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数学教学论学习内容v绪论v第一章 数学课程的基本理论v第二章 数学学习的基本理论v第三章 数学思维与数学学习v第四章 数学教学的基本理论v第五章 中学数学教学方法v第六章 中学数学基础知识教学、基本能力培养v第七章 中学数学教学工作绪论数学教学论的研究对象、特点与研究方法v一、数学教学论的研究对象一、数学教学论的研究对象 数学教学论是数学教育学的主体部分，而数学教育学是研究数学教育规律的一门专业化学科，数学教育随着社会和数学的发展而发展。关于它的研究对象有以下几种说法：（1）前苏联的斯多利亚尔和奥加涅相的观点（）（2）美国的T基兰的观点（）（3）日本的横地清 观点（）综合之，分为狭义与广义两种观点：狭义观点：数学教育学是从学校的数学教学过程出发，主要研究数数学学课课程程、数数学学学学习习、数数学学教教学学三个方面的问题。核心是：教学过程。重点是：课程的制订、学生的学习、教师的教学三大问题。（用“三角形”描述）广义观点：研究与数学教育有关的一切问题。研究与数学教育有关的一切问题。（有四个层面）（一）教育哲学层面（一）教育哲学层面（A）（二）数学教育的（二）数学教育的历史、社会与文化层面（历史、社会与文化层面（B）（三）（三）数学学习与教学层面（数学学习与教学层面（C C）（四）数学课程与评估层面（四）数学课程与评估层面（D）这四个层面之间互相牵制、相互作用，形成一个空间“四面体”。v2、数学教学论的特点、数学教学论的特点（1）综合性。（2）实践性。（3）理论性。（4）教育性。综合性是数学教学理论研究的依托；实践性是数学教学论的出发点与归宿；理论性是数学教学论的基本要求；教育性是数学教学论丰富的源泉。v3.数学教学论的研究方法数学教学论的研究方法(四个阶段四个阶段)（1）深入调查）深入调查（2）综合研究）综合研究（3）反复实验）反复实验（4）科学评估）科学评估思考题思考题1.数学教学论的研究对象是什么数学教学论的研究对象是什么?2.数学教学论有哪些主要特点数学教学论有哪些主要特点?3.简述数学教学论的研究方法简述数学教学论的研究方法.第一章第一章 数学课程的基本理论数学课程的基本理论主要内容v1.我国数学课程的发展状况 v2.数学课程的基本问题（数学课程的目标、内容、体系、编写、实施、评价、改革）关键词 课改，课程标准，课程内容，课程评价1.1 我国数学课程的演变与发展v一、一、“文革文革”前的数学课程前的数学课程v二、二、“文革文革”后的数学课程改革后的数学课程改革(重点：初、高中“数学课程标准”)v三、我国数学课程改革的未来走向三、我国数学课程改革的未来走向1.1.综合化综合化2.2.研究性研究性3.3.理论与实践学习并重理论与实践学习并重1.2 数学课程的基本问题v课程的本质（1）课程是国家对未来人才要求的意志体现；（2）课程是科技文化发展和人类经验的结晶；（3）课程是社会与国民素质进步的反应；（4）课程是学生在自我定位基础上的自主选择。v数学课程的基本问题：（1）数学课程的目标；（2）数学课程的内容；（3）数学课程的体系；（4）数学教材的编写；（5）数学课程的改革；（6）数学课程的评价。一、数学课程的目标一、数学课程的目标v数学课程的总目标（九年义务教育阶段）包含有知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度等四个方面。（高中教育阶段）知识技能、过程与方法、情感态度与价值观等三维目标二、数学课程的内容二、数学课程的内容三种观点：观点1 课程内容即教材观点2 课程内容即学习活动观点3 课程内容即学习经验内容选择方面：第一，注意基础性。第二，贴近社会生活。第三，结合学生与学校教育的特点。三、数学课程体系三、数学课程体系课程体系组织形式的三原则 1纵向组织与横向组织 2逻辑顺序与心理顺序 3直线式与螺旋式五、数学课程的实施五、数学课程的实施课程实施的重要角色是教师，关键是具体操作过程。注意以下方面：1.课程计划本身的质量 2.广泛地交流与合作 3.课程实施的组织与领导 六、数学课程评价六、数学课程评价 评价分为内部评价与结果评价，形成性评价与总结性评价。内部评价：只评价课程计划的优缺点。