高二数学三角函数综合复习题.doc

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第四章　三角函数综合能力测试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1．(2009·北京市海淀区高三年级第一学期期末练习)若角α的终边过点P(1，－2)，则tanα的值为 (　　)
A．－　　　　　　　 B.
C．－2 D．2
答案：C
解析：依题意得，tanα＝＝－2，选C.
2．已知sin＝，cos＝－，那么角α的终边在 (　　)
A．第一象限 B．第三或第四象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
解析：因为sin＝，cos＝－，
所以sinα＝2sincos＝－＜0.
cosα＝2cos2－1＝＞0.
∴α的终边在第四象限．
3．(2009·山西大同)已知cosA＋sinA＝－，A为第二象限角，则tanA＝ (　　)
A.　　　B.　　　C．－　　　D．－
答案：D
解析：由题意可得：(sinA＋cosA)2＝1＋2sinAcosA＝(－)2，∴sinAcosA＝－.
又∵sinA＋cosA＝－，A为第二象限角，
可解得：sinA＝，cosA＝－，
∴tanA＝＝－.
4．(2009·辽宁，8)已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝ (　　)
A．－ B. C．－ D.
答案：D
解析：sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ
＝
＝
＝＝.故选D.
5．(2009·广东，9)函数y＝2cos2(x－)－1是 (　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
答案：A
解析：由y＝2cos2(x－)－1
＝cos(2x－)＝sin2x，
∴T＝π，且为奇函数，故选A.
6．下列各式中，值为的是 (　　)
A．sin15°cos15° B．cos2－sin2
C. D.
答案：D
解析：由tan45°＝，知选D.
7．(2009·重庆，6)下列关系中正确的是 (　　)
A．sin11°＜cos10°＜sin168°
B．sin168°＜sin11°＜cos10°
C．sin11°＜sin168°＜cos10°
D．sin168°＜cos10°＜sin11°
答案：C
解析：∵sin11°＝cos79°，sin168°＝cos78°，又∵y＝cosx在[0，]上单调递减，79°＞78°＞10°，∴cos10°＞sin168°＞sin11°，故选C.
8．(2009·天津，7)已知函数f(x)＝sin(wx＋)(x∈R，w＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝coswx的图象，只要将y＝f(x)的图象 (　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案：A
解析：∵f(x)＝sin(wx＋)(x∈R，w＞0)的最小正周期为π，
∴＝π，故w＝2.又f(x)＝sin(2x＋)
g(x)＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋)＝cos2x，故选A.
9．(2009·浙江台州)已知函数f(x)＝2sin(wx＋φ)(w＞0,0＜φ＜π)，且函数的图象如图所示，则点(w，φ)的坐标是 (　　)

A．(2，) B．(4，)
C．(2，) D．(4，)
答案：D
解析：由图象可知：函数的半个周期为＋＝，所以w＝＝＝4.
又因为函数图象过点(－，2)，
所以2＝2sin[4×(－)＋φ]．
∵0＜φ＜π，
解得：φ＝，所以(w，φ)＝(4，)．
10．(2009·安徽，8)已知函数f(x)＝sinwx＋coswx(w＞0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是 (　　)
A．[kπ－，kπ＋]，k∈Z
B．[kπ＋，kπ＋]，，k∈Z
C．[kπ－，kπ＋]，k∈Z
D．[kπ＋，kπ＋]，k∈Z
答案：C
解析：f(x)＝sinwx＋coswx
＝2sin(wx＋)，(w＞0)．
∵f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f(x)的一个周期，
∴＝π，w＝2.
f(x)＝2sin(2x＋)．
故其单调增区间应满足2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z.kπ－≤x≤kπ＋，故选C.
11．已知f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)为奇函数，且在[0，]上为减函数，则φ的一个值为 (　　)
A. B.π C.π D.
答案：D
解析：f(x)＝2sin(2x＋φ＋)，要使f(x)是奇函数，必须φ＋＝kπ(k∈Z)，
因此应排除A、B.
当φ＝时f(x)＝2sin2x在[0，]上为增函数，
故C不对．
当φ＝时，f(x)＝－2sin2x在[0，]上为减函数．故选D.
12．(2010·福建师大附中期中考试)函数y＝sinx和y＝tanx的图象在[－2π，2π]上交点的个数为 (　　)
A．3 B．5 C．7 D．9
答案：B
解析：方法一：图象法，在同一坐标系内画y＝sinx与y＝tanx在[0,2π]上的图象．，由图知共有5个交点，故选B.

方法二：解方程sinx＝tanx，即tanx(cosx－1)＝0，∴tanx＝0或cosx＝1，∵x∈[－2π，2π]，∴x＝0，±π，±2π，故有5个解，因此选B.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。)
13．(2009·广东深圳)已知点P(sinπ，cosπ)落在角θ的终边上，且0≤θ≤2π，则θ＝________.
答案：
解析：∵θ∈[0,2π)，根据三角函数定义可知：
sinθ＝cos＝sin(2π＋－)＝sin，∴θ＝.
14．(2009·南昌市高三年级第一次调研测试)已知sin(α＋)＝，则cos(α＋)的值等于________．
答案：－
解析：由已知得cos(α＋)＝cos[(α＋)＋]＝－sin(α＋)＝－.
15．下图是函数y＝sin(wx＋φ)(w＞0，|φ|＜)的图象的一部分，则φ＝________，w＝________.

