2023年人教版高中数学第六章平面向量及其应用基础知识题库.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第六章平面向量及其应用基础知识题库年人教版高中数学第六章平面向量及其应用基础知识题库 单选题 1、已知，是不共线的向量，=+，=3 2，=2 3，若,三点共线，则实数，满足（）A=5B=+5C=1D=+1 答案：B 解析：根据向量的线性运算方法，分别求得=(3 )(2+)，=；再由/，得到3 =(2+)，即可求解.由=+，=3 2，=2 3，可得=(3 )(2+)，=；若,三点共线，则/，可得3 =(2+)，化简得=+5.故选：B.2、若点M是ABC所在平面内的一点，且满足 30，则ABM与ABC的面积之比为（）A12B13C14D25 答案：B 分析：由平面向量的加法结合已知可得M为AD的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得.如图，D为BC边的中点，则=12(+)因为30 所以3=+=2，所以=23 所以=23=13.故选：B 3、已知平面向量(1，2)，(2，m)，且 ，则 2 3()A(4，8)B(8，16)C(4，8)D(8，16)答案：A 分析：根据向量平行的坐标表示求出m，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解.，1m2(2)，m4，(2，4)，2 3(2，4)(6，12)(4，8)故选：A.4、我国东汉末数学家赵夾在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示在“赵爽弦图”中，若=，=，=3，则=（）A1225 +925B1625 +1225 C45 +35D35 +45 答案：B 分析：根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且=，=，=3，则=+=+34=+34(+)=+34(34+)=916+34，解得=1625+1225，所以=1625 +1225.故选：B 5、已知在锐角三角形中，角，所对的边分别为，若2=(+)，则sincoscos的取值范围是（）A(0,22)B(0,32)C(12,22)D(12,32)答案：C 分析：由2=(+)利用余弦定理，可得 =2cos，正弦定理边化角，在消去，可得sin()=sin，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得sincoscos的取值范围 由2=(+)及余弦定理，可得 =2cos 正弦定理边化角，得sin sin=2sincos +=sin(+)sin=2sincos sin()=sin 是锐角三角形，=，即=2 0 2，2 +，那么：6 4 则sincoscos=sin2sin()=sin (12，22)故选：C 小提示：方法点睛：解三角形的基本策略 一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.6、已知平面四边形ABCD满足=，则四边形ABCD是（）A正方形 B平行四边形 C菱形 D梯形 答案：B 分析：根据平面向量相等的概念，即可证明=，且/，由此即可得结论.在四边形ABCD中，=，所以=，且/，所以四边形为平行四边形 故选：B 7、已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A60，a=3，则+sin+sin等于（）A12B3C32D2 答案：D 解析：由已知结合正弦定理即可直接求解 A60，a=3，由正弦定理可得，sin=sin=sin=332=2，b2sinB，c2sinC，则+sin+sin=2 故选：D 小提示：本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础试题 8、在复平面内，把复数3 3i对应的向量按顺时针方向旋转3，所得向量对应的复数是()A23B23iC3 3iD3+3i 答案：B 分析：由题意知复数3 3对应的向量按顺时针方向旋转3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果 解：由题意知复数3 3i对应的向量按顺时针方向旋转3，旋转后的向量为(3 3i)cos(3)+isin(3)=(3 3i)(123i2)=3233i23i2+3i22=23i 故选：B 9、一个骑行爱好者从地出发向西骑行了2km到达地，然后再由地向北偏西60骑行23km到达地，再从地向南偏西30骑行了5km到达地，则地到地的直线距离是（）A8B37C33D5 答案：B 分析：根据给定信息作出图形，再利用三角形正弦定理、余弦定理计算作答.如图，在 中，=150，=2,=23，依题意，=90，在 中，由余弦定理得：=2+2 2 cos=4+12+83 32=27，由正弦定理得：sin=sin=127，在 中，cos=cos(90+)=sin=127，由余弦定理得：=2+2 2 cos=28+25+2 27 5 127=37，所以地到地的直线距离是37km.故选：B 10、若非零向量 ,满足|=3|,(2 +3)，则 与 的夹角为（）A6B3C23D56 答案：C 分析：设 与 的夹角为,|=，进而根据向量数量积的运算律和向量垂直时数量积为 0 得cos=12，进而得答案.解：根据题意，设 与 的夹角为,|=，则|=3|=3，若(2 +3)，则(2 +3)=2 +3 2=62cos+32=0，即cos=12，又由0 ，则=23，故选：C 11、在 中，已知=6，=2，且满足=2，=，若线段和线段的交点为，则(+)=（）.A3B4C5D6 答案：B 分析：待定系数法将向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算 设=+，由=2知=3，=3+，三点共线，3+=1，由=知=2，=+2，三点共线，+2=1，由得：=15.=25，=15+25，而+=+=2，(+)=(15+25)(2)=15(2 42)=15(62 4 22)=4 故选：B 12、若(2,3)，(3,2)，(12,)三点共线，则实数的值为 A2B2C52D12 答案：C 分析：由三点共线可得出向量共线，再根据向量共线的知识即可解题.因为(2,3)，(3,2)，(12,)三点共线，所以方向向量=(5,1)与=(52,3)共线，所以5(3)(1)52=0，解得=52.故选：C 小提示：本题主要考查点共线和向量共线问题，属于常规题型.