结果评价：评价课程实施的结果。形成性评价：为改进现行计划所从事的评价活动，它是一种过程评价。它特别用于指导课程的设计与微调。总结性评价：课程计划实施后对其效果的评价，主要评价课程计划的有效性。评价模式有多种，最主要的一种是目标评价模式。按评价原理，目标评价模式分为七个步骤：(1)确定课程计划的目标；(2)按照行为和内容来界定每个目标；(3)确定使用目标的情境；(4)设计呈现情境的方式；(5)设计获取记录的方式；(6)确定评价时使用的计分单位；(7)设计获取代表性样本的手段。按照课程原理，目标评价模式可概括为四个阶段：(1)确定课程目标；(2)根据目标选择课程内容；(3)根据目标组织课程内容；(4)根据目标评价课程。注意:评价的实质,是要确定预期课程目标与实际结果相吻合的程度。思考题 1.你认为数学课程的基本问题中哪个最重要？说说你的理由。2.标准中数学课程的总目标是什么？（就高、初中分别阐述）第二章第二章 数学学习的基本理论数学学习的基本理论 主要内容v1.布鲁纳、奥苏伯尔的认知学习理论。v2.学生数学学习的心理过程。关键词 认知结构，同化，顺应，发现学习，有意义学习，接受学习，机械学习 引言 数学教育的对象是学生。学生获得数学知识，掌握数学数学教育的对象是学生。学生获得数学知识，掌握数学技能，发展数学能力，养成良好的数学心理品质，都是在不技能，发展数学能力，养成良好的数学心理品质，都是在不断的数学学习过程中逐步完成的。因此，在讨论断的数学学习过程中逐步完成的。因此，在讨论“教的规律教的规律”之前，首先必须了解之前，首先必须了解“学的规律学的规律”，即研究学生是如何学习数，即研究学生是如何学习数学的问题。学的问题。对于学习的过程，有两种基本的见解对于学习的过程，有两种基本的见解:一种是以一种是以桑代克、斯金纳桑代克、斯金纳为代表的刺激为代表的刺激反应联结学反应联结学说。这种学说认为学习的过程是盲目的、渐进的，尝试错误说。这种学说认为学习的过程是盲目的、渐进的，尝试错误直至最后取得成功的过程。学习的实质就是形成刺激与反应直至最后取得成功的过程。学习的实质就是形成刺激与反应之间的联结。之间的联结。另一种是以另一种是以布鲁纳、奥苏伯尔布鲁纳、奥苏伯尔为代表的认知学说。这种为代表的认知学说。这种学说认为学习的过程是原有认知结构中的有关知识与新学习学说认为学习的过程是原有认知结构中的有关知识与新学习的内容相互作用，形成新的认知结构的过程。其实质是，有的内容相互作用，形成新的认知结构的过程。其实质是，有内在逻辑意义的学习材料与学生原有的认知结构关联起来，内在逻辑意义的学习材料与学生原有的认知结构关联起来，新旧知识相互作用，从而新材料在学习者头脑中获得了新的新旧知识相互作用，从而新材料在学习者头脑中获得了新的意义。意义。21 认知发现理论和数学学习 布鲁纳布鲁纳（美国教育心理学家）认知认知发现说发现说 把学习看做是认知过程，认为学习是通过认知，获得意义和意象，从而形成认知结构的过程。他认为学习包含三种几乎同时发生的过程：新知的获得；知识的改造；检查知识是否恰当和充足。学习的实质在于发现。该理论被称为认知认知发现理论发现理论。v布鲁纳的教学理论(出自教育的过程一书):1.1.教育在智育方面的目标是传授知识和发展智力。教育在智育方面的目标是传授知识和发展智力。2.2.要让学生学习学科知识的基本结构。要让学生学习学科知识的基本结构。(学科的基本结构？掌握学科基本结构的意义学科的基本结构？掌握学科基本结构的意义?）3.3.注重儿童的早期智力开发。注重儿童的早期智力开发。4.4.提倡提倡“发现学习发现学习”的方法。的方法。(发现学习发现学习?)v布鲁纳的学习原理布鲁纳的学习原理:1.1.建构原理建构原理2.2.符号原理符号原理3.3.比较和变式原理比较和变式原理4.4.关联原理关联原理(学生开始学习一个数学概念、原理或法则时学生开始学习一个数学概念、原理或法则时,要以最合适的方法建构其代表要以最合适的方法建构其代表)(学生掌握了适合于他们智力发展的符号学生掌握了适合于他们智力发展的符号,就能在认知上形成早期的结构就能在认知上形成早期的结构)(概念由具体到抽象，需要比较和变式，要通过比较和变式概念由具体到抽象，需要比较和变式，要通过比较和变式来学习数学概念来学习数学概念.