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(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第五章三角函数重点归纳笔记年人教版高中数学第五章三角函数重点归纳笔记 单选题 1、已知函数()=sin2+3cos2的图象向左平移个单位长度后，得到函数()的图象，且()的图象关于y轴对称，则|的最小值为（）A12B6C3D512 答案：A 分析：首先将函数()化简为“一角一函数”的形式，根据三角函数图象的平移变换求出函数()的解析式，然后利用函数图象的对称性建立的关系式，求其最小值()=sin2+3cos2=2sin(2+3)，所以()=(+)=2sin2(+)+3=2sin(2+2+3)，由题意可得，()为偶函数，所以2+3=+2()，解得=2+12()，又 0，所以的最小值为12 故选：A.2、将轴正半轴绕原点逆时针旋转30，得到角，则下列与终边相同的角是（）A330B330C210D210 答案：B 分析：写出终边相同的角的集合，进而选出正确答案.由题意得：|=30+360,，当=1时，=330，B 正确，其他选项经过验证均不正确.故选：B 3、已知为三角形的内角，且sin+cos=713，则tan=（）A125B512C512D125 答案：A 分析：根据同角三角函数的基本关系，运用“弦化切”求解即可.sin+cos=713(sin+cos)2=(713)2 计算得2sincos=120169 0，cos 0，cos56 0，所以角的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知 sin=cos56=32，故角的最小正值为=2 3=53 故选：D 5、关于函数=sin(sin+cos)描述正确的是（）A最小正周期是2B最大值是2 C一条对称轴是=4D一个对称中心是(8,12)答案：D 分析：利用三角恒等变换化简得解析式，再利用正弦型函数的图像和性质得出结论.解：由题意得：=sin(sin+cos)=sin2+12sin2=1 cos22+12sin2=22sin(2 4)+12 选项 A：函数的最小正周期为min=2=22=，故 A 错误；选项 B：由于1 sin(2 4)1，函数的最大值为22+12，故 B 错误；选项 C：函数的对称轴满足2 4=+2，=2+38，当=4时，=14，故 C 错误；选项 D：令=8，代入函数的(8)=22sin(2 84)+12=12，故(8,12)为函数的一个对称中心，故 D 正确；故选：D 6、已知cos=255，则cos4 sin4=（）A35B45C1225D1225 答案：A 分析：利用同角三角函数基本关系式先化简再求值.cos=255，cos4 sin4=(cos2+sin2)(cos2 sin2)=cos2 sin2=2cos2 1=2 (255)2 1=35.故选：A.小提示：利用三角公式求三角函数值的关键：(1)角的范围的判断；(2)选择合适的公式进行化简求值 7、为了得到函数=2sin3的图象，只要把函数=2sin(3+5)图象上所有的点（）A向左平移5个单位长度 B向右平移5个单位长度 C向左平移15个单位长度 D向右平移15个单位长度 答案：D 分析：根据三角函数图象的变换法则即可求出 因为=2sin3=2sin3(15)+5，所以把函数=2sin(3+5)图象上的所有点向右平移15个单位长度即可得到函数=2sin3的图象 故选：D.8、已知函数()=|cos2|+cos，下列四个结论中正确的是（）A函数()在(0,)上恰有一个零点 B函数()在0,2上单调递减 C()=2 D函数()的图象关于点(2,0)对称 答案：A 分析：对的范围进行分类讨论，由此判断 A 的正确性.利用赋值法判断 BC 选项的正确性.由(2+)+(2)是否为0来判断 D 选项的正确性.(0,4),2 (0,2)，()=cos2+cos=2cos2+cos 1=0，cos=1（舍去）或cos=12,=3（舍去）.4,34,2 2,32，()=cos2+cos=2cos2+cos+1=0，cos=1（舍去）或cos=12,=23.(34,),2 (32,2)，()=cos2+cos=2cos2+cos 1=0，cos=1（舍去）或cos=12（舍去）.综上所述，函数()在(0,)上恰有一个零点，A 选项正确.(0)=2,(4)=22,(2)=1，B 选项错误.()=1 1=0，C 选项错误.(2+)+(2)=|cos(+2)|+cos(2+)+|cos(2)|+cos(2)=2|cos2|sin+sin=2|cos2|不恒为0，D 选项错误.