(试题附答案)高中数学第六章平面向量及其应用易错知识点总结.pdf

(名师选题名师选题)（精选试题附答案）高中数学第六章平面向量及其应用易错知识点（精选试题附答案）高中数学第六章平面向量及其应用易错知识点总结总结 单选题 1、我国东汉末数学家赵夾在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示在“赵爽弦图”中，若=，=，=3，则=（）A1225 +925 B1625 +1225 C45 +35 D35 +45 答案：B 分析：根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且=，=，=3，则=+=+34 =+34(+)=+34(34+)=916+34，解得=1625+1225，所以=1625 +1225.故选：B 2、已知向量 =(1,)，=(2,4)，若 与 共线，则=（）A1B1C2D2 答案：C 分析：根据平面向量共线坐标表示可得答案.由题意得2=4，即=2.故选：C 3、易经是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是易经中记载的几何图形八卦图图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为22，点P是正八边形的内部（包含边界）任一点，则 的取值范围是（）A42,42B42,8+42C8 42,8+42D42,8 42 答案：B 分析：先求出 在 方向上的投影的取值范围，再由数量积的定义求出 的取值范围即可.如图，作 的延长线于M，的延长线于N，根据正八边形的特征，可知=2，于是 在 方向上的投影的取值范围为2,22+2，结合向量数量积的定义可知，等于 的模与 在 方向上的投影的乘积，又|=22，的最大值为22 (22+2)=8+42，的最小值为22 (2)=42 则 的取值范围是42,8+42.故选：B 4、在ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则 cosB=（）A19B13C12D23 答案：A 分析：根据已知条件结合余弦定理求得，再根据cos=2+222，即可求得答案.在 中，cos=23，=4，=3 根据余弦定理：2=2+2 2 cos 2=42+32 2 4 3 23 可得2=9，即=3 由 cos=2+222=9+916233=19 故cos=19.故选：A.小提示：本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5、下列条件中能得到 =的是（）A|=|B 与 的方向相同；C =0，为任意向量 D =0 且=0 答案：D 分析：根据相等向量的概念，即可得到结果.由于 =，所以 与 的大小相等，方向相同，故 D 正确.故选：D.6、已知单位向量 ，则下列说法正确的是（）A =B +=0 C|=|D /答案：C 分析：利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得.对于 A，向量 ，为单位向量，向量 ，的方向不一定相同，A 错误；对于 B，向量 ，为单位向量，但向量 ，不一定为相反向量，B 错误；对于 C，向量 ，为单位向量，则|=|=1，C 正确；对于 D，向量 ，为单位向量，向量 ，的方向不一定相同或相反，即 与 不一定平行，D 错误.故选：C.7、“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为 36的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A”如图所示，已知五角星是由 5 个“黄金三角形A”与 1 个正五边形组成，其中sin18=514，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（）A514B55C5+16D3520 答案：B 分析：在三角形中，由sin18值，可得=512，即=512，设 的面积为x，由此可知 和的面积均为512，的面积为x，由此即可求出结果.如图所示，依题意，在三角形中，sin18=2=514，故=512；所以=512，设 的面积为x，则 面积为512，同理 的面积为512，的面积为x，则阴影部分面积与五角形面积的比值为2+25122512+6=55.故选：B 8、已知向量=(2,2)，=(,1)，若=2，则=（）A5B4C3D2 答案：B 分析：先根据已知条件计算，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案.解：根据题意得：=(,1)(2,2)=(2,1)，所以=2(2)+2 (1)=2 4 2=2，解得=4.故选：B.小提示：本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题.9、已知 ，是不共线的向量，=+，=3 2，=2 3，若,三点共线，则实数，满足（）A=5B=+5C=1D=+1 答案：B 解析：根据向量的线性运算方法，分别求得=(3 )(2+)，=；再由/，得到3 =(2+)，即可求解.由=+，=3 2，=2 3，可得=(3 )(2+)，=；若,三点共线，则/，可得3 =(2+)，化简得=+5.故选：B.10、下列说法错误的是（）A向量 的长度与向量 的长度相等 B零向量与任意非零向量平行 C长度相等方向相反的向量共线 D方向相反的向量可能相等 答案：D 分析：向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况.向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项.A.向量 与向量 的方向相反，长度相等，故 A 正确；B.规定零向量与任意非零向量平行，故 B 正确；C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故 C 正确；D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故 D 不正确.小提示：本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型.填空题 11、已知下列各式：+；(+)+；+；+.其中结果为0 的是_.(填序号)答案：#分析：利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式，即可确定结果是否为0.+=+=0;(+)+=(+)+(+)=+=0;+=+=0;+=(+)+(+)=+=0.所以答案是：.12、设向量 =2 3,=4 2,=3 +2，若用 ,表示 ，则 =_.