例如例如,有些概念本身就是通过比较定义的：有些概念本身就是通过比较定义的：负数是正数的相反数，不是有理数的数称为无理数负数是正数的相反数，不是有理数的数称为无理数.总之总之,比比较是帮助学生直观地理解数学概念和发展其抽象水平的最有较是帮助学生直观地理解数学概念和发展其抽象水平的最有用方式之一用方式之一)(把各种概念、原理联系起来，置于一个统一的系统中进行学习把各种概念、原理联系起来，置于一个统一的系统中进行学习)(1)在数学教学过程中，不仅应使学生掌握数学知识的在数学教学过程中，不仅应使学生掌握数学知识的概念、定理、公式等，还应理解数学知识的来龙去概念、定理、公式等，还应理解数学知识的来龙去脉；应注重知识的产生过程，而不是孤立地记住一脉；应注重知识的产生过程，而不是孤立地记住一些数学结论。些数学结论。(2)在表示数学知识时，要根据学生的情况，考虑是通在表示数学知识时，要根据学生的情况，考虑是通过一系列实例呢，还是通过一些概念和原理，或是过一系列实例呢，还是通过一些概念和原理，或是一系列符号。一系列符号。(3)在数学教学过程中，应把学习过的数学知识按一定在数学教学过程中，应把学习过的数学知识按一定的方式构造好，以便于学生记忆和保持。的方式构造好，以便于学生记忆和保持。(4)为了为了“迁移迁移”做好充分的准备，应使学生对数学基做好充分的准备，应使学生对数学基本原理有深刻的理解，从而根据原理的结构，把掌本原理有深刻的理解，从而根据原理的结构，把掌握的模式应用到类似的事物中。握的模式应用到类似的事物中。(5)要使学生享受到数学智力活动的乐趣，让他们体会要使学生享受到数学智力活动的乐趣，让他们体会到学好数学是一件非常有意义的事情。到学好数学是一件非常有意义的事情。布鲁纳的教学和学习理论，对我们的启示：布鲁纳的教学和学习理论，对我们的启示：思考题思考题1.1.学科的基本结构是什么？学科的基本结构是什么？布鲁纳为何主张要掌握学科的基本结构？布鲁纳为何主张要掌握学科的基本结构？2.2.什么是什么是“发现学习发现学习”方法？方法？2.2 认知认知接受理论和数学学习接受理论和数学学习 奥苏伯尔奥苏伯尔(美国心理学家美国心理学家)认知认知接受学习理论接受学习理论v背背景景：20世纪50年代，许多数学教育工作者认为，在数学教学中普遍应用的讲授法会导致学生的机械学习，而发现学习、探究学习是促进有意义学习的好方法。因此，许多人否定了讲授法在学校教学中的地位，只有部分人认为，讲授法在过去曾经起过良好的作用，不应把它作为不好的教学方法抛弃。基于此，奥苏伯尔提出了有意义接受学习理论。其理论属于认知心理学范畴，故称认知有意义接受学习理论。v奥奥苏苏伯伯尔尔理理论论：学习过程是学生原有认知结构中的有关知识和新学习内容相互作用，形成新的认知结构的过程。原有的认知结构对于新的学习始终是一个最关键的因素；一切新的学习都是在过去学习的基础上产生的，新的概念、命题等总是通过与学生原来的有关知识相互联系、相互作用转化为主体的知识结构。同化与顺应？是数学学习过程中学生原有数学认知结构和新学习内容相互作用的两种不同形式，它们往往存在于同一个学习过程中，只是各侧重不同而已。根据学习的内容，学习分为根据学习的内容，学习分为机械学习机械学习和和有意义学习有意义学习 根据学习的方式，学习分为根据学习的方式，学习分为接受学习接受学习和和发现学习发现学习 （注：布鲁纳提倡发现学习，奥苏伯尔提倡有意义接受学习）v机械学习机械学习指学生并未理解由符号所代表的知识，仅仅记住某个数学指学生并未理解由符号所代表的知识，仅仅记住某个数学符号或某个词句的组合符号或某个词句的组合v有意义学习有意义学习就是掌握事物的意义，把握事物内部实质性联系的学习就是掌握事物的意义，把握事物内部实质性联系的学习v接受学习接受学习学习的内容是以定论的形式呈现给学习者。这种学习不涉学习的内容是以定论的形式呈现给学习者。