故选：A 9、已知角的终边经过点(12,32)，则角可以为（）A56B23C116D53 答案：B 分析：求得sin，结合在第二象限求得的值，由此确定正确选项.依题意sin=32(12)2+(32)2=32，由于在第二象限，所以=23+2,，当=0时=23，所以 B 选项正确，其它选项错误.故选：B 10、将函数()=2cos的图象先向右平移(0 0)倍，纵坐标不变，得到函数()的图象，若对()满足|(1)(2)|=4，有|1 2|min=4恒成立，且()在区间(6，3)上单调递减，则的取值范围是（）A12，3B3，2 C(3，23D3，23 答案：D 分析：可得()=2cos()，根据题意可求出最小正周期，得出，求出()的单调递减区间，根据包含关系可求出.由题可得()=2cos()，若满足|(1)(2)|=4，则1和2必然一个极大值点，一个极小值点，又|1 2|min=4，则2=4，即=2，所以=2=4，令2 4 2+，可得2+4 2+4+4，即()的单调递减区间为2+4,2+4+4,，因为()在区间(6，3)上单调递减，所以(6，3)2+4,2+4+4,，则2+462+4+43，解得2+3 2+23,，因为0 0,0,0 2)的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是 A函数()的图象可由=sin的图象向左平移6个单位得到 B函数()的图象关于直线=3对称 C函数()在区间3,3上是单调递增的 D函数()图象的对称中心为(212,0)()答案：D 解析：根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项.由图象可知A2，f（0）1，f（0）2sin1，且02，=6，f（x）2sin（x+6），f（512）0 且为单调递减时的零点，512+6=+2，kZ，=2+245，kZ，由图象知=22 512，125，又 0，2，f（x）2sin（2x+6），函数f（x）的图象可由yAsinx的图象向左平移12个单位得，A错，令 2x+6=2+，kZ，对称轴为x=6+2，则B错，令 2x+6 2+,2+,则x 3+2,6+2，则C错，令 2x+6=k，kZ，则x212，则D对，故选：D 小提示：本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题 12、若()=cos(3)在区间,上单调递增，则实数a的最大值为（）A3B2C23D 答案：A 分析：先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可.易知将函数=cos的图象向右平移3得到函数()=cos(3)的图象，则函数()=cos(3)的增区间为23+2,3+2(Z)，而函数又在,上单调递增，所以 23 3 3，于是0 3，即a的最大值为3.故选：A.双空题 13、已知函数()=|log3|,0 3(6),3 15，若存在实数1,2,3,4.满足1 2 3 4，且(1)=(2)=(3)=(4)，则12=_，(3 3)(4 3)的取值范围是_.答案：1 (0,27)分析：作出函数()的图象，结合图象可知1,2,3,4之间的关系，利用此关系直接求出12，再将(3 3)(4 3)转化为关于3的二次函数求范围即可.作出函数()=|log3|,0 3(6),3 15 的图象，如图，因为(1)=(2)=(3)=(4)，1 2 3 4 所以由图可知，log31=log32，即12=1，3+42=9，且3 3 9，(3 3)(4 3)=34 3(3+4)+9=3(18 3)45=32+183 45，=32+183 45在(3,9)上单调递增，0 27，即(3 3)(4 3)的取值范围是(0,27).所以答案是：1；(0,27)14、函数=sin(2+4)的对称轴为_，对称中心为_.答案：=2+8()(28,0)()分析：利用正弦函数的对称轴和对称中心，整体代换，即可求出结论.由2+4=+2(),=2+8()，由2+4=(),=28()，所以函数=sin(2+4)的对称轴为=2+8()，对称中心为(28,0)().所以答案是：=2+8()；(28,0)().小提示：本题考查三角函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题.15、已知 cos 13(0 2)，则 sin(+4)的值为_，sin(6)的值为_ 答案：4+26 2616 分析：利用同角三角函数关系，由余弦值求得正弦值；再结合正弦的和差角公式即可求得结果.因为 cos 13(0 0)的图象关于直线=6对称，若对任意1 0,23，总存在20,23，使得(1)+(2)=0，则的最小值为_，当取得最小值时，(2+3)()对,恒成立，则 的最大值为_.