答案：74 +138 分析：根据平面向量基本定理进行求解即可.设 =+，则有 =3 +2=(2 3)+(4 2)=(2+4)+(3 2)，得2+4=33 2=2 =74,=138.，所以 =74 +138 ，所以答案是：74 +138 13、已知 中，点D在边BC上，=120,=2,=2当取得最小值时，=_ 答案：3 1#1+3 分析：设=2=2 0，利用余弦定理表示出22后，结合基本不等式即可得解.方法一：余弦定理 设=2=2 0，则在 中，2=2+2 2 cos=2+4+2，在 中，2=2+2 2 cos=42+4 4，所以22=42+442+4+2=4(2+4+2)12(1+)2+4+2=4 12(+1)+3+1 4 122(+1)3+1=4 23，当且仅当+1=3+1即=3 1时，等号成立，所以当取最小值时，=3 1.所以答案是：3 1.方法二：建系法 令 BD=t，以 D 为原点，OC 为 x 轴，建立平面直角坐标系.则 C（2t,0），A（1，3），B（-t,0）22=(2 1)2+3(+1)2+3=42 4+42+2+4=4 12(+1)+3+1 4 23当且仅当+1=3,即=3 1时等号成立。方法三：余弦定理 设 BD=x,CD=2x.由余弦定理得 2=2+4+22=4+42 4，22+2=12+62，2=2+4+22=4+42 4，22+2=12+62，令=，则22+22=12+62，2+2=12+622=12+622+2+4=6(1 2(+1)+3+1)6 23，2 4 23，当且仅当+1=3+1，即=3+1时等号成立.方法四：判别式法 设=，则=2 在 中，2=2+2 2 cos=2+4+2，在 中，2=2+2 2 cos=42+4 4，所以22=42+442+4+2，记=42+442+4+2，则(4 )2(4+2)+(4 4)=0 由方程有解得：=(4+2)2 4(4 )(4 4)0 即2 8+4 0，解得：4 23 4+23 所以min=4 23，此时=2+4=3 1 所以当取最小值时，=3 1，即=3 1.14、在 中，点满足=34，当点在线段上移动时，若=+，则=(1)2+2的最小值是_ 答案：910#0.9 分析：根据题意画出图形，利用,表示出，再设=，0 1；用分别表示出求出与，再将其代入=(1)2+2，可得=5282+1，然后利用二次函数的性质即可求=(1)2+2的最小值 如图所示，中，=34，=+=+34=+34()=14+34，又点点在线段上移动，设=，0 1，=4+34，又=+，=4=34，=(1)2+2=(4 1)2+(34)2=5282+1，当=25时，取到最小值，最小值为910.所以答案是：910 15、已知为 内一点，且满足+=0，则为 的_心 答案：重 分析：如图，取的中点，利用向量的加减法运算得到 与 共线，进一步得到,三点共线，且=2，结合重心的性质可判断为 的重心 如图，取的中点由+=0 得=+，又+=2，故=2，则 与 共线，又，有公共点，故,三点共线，且=2，因此可得为 的重心 所以答案是：重.解答题 16、记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知sinsin()=sinsin()(1)若=2，求C；(2)证明：22=2+2 答案：(1)58；(2)证明见解析 分析：（1）根据题意可得，sin=sin()，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sin(sincos cossin)=sin(sincos cossin)，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出（1）由=2，sinsin()=sinsin()可得，sinsin=sinsin()，而0 0，而0 ,0 ，_，求 答案：选择见解析；=3 分析：若选择条件，由正弦定理，三角函数恒等变换，化简可求的值，再利用平面向量数量积的运算可求的值，然后利用余弦定理求解 若选择条件，利用诱导公式化简得到cos2 cos+14=0，解得cos=12，结合范围 (0,)，可得的值，下同选 若选择条件，利用三角函数恒等变换化简可得sin2=12，进而可求2=6，可得的值，下同选 若选择条件，因为sin=cos(6)，由正弦定理sin=sin，可得sinsin=sincos(6)，因为sin 0，所以sin=cos(6)=32cos+12sin，所以tan=3，因为0 0，所以 =3 若选择条件，因为cos2(2+)+cos=54，所以cos2 cos+14=0，可得cos=12，因为 (0,)，所以=3 下同选 若选择条件，sin+2=sin，因为+=，所以sin2=sin，所以cos2=2sin2cos2，因为 (0,)，所以2(0,2)，所以cos2 0，所以sin2=12，所以2=6，所以=3 下同选 小提示：方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到 18、在 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，=3，=3.(1)若=4，求b.(2)若_，求c的值及 的面积.请从=13，sin=2sin，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答.答案：(1)362；(2)选=4，=33；选=6，=932 分析：(1)根据正弦定理计算即可得出结果；(2)利用余弦定理或正弦定理求出c的值，再结合三角形的面积公式计算即可.(1)=3，=3，=4，由正弦定理，得sin=sin，所以=sin sin=32232=362；(2)选：由余弦定理，得2=2+2 2cos，即13=2+9 2 3 12，整理，得2 3 4=0，由c0，得c=4，所以=12sin=12 3 4 32=33；选：因为sin=2sin，由正弦定理，得c=2a，所以c=6，所以=12sin=12 6 3 32=932.19、已知向量 =(1,1)，=(0,2)，在下列条件下分别求k的值：(1)+与 平行；(2)+与 的夹角为23 答案：(1)1(2)1 3 分析：（1）首先求出 +与 ，再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可；（2）首先利用向量数量积的坐标运算求出(+)()，再根据平面向量数量积的定义得到方程，解得即可；（1）解：因为 =(1,1)，=(0,2)，所以 +=(1,1)，=(,+2)，又 +与 平行，所以=+2，解得=1；（2）解：因为 +=(1,1)，=(,+2)，所以(+)()=1 +(1)(+2)=2，因为 +与 夹角为23，所以(+)()=|+|cos23，即2=2 2+(+2)212，解得=1 3