这种学习不涉及学生任何独立的发现，只需要学习者将所学的新材料与旧知识有机地及学生任何独立的发现，只需要学习者将所学的新材料与旧知识有机地结合起来（即内化）即可结合起来（即内化）即可v发现学习发现学习不把学习的主要内容提供给学习者，而必须由学生独立发不把学习的主要内容提供给学习者，而必须由学生独立发现，然后内化现，然后内化 有意义学习、机械学习的区分标准：有意义学习、机械学习的区分标准：学习者原有认知结构中的适当知识是否与新学习材料建立了学习者原有认知结构中的适当知识是否与新学习材料建立了 “非人为的联系非人为的联系”（即符号所代表的新知识同原有知识的联系（即符号所代表的新知识同原有知识的联系）“实质性联系实质性联系”（指用不同语言或其他符号表达的同一认知内容的联系（指用不同语言或其他符号表达的同一认知内容的联系）有意义学习和机械学习，发现学习和接受学习之间有意义学习和机械学习，发现学习和接受学习之间存在怎样的关系呢存在怎样的关系呢?既彼此独立既彼此独立,又互相联系。又互相联系。奥苏伯尔认为，它们是交叉关系奥苏伯尔认为，它们是交叉关系:接受学习可以是接受学习可以是机械学习，也可以是有意义学习；发现学习可以是机械学习，也可以是有意义学习；发现学习可以是机械学习，也可以是有意义学习。机械学习，也可以是有意义学习。有意义学习有意义学习 有意义的接受学习有意义的接受学习 有意义的发现学习有意义的发现学习 机械学习机械学习 机械的接受学习机械的接受学习 机械的发现学习机械的发现学习 接受学习接受学习 发现学习发现学习 奥苏伯尔关于有意义学习的基本观点奥苏伯尔关于有意义学习的基本观点 在学校条件下，学生的学习应当是有意义的，在学校条件下，学生的学习应当是有意义的，而不是机械的。基于此，他认为好的而不是机械的。基于此，他认为好的讲授教讲授教学学是促进有意义学习的惟一有效方法。探究是促进有意义学习的惟一有效方法。探究学习、发现学习等在学校里不应经常使用。学习、发现学习等在学校里不应经常使用。他提倡有意义的接受学习。他提倡有意义的接受学习。学习者产生有意义接受学习学习者产生有意义接受学习的两个条件的两个条件v第一，学习者必须具有有意义学习的心向，即学生必须把学第一，学习者必须具有有意义学习的心向，即学生必须把学习任务和适当的目的联系起来习任务和适当的目的联系起来（如果学生企图理解学习材料，有把新学习内容和以前学过的东西联系起来的愿望，那么该生就是以有意义的方式学习新内容。如果学习者不想把新知识与以前学习的知识联系起来，那么有意义学习就不会发生）v第二，新学习的内容和学习者原有的认知结构之间具有潜在第二，新学习的内容和学习者原有的认知结构之间具有潜在的意义的意义（通过把新的数学概念和原理与已有的数学知识相联系，学生就能把新内容同化到原有的认知结构中去。为了保证有意义学习，教师必须帮助学生建立他们自己的认知结构与数学学科结构之间的联系，使得每一个新的数学概念或原理都与学习者原有认知结构中相应的数学概念和原理相联系）认知认知接受学习理论对我们的启示：接受学习理论对我们的启示：v（1）在数学教育改革进一步深化的今天，数学教育界提出）在数学教育改革进一步深化的今天，数学教育界提出了各种教学方法，例如，了各种教学方法，例如，“启导发现法启导发现法”、“茶馆式教学法茶馆式教学法”、“六课型单元教学法六课型单元教学法”等等。究竟选择哪种教学方法呢等等。究竟选择哪种教学方法呢？奥苏伯尔的观点告诉我们，在提供某种教学方法时，不要奥苏伯尔的观点告诉我们，在提供某种教学方法时，不要贬低甚至否定另一种教学方法，也不要把某种教学方法夸大贬低甚至否定另一种教学方法，也不要把某种教学方法夸大到不恰当的地步。到不恰当的地步。v（2）在班级授课制这一教学组织形式下，以接受前人发现）在班级授课制这一教学组织形式下，以接受前人发现的知识为主的学生应以有意义的接受学习作为主要的学习方的知识为主的学生应以有意义的接受学习作为主要的学习方法，辅助以发现学习，因为发现学习对于激发学生的智慧潜法，辅助以发现学习，因为发现学习对于激发学生的智慧潜能，学会发现的技巧具有积极意义。能，学会发现的技巧具有积极意义。因此，数学教育工作者因此，数学教育工作者就应当把更多精力放在有效的讲授教学方法上。就应当把更多精力放在有效的讲授教学方法上。v（3）教学的一个最重要的出发点是学生已经知道了什么。）教学的一个最重要的出发点是学生已经知道了什么。教学的策略就在于怎样建立学生原有认知结构中相应的知识教学的策略就在于怎样建立学生原有认知结构中相应的知识和新知识的联系，以及激发学生有意义学习的心向。和新知识的联系，以及激发学生有意义学习的心向。