双空题 13、已知=,=，且|=|=2,=3，则|+|=_，|=_.答案：23 2 解析：由数量积定义可求得，通过数量积的运算律可求得|+|2和|2，进而得到结果.由题意得：=|cos=2 2 12=2，|+|2=|2+2+|2=4+4+4=12，|2=|2 2+|2=4 4+4=4，|+|=23，|=2.所以答案是：23，2.小提示：本题考查平面向量模长的求解问题，关键是能够利用数量积的运算律和数量积的定义首先求得模长的平方，进而求得所求模长.14、边长为a的菱形满足|+|=|，则=_；一直线与菱形的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若=2，=3，=(,)，则52 =_.答案：0 12#-0.5 分析：根据给定条件结合向量的平行四边形法则得 即可；由已知并借助,将用表示出，再求出,即可得解.在菱形中，因|+|=|，即菱形的两条对角线长相等，则菱形是矩形，即，所以=0；依题意，在菱形中，/，则=+(R)，因=2，=3，则=12+13，=(12)+，又/，而,不共线，于是得1212=13，解得=15，则=15，因=(,)，则15=，即(15+)=，而,不共线，从而得=0,=15，52 =52(15)0=12，所以52 =12.所以答案是：0；12 15、如图，在菱形中，=2,=60，,分别是,的中点，若线段有一点满足=+23()，则=_，=_ 答案：56 13 分析：先利用平面向量基本定理得到=(1 )+(12+)，结合题意，即可求出的值；根据平面向量的数量积即可求出.设=，在菱形中，,分别是,的中点，所以=+=+12+=+12+()=(1 )+(12+)，又=+23，所以1 =12+=23，解得=16=56，所以=56+23，所以=(56+23)()=232562+16，因为在菱形中，=2,=60，所以=23 4 56 4+16 2 2 cos60=13.所以答案是：56；13.小提示：本题主要考查平面向量基本定理以及平面向量的数量积，考查学生的运算求解能力，属于基础题.16、一架飞机向南飞行 100km，又向西飞行 100km，则此飞机飞行的路程为_，位移的大小为_.答案：200km 1002km 分析：由数量与向量的概念以及向量的线性运算求解即可 如图：|=100，|=100，所以飞机飞行的路程为：|+|=100+100=200（km），飞机飞行的位移是，因为 是等腰直角三角形，所以|=1002（km），所以答案是：200（km）；1002（km）17、设 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3cos=4，已知 的面积等于 10，=4，则tan=_，a的值为_.答案：34 253 分析：首先利用正弦定理求得tan=34，再根据同角三角函数关系求得sin=35，最后根据三角形的面积公式列出关于的方程，解方程求得的值即可.因为3cos=4，由正弦定理得3sincos=4sin，在 中，0，所以3cos=4sin即tan=34，又根据sin2+cos2=1，所以sin=35，又 的面积等于 10，=4，所以=12sin=12 4 35=65=10,所以=253；所以答案是：34；253.小提示：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.解答题 18、如图，在四边形中，/，=1，=3，为等边三角形，是的中点.设=，=.（1）用，表示，（2）求与夹角的余弦值.答案：（1）=+13，=12 +23；（2）1313.解析：（1）利用向量的线性运算即平面向量基本定理确定，与，的关系；（2）解法一：利用向量数量积运算公式求得向量夹角余弦值；解法二：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示确定向量夹角余弦值.解法一：（1）由图可知=+=+13=+13.因为E是CD的中点，所以=12(+)=12(+13+)=12 +23.（2）因为 ，为等边三角形，所以=120，=1，所以 =|cos=1 3 (12)=32，所以=(12 +23)=12 2+23 =12 1+23(32)=12，|=(12 +23)2=14 2+23 +492=14 1+23(32)+49 9=132.设与的夹角为，则cos=|=121321=1313，所以在与夹角的余弦值为1313.解法二：（1）同解法一.（2）以A为原点，AD所在直线为x轴，过A且与AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则(0,0)，(12,32)，(12,32)，(3,0).因为E是CD的中点，所以(74,34)，所以=(74,34)，=(12,32)，所以=74(12)+3432=12，|=(74)2+(34)2=132.设与的夹角为，则cos=|=121321=1313，所以与夹角的余弦值为1313.小提示：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用 19、在 中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知2cos=2 （1）求角A的值；（2）若=5，=5，求 的周长；（3）若2sin+2sin=+3，求 面积的最大值 答案：（1）=3;（2）20;（3）334.解析：（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得cos=12，可求得角A的值；（2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出,，即可求得周长；（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值；（1）2cos=2 2sin cos=2sin sin,2sin cos=2 sin(+)sin=2(sin cos+cos sin)sin,cos=12,0 125且 12.分析：（1）利用向量共线的坐标表示：12 21=0即可求解.（2）利用向量垂直的坐标表示：12+12=0即可求解.（3）利用向量数量积的坐标表示，只需12+12 0且不共线即可求解.解：（1）+=(+2,1),+2=(5,2).+与 +2平行，(+2)2 1 5=0，解得=12.（2）+与 +2垂直，(+)(+2)=0，即5 (+2)+2 1=0，=125（3）由题意可得5 (+2)+2 1 0且不共线，解得 125且 12.