答案：2 23 分析：由()关于=6对称和(1)+(2)=0可确定2362，由此确定 2，验证可知，当=2时，可求得()=2sin(2+6)，满足题意，则可确定最小值为2；由(2+3)()，结合二倍角公式可求得1 sin(2+6)12，由此可确定的范围，进而得到 的最大值.=2，又()的图象关于直线=6对称，()在6,23内至少有半个周期，才能满足(1)=(2)，2362，即 ，2，当=2时，()的图象关于直线=6对称，(0)=(3)，解得：=3，()=3sin2+cos2=2sin(2+6)，满足题意，的最小值为2；由(2+3)()得：sin(4+56)sin(2+6)，即cos(4+3)sin(2+6)，1 2sin2(2+6)sin(2+6)，即2sin2(2+6)+sin(2+6)1 0，sin(2+6)+12sin(2+6)1 0，1 sin(2+6)12，2 76 2+6 2+6()，解得：23 ()，()max=23.所以答案是：2；23.小提示：关键点点睛：本题中的 最大值的求解的解题关键是能够利用二倍角公式将不等式转化为关于sin(2+6)的一元二次不等式的形式，通过解不等式确定sin(2+6)的范围，结合正弦函数的性质可确定2+6的范围.17、已知角的终边过点(35,45)，则sin=_，tan=_.答案：45 43 分析：由题意利用任意角的三角函数的定义，求得结果 解：角的终边过点(35,45)，则sin=45，cos=35，tan=4535=43，所以答案是：45；43 小提示：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题 解答题 18、已知角是第三象限角，tan=12.（1）求sin,cos的值；（2）求1+2sin()cos(2)sin2()sin2(52)的值.答案：（1）=55=255；（2）3.解析：（1）根据 tan=sincos=12，以及 sin2+cos21，结合范围求得 sin、cos 的值；（2）利用诱导公式与同角的三角函数关系，把正弦、余弦的比值化为正切 tan，代入正切值即求得结果 解：（1）tan=sincos=12，sin2+cos21，=55=255 或=55=255，而角是第三象限角，则sin 0,cos 0，故=55=255；（2）1+2sin()cos(2)sin2()sin2(52)=1+2sincos()(sin)2sin2(2)=1+2sincossin2cos2=sin2+cos2+2sincossin2cos2=(sin+cos)2(sin+cos)(sincos)=sin+cossincos=tan+1tan1.tan=12，原式=12+1121=3.小提示：方法点睛：已知正切值化简求值时，通过整理式子使其分子分母的弦的次数相同，通过同时除以同次的余弦，进行弦化切的转化，代入计算即可.19、已知,(0,2)，且sin=35,cos(+)=513，求cos的值 答案：1665 分析：根据角的范围，求出 cos，sin（+），利用coscos+按照两角差的余弦公式展开，代入已知以及求出的结果，即可得到cos的值 ,(0,2)，sin=35,cos(+)=513 cos=45，+(0,)sin(+)=1213 coscos+cos(+)cos+sin(+)sin=51345+121335=1665 小提示：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，其中角的变换coscos+为解题简化关键，是中档题 20、一半径为2m的水轮（如图所示），水轮圆心O离水面1m，已知水轮逆时针转动，每3s转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点0）开始计算时间.(1)试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度(m)表示为时间(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？答案：(1)=2sin(23 6)+1(2)1s 分析：（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，进而设=sin(+)+(2 0,0,2 0)，则=2，=1，=3=2，=23，=2sin(23+)+1，=0时，=0，0=2sin+1，sin=12，2 0，=6，()=2sin(23 6)+1.（2）解：令2sin(23 6)+1=3，得sin(23 6)=1，23 6=2+2，=1+3，当=0时，P第一次到达最高点，点P第一次到达最高点大约要1s.