思考题思考题v1.什么是接受学习和发现学习什么是接受学习和发现学习?v2.区别机械学习与有意义学习的标准是什么区别机械学习与有意义学习的标准是什么?v3.产生有意义学习的条件是什么产生有意义学习的条件是什么?2.3 数学学习的心理过程v学习过程学习过程:是学生原有认知结构中的有关知识和新学习内容相互作用，形成新的认知结构的过程。v数学学习过程数学学习过程:是学生把人类积累的数学知识通过认识活动转化为个体头脑中的知识结构的过程。在转化的过程中存在着三种结构：一是知识结构一是知识结构（即知识本身的逻辑体系.数学知识结构是以最基本的原理和方法为基本出发点,逻辑地组织起来的,因而具有逻辑性、系统性的特点.对学习者来说,知识结构是认识的客体.）；二是认识结构（或心理结构）二是认识结构（或心理结构）（即人在认识活动中的心理过程（感觉、知觉、思维、想象、注意、记忆等）以及个性心理特征（情感、意志、兴趣、体质等）,它对学习者来说是主体特征.）；）；三是认知结构三是认知结构（它是学习者头脑里的知识结构,是学习者观念的全部内容和组织.它不仅包括学习者头脑中的全部知识,而且还有这些知识的内部组织方式）。）。知识结构、认识结构、认知结构三者之间关系知识 结构认知 结构认识 结构相互 作用(客体)(主体)数学认知结构v数学认知结构数学认知结构即学生头脑里的数学知识按照自己的理解即学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。数学认知结构的特点：数学认知结构的特点：第一第一,它是它是数学知识结构和学生的心理结构数学知识结构和学生的心理结构相互作用的产物。相互作用的产物。第二第二,它是学生头脑中已有数学知识、经验的组织。它是学生头脑中已有数学知识、经验的组织。第三第三,它可以在各种抽象水平上来表征数学知识。它可以在各种抽象水平上来表征数学知识。第四第四,学生的认知结构具有各自的个性特点（差异）。学生的认知结构具有各自的个性特点（差异）。第五第五,它在数学认知活动中发挥着积极的作用。它在数学认知活动中发挥着积极的作用。第六第六,它是在数学认知活动中形成，发展，完善的动态组织。它是在数学认知活动中形成，发展，完善的动态组织。第第七七,就就功功能能而而言言，学学生生能能借借助助已已有有认认知知结结构构掌掌握握现现有有知知识识，还能借助于原有认知结构创造性地解决问题。还能借助于原有认知结构创造性地解决问题。数学学习的四个阶段数学学习的四个阶段 依据学生认知结构的变化，数学学习过程可以分为四个阶段，即输入阶段、相互作用阶段、操作阶段和输出阶段。新的数学学习内容原有数学认知结构产生新的数学认知结构雏形初步形成新的数学认知结构形成新的数学认知结构，达到预期目标输入阶段输出阶段作用阶段操作阶段v1.输入阶段输入阶段 输入阶段是给学生提供新的学习内容输入阶段是给学生提供新的学习内容,创造学习情境。创造学习情境。目的在于引起冲突，产生学习新知识的需要。目的在于引起冲突，产生学习新知识的需要。v2.相互作用阶段相互作用阶段 同化与顺应同化与顺应 皮亚杰（瑞士心理学家）：“刺激输入的过滤或改变叫同同化化；内部图式的改变，以适应现实，叫做顺应顺应。”v同化是改造新学习内容使之与原有认知结构相吻合。v顺应则是改造学生的认知结构以适应新学习内容的需要。同化与顺应是数学学习过程中学生原有数学认知结构和新学习内容相互作用的两种不同形式，它们往往存在于同一个学习过程中，只是各侧重不同而已。v3.操作阶段操作阶段 在第二阶段产生的数学认知结构雏形的基础上，通过练习等活动，使新学习的知识得到巩固，从而初步形成新的数学认知结构的过程。（学习者获得了一定的技能）v4.4.输出阶段输出阶段 基于第三阶段，通过解决数学问题，使初步形成的新的数学认知结构臻于完善，最终形成新的良好的数学认知结构，学习能力得到发展，达到数学学习的预期目标。总之，无论是新知识的接受，还是纳入，都取决于学生原有总之，无论是新知识的接受，还是纳入，都取决于学生原有的数学认知结构。因此，在任何条件下，已有的数学认知结的数学认知结构。因此，在任何条件下，已有的数学认知结构总是学习新数学内容的基础。要求教师在教学时首先要考构总是学习新数学内容的基础。