3)=32，因为0 ，即可求出角A的大小；（2）由三角形的面积公式结合余弦定理即可求出a的值.（1）由sin1cos=3及正弦定理得sinsin1cos=3sin，sin 0，sin=3(1 cos)，sin+3cos=2sin(+3)=3，sin(+3)=32 又0 ，3 +3 0，所以=23；(2)解：因为=6，所以在ABC中，由余弦定理得cos=2+61226=33，解得=32或2（舍去），因为cos=33，所以sin=63，所以=12 sin=12 6 32 63=32，因为cos=13，所以sin=1 19=223，故=12 sin=12 1 3 223=2，所以花卉种植区域总面积为32+2=42.