答案：　2
解析：由图知T＝π－(－)＝π，
∴w＝＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．
又点(－，0)在图象上，∴sin(－＋φ)＝0，
∴－＋φ＝0，φ＝.
16．给出下列六个命题，其中正确的命题是__________．
①存在α满足sinα＋cosα＝；
②y＝sin(π－2x)是偶函数；
③x＝是y＝sin(2x＋)的一条对称轴；
④y＝esin2x是以π为周期的(0，)上的增函数；
⑤若α、β是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ；
⑥函数y＝3sin(2x＋)的图象可由y＝3sin2x的图象向左平移个单位得到．
答案：②③
解析：①sinα＋cosα＝sin(α＋)∈[－，]，
∴sinα＋cosα≠.
②y＝sin(－2x)＝sin(－2x)＝cos2x，是偶函数．
③对y＝sin(2x＋)，由2x＋＝＋kπ，得x＝－＋，(k∈Z)是对称轴方程．取k＝1得x＝.
④y＝sin2x在(0，)上不是增函数，∴y＝esin2x在(0，)上也不是增函数．
⑤y＝tanx在第一象限不是增函数．∴α＞β，不一定有tanα＞tanβ.
⑥y＝3sin(2x＋)＝3sin2(x＋)，可由y＝3sin2x的图象向左平移个单位得到．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)
17．(本小题满分10分)已知α∈(0，)，β∈(，π)且sin(α＋β)＝，cosβ＝－.求sinα.
解析：∵β∈(，π)，cosβ＝－，∴sinβ＝.
又∵0＜α＜，＜β＜π，
∴＜α＋β＜，又sin(α＋β)＝，
∴＜α＋β＜π，
cos(α＋β)＝－
＝－＝－，
∴sinα＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ
＝·(－)－(－)·＝.
18．(2009·浙江金华)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(wx＋φ)，(A＞0，w＞0，|φ|＜，x∈R)的图象的一部分如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[－6，]时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．
解析：(1)由图象知A＝2，T＝8，
∵T＝＝8，∴w＝.
又∵图象经过点(－1,0)，
∴2sin(－＋φ)＝0.
∵|φ|＜，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin(x＋)．
(2)y＝f(x)＋f(x＋2)
＝2sin(x＋)＋2sin(x＋＋)
＝2sin(x＋)
＝2cosx，
∵x∈[－6，]，∴－≤x≤.
∴当x＝0，即x＝0时，
y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值为2，
当x＝－π，即x＝－4时，最小值为－2.
19．(2009·福州质检)(本小题满分12分)已知f(x)＝sin2wx＋sin2wx－(x∈R，w＞0)，若f(x)的最小正周期为2π.
(1)求f(x)的表达式和f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．
解析：(1)由已知f(x)＝sin2wx＋sin2wx－＝(1－cos2wx)＋sin2wx－＝sin2wx－cos2wx＝sin(2wx－)．
又由f(x)的周期为2π，则2π＝⇒2w＝1⇒w＝，
⇒f(x)＝sin(x－)，
2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)⇒2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
即f(x)的单调递增区间为
[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．
(2)由x∈[－，]⇒－≤x≤⇒－－≤x－≤－⇒－≤x－≤⇒sin(－)≤sin(x－)≤sin.∴－≤sin(x－)≤1.
故f(x)在区间[－，]的最大值和最小值分别为1和－.
20．(2009·大同模拟)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cosx·sin(x＋)－.
(1)求函数f(x)的最小正周期T；
(2)在给定的坐标系中，用“五点法”作出函数f(x)在一个周期上的函数．

解析：(1)f(x)＝2cosx·sin(x＋)－
＝2cosx(sinxcos＋cosxsin)－
＝2cosx(sinx＋cosx)－
＝sinxcosx＋·cos2x－
＝sin2x＋·－
＝sin2x＋cos2x
＝sin(2x＋)．
∴T＝＝＝π.
即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)列表：
x
－

2x＋
0

π
π
2π
sin(2x＋)
0
1
0
－1
0
描点画图：

21．(本小题满分12分)已知tanα、tanβ是方程x2－4x－2＝0的两个实根，求：cos2(α＋β)＋2sin(α＋β)cos(α＋β)－3sin2(α＋β)的值．
解析：由已知有tanα＋tanβ＝4，
tanα·tanβ＝－2，
∴tan(α＋β)＝＝，
cos2(α＋β)＋2sin(α＋β)cos(α＋β)－3sin2(α＋β)
＝
＝
＝＝－.
22．(2009·河南郑州模拟)(本小题满分12分)已知A、B、C三点的坐标分别是A(3,0)、B(0,3)，C(cosα，sinα)，其中＜α＜.
(1)若||＝||，求角α的值；
(2)若·＝－1，求的值．
解析：(1)＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，
∵||＝||，∴||2＝||2，
即(cosα－3)2＋sin2α＝cos2α＋(sinα－3)2，
化简得sinα＝cosα.
∵＜α＜，∴α＝.
(2)－1＝·＝cosα(cosα－3)＋sinα(sinα－3)＝1－3(sinα＋cosα)，
∴sinα＋cosα＝.
于是2sinα·cosα＝(sinα＋cosα)2－1＝－，
故＝＝2sinα·cosα＝－.
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