要求教师在教学时首先要考虑学生知道了什么，掌握到何种程度，然后再考虑教学内容虑学生知道了什么，掌握到何种程度，然后再考虑教学内容的难易程度、呈现序列等问题，确保学生原有认知结构和新的难易程度、呈现序列等问题，确保学生原有认知结构和新数学知识相互作用的顺利进行。数学知识相互作用的顺利进行。思考题思考题 v1.什么是数学认知结构？具有哪些特点？什么是数学认知结构？具有哪些特点？v 2.数学学习的基本过程可分为几个阶段？简数学学习的基本过程可分为几个阶段？简述各阶段的主要任务。述各阶段的主要任务。第三章第三章 数学思维与数学学习数学思维与数学学习主要内容主要内容 v1.数学思维的概念、特点和品质。数学思维的概念、特点和品质。v2.创造性思维的特点及其培养的意义和基本途径。创造性思维的特点及其培养的意义和基本途径。v3.数学学习的基本思维过程，数学思维的基本方法。数学学习的基本思维过程，数学思维的基本方法。关键词关键词 思维，数学思维，形象思维，抽象思维，直觉思维，思维，数学思维，形象思维，抽象思维，直觉思维，思维品质，发散思维，思维过程，观察，试验，比思维品质，发散思维，思维过程，观察，试验，比较，分析，综合，抽象，概括较，分析，综合，抽象，概括 v3.1数学思维 3.1.1思维与数学思维（1）思维的意义与特征思维是人脑对客观现实概括的和间接的反映，它反映的是事物的本质与内容规律性。概括起来就是两个方面：一是能反映。思维的器官是人脑，它能够天然的反映客体，这种天然的反映形式就是感觉。反映的仅是事物的个别属性、个别事物及其外部联系，属于感性认识。二是有意识。是人脑和动物脑的一个显著区别，人脑可以产生意识头脑中已有知识和自觉摄取知识的习性，而动物没有意识。所以说，用意识装备起来的头脑去反映的可以是一类事物共同的、本质的属性和事物间内在的、必然的联系，即超出了感性认识的界线，属于理性认识。这就是思维的直接本质。思维的显著特征：概括性反映一类事物本质特征及事物所具有的普遍或必然的联系。概括水平是衡量思维水平的重要标志。间接性通过其他事物的媒介作用来反映客观事物，基于此，人们才能对那些未曾感知过或根本无法感知的事物做出反应，使人的知识范围扩大、延伸，并可预测未来。（2）数学思维的意义与特征）数学思维的意义与特征 数数学学思思维维：以以数数与与形形及及其其结结构构关关系系为为对对象象，以以数数学学语语言言与与符符号号为为载载体体，并并以以认认识识发发现现数数学学规规律律为为目目的的的的一种思一种思维维。数学思维的特征数学思维的特征v第一，具有一般思维的特征；第一，具有一般思维的特征；v第二，抽象性；第二，抽象性；v第三，严谨性；第三，严谨性；v第四，整体性；第四，整体性；v第五，相似性；第五，相似性；v第六，问题性和语言符号化。第六，问题性和语言符号化。（详见数学教学论罗增儒等，（详见数学教学论罗增儒等，P229）3.1.2 3.1.2 数学思数学思维维的基本成分的基本成分数学思维的基本成分有具体形象思维、抽象逻辑思维、直觉思维三种。v1形象思维及其特征形象思维及其特征数学形象思维是借助数学形象或表象反映数学对象的本质和规律的一种思维。数学形象思维的过程是对一类特殊的思维材料的加工创造过程。这类特殊的数学思维材料，就是具体可感知的表象材料。通过对原有的数学表象的提炼改造加工处理，即按照数学的逻辑和思维的目的对原有表象有意识地、有指向性地选择和重新排列组合，形成新的“意向”，从而提出数学问题或解决数学问题。它的基本特征：以物象为思维材料，在整个思维过程中都不脱离形象，始终具有具体可感性。数学形象思维的功能：数学形象思维的功能：v第一第一,它以形象的形式反映数学规律，从而提供数学它以形象的形式反映数学规律，从而提供数学问题生动而形象的整体显示。因此，易于把握整体。问题生动而形象的整体显示。因此，易于把握整体。v第二,数学创造性往往从对形象的思维受到启发，以数学创造性往往从对形象的思维受到启发，以形象思维为先导。它给数学猜想、数学方法的提出形象思维为先导。它给数学猜想、数学方法的提出以及数学创造带来活力。以及数学创造带来活力。v第三,数学形象思维可以弥补抽象思维的不足。（如，数学形象思维可以弥补抽象思维的不足。（如，一块正方板，锯掉一个角，还剩几个角？若按抽象一块正方板，锯掉一个角，还剩几个角？若按抽象思维形式，答案可能是思维形式，答案可能是“3”，若按形象思维形式，若按形象思维形式，答案则为答案则为“3或或5”，显然后者是正确的。），显然后者是正确的。）v2数学逻辑思维的特征数学逻辑思维的特征数数学学逻逻辑辑思思维维也也称称数数学学抽抽象象思思维维，它它是是借借助助数数学学概概念念、判判断断、推推理理等等思思维维形形式式，通通过过数数学学语语言言来来反反映映数数学学对对象的本象的本质质和和规规律的一种思律的一种思维维。它它的的最最基基本本特特征征：就是以反映客观事物数学本质属性的概念为思维材料。在数学概念的基础上，通过一定的逻辑法则进行推理，形成概念、定理、原理。在数学逻辑思维中，概念如“珠”，逻辑如“线”，思维结果就是“一串珠”，即概念的逻辑链。数学逻辑思维方法数学逻辑思维方法：归纳和演绎，分析与综合，具：归纳和演绎，分析与综合，具体与抽象。体与抽象。数学逻辑思维主要功能数学逻辑思维主要功能：它是认识数学概念、建立：它是认识数学概念、建立数学理论体系乃至其他科学理论体系最主要的工具。数学理论体系乃至其他科学理论体系最主要的工具。v3数学直觉思维的特征数学直觉思维的特征数学直觉思维是以一定的知识经验为基础,通过对数学对象作总体观察,在一瞬间顿悟到对象的某方面的本质,从而迅速作出估断的一种思维。这种思维形式，以高度省略、概括、浓缩的方式洞察问题的实质。它由潜意识参与活动，不受逻辑规则约束，是一种非逻辑思维活动。其特征是：一、突发性（受视觉触发，突然地领悟道理，作出判断，得出结论。）二、直接性（没有详尽的分析和推理，直接接触结果，是一种逻辑的跳跃。）三、创造性（直觉思维的结果常表现出新的突破，新的结论。）注意！任何直觉思维都是持久探索和思考的结果，虽然在形注意！任何直觉思维都是持久探索和思考的结果，虽然在形式上表现为逻辑的跳跃和中断，但它仍是理性的思维，理性式上表现为逻辑的跳跃和中断，但它仍是理性的思维，理性的积淀，而决非是盲目的。的积淀，而决非是盲目的。3.1.3数学学习与思维发展 v1.思维发展的年龄特征年年龄龄阶阶段段 婴儿期婴儿期（0303岁）岁）幼儿期幼儿期（学前期）（学前期）（36、7岁）岁）学龄初期学龄初期（小学期）（小学期）（6、711、12岁）岁）少年期少年期（11、1214、15岁）岁）青年期青年期（14、1517、18岁）岁）思思维维水水平平 感知动作感知动作思维水平思维水平 具体形象具体形象思维水平思维水平 形象抽象思形象抽象思维水平维水平经验型为主经验型为主的抽象逻辑的抽象逻辑思维（经验思维（经验型思维）型思维）理论型为主理论型为主的抽象逻辑的抽象逻辑思维，开始思维，开始形成辩证思形成辩证思维（理论型维（理论型思维）思维）v2思维发展的思维发展的“关键期关键期”与与“成熟期成熟期”一是初二年级，表现为从经验型思维向理论型思维的转化，处于思维发展的转折点，称之为“关键期”；二是在高一到高二年级，这时学生的思维活动初步形成，思维发展处于“成熟期”，高二以后学生智力发展日趋稳定和成熟。v3 3思维发展的差异性思维发展的差异性v4 4思维发展与数学学习思维发展与数学学习数学学习要以学生一定的思维发展水平为前提，反过来，学习数学又能大力促进学生思维的发展。教师在指导学生学习数学时，要与学生思维发展的进程相吻合，既不能不顾学生思维发展的阶段、水平，要求他们学习难度过大或过于抽象的内容，从而造成“消化不良”和学习负担过重，也不能低估学生思维发展水平，降低学习要求，阻碍学生学习潜力的发挥，造成教学内容贫乏和过易，从而直接影响他们思维发展和能力的提高。3.1.4数学思维品质和创造性思维的培养 v1.思维的品质思维的品质 思维品质是评价和衡量学生思维优劣的重要标志。数学思维品质主要有以下几个方面：（1）思维的广阔性 思维的广阔性又称思维的发散性，即善于全面地看问题，思路开阔，多角度探求，多方面考虑问题的品质。(举例)思维的广阔性的反面是思维的狭隘性，具体表现在思考问题时脑子经常放不开，跳不出条条框框的束缚，思维处于封闭状态。（2 2）思维的深刻性）思维的深刻性 思维的深刻性，是指在分析、解决问题的过程中，能够透过事物的表象认识和把握问题的实质及其相互关系，正确提示现象背后的规律，从复杂多变的现象中追根求源，或将已有结果变换、推广，得到更深刻的结果。思维的深刻性是一切思维的基础。思思维维深深刻刻性性的的反反面面是是思思维维的的肤肤浅浅性性，表表现现为为只只满满足足一一知知半半解解，不不求求甚甚解解；考考虑虑问问题题时时，不不去去领领会会问问题题的的实实质质，照照葫芦画瓢。葫芦画瓢。(举例举例)（3 3）思维的灵活性）思维的灵活性 思维的灵活性，又称思维的变通性，是指能依据客观条件的变化及时调整思维方向，摆脱思维定势的影响，灵活地运用有关知识，多角度寻求解决问题的途径的能力。思维灵活性的反面是思维的呆板性。受思维定势的影思维灵活性的反面是思维的呆板性。受思维定势的影响，习惯于响，习惯于“现成途径现成途径”，遁入业已知道的规则系统。，遁入业已知道的规则系统。(举例举例)（4 4）思维的批判性）思维的批判性思维的批判性，是指在思维活动中独立思考，善于质疑，敢于发表不同的意见、看法。既不人云亦云，也不自以为是。思维的批判性的反面是无批判性，不善于或思维的批判性的反面是无批判性，不善于或不会找出自己解题中的错误。不会找出自己解题中的错误。（5 5）思维的敏捷性）思维的敏捷性思维的敏捷性指思维过程的简缩性和快速性。特点是：一快捷，二准确。它的反面是思维的迟钝性。它的反面是思维的迟钝性。(举例举例)（6）思维的创造性 思维的创造性表现为能独立地发现问题、分析问题和解决问题，主动地提出新的见解和采用新的方法的思维品质。如数学王子高斯10岁时，对计算1+2+3+100，一口报出结果，即思维具有创造性的表现。思维的创造性是创造性人才的主要特征，是人类思维的高级形态，是智力活动的高级表现。任何创造、发明、革新、发现等活动都离不开创造性思维。创造性思维具有五个重要特点（心理学家林崇德教授研究结创造性思维具有五个重要特点（心理学家林崇德教授研究结果）：果）：新颖（前所未有）、独特（不同寻常）、有意义（有价值）思维加想象 思维的产生具有突发性或称为“灵感”分析思维与直觉思维的统一 发散思维与辐合思维（求同思维）的统一 思维的创造性的对立面是思维的保守性，表现为受条条框框限制，被俗套束缚，不愿多想问题，只求“成法”，而产生思维惰性。v2.2.数学教学中的创造性思维培养数学教学中的创造性思维培养创造可分为真创造与类创造两种。真创造是科学家和创造发明家最终产生了对人类来说是新的知识和有社会价值的成品活动。类创造是对个体而言的，其思维或品质对个人来说是新的，而对人类来说是已知的，所以将这种活动称为类创造。创造能力的素质是每一个人、每一个正常儿童所固创造能力的素质是每一个人、每一个正常儿童所固有的，需要的只是善于把它们发掘出来并加以发展。有的，需要的只是善于把它们发掘出来并加以发展。所以，我们必须摒弃所以，我们必须摒弃“创造是天才们的专利创造是天才们的专利”的陈的陈腐观念，树立起腐观念，树立起“人人能创造人人能创造”的现代意识，创新的现代意识，创新精神。（精神。（杨振宁教授说过杨振宁教授说过:在国外在国外,中国留学生无论在普通大学中国留学生无论在普通大学,还是还是一流大学一流大学,学习成绩都是非常出色的学习成绩都是非常出色的.但是中国留学生胆小但是中国留学生胆小,老师没有讲过老师没有讲过的不敢想的不敢想,老师没有做过的不敢做老师没有做过的不敢做.朱棣文朱棣文(美籍华人美籍华人,诺贝尔奖得主诺贝尔奖得主,美能美能源部长源部长)说说:美国学生学习成绩不如中国学生美国学生学习成绩不如中国学生,但是他有创新及冒险精神但是他有创新及冒险精神,所以往往创造出一些惊人成就所以往往创造出一些惊人成就.）创新精神强）创新精神强,天资差的人往天资差的人往往比天资强而创新精神不足的人能取得更大的成就往比天资强而创新精神不足的人能取得更大的成就.v数学教学中培养创造性思维的若干成功经验：数学教学中培养创造性思维的若干成功经验：（1）培养归纳、类比能力，鼓励大胆猜想;（2）一题多解，培养发散思维能力;（3）鼓励质疑，培养思维的批判性;（4）重视直觉思维能力培养;(举例)（5）引入数学开放题;（说明及举例）（6）指导学生写数学小论文;（7）多一点耐心与宽容;思考思考题题v1.1.何何谓谓数学思数学思维维？它有哪些特点？它有哪些特点？v2.2.简简述数学思述数学思维维的基本成分。的基本成分。v3.3.简简述述创创造造性性思思维维的的价价值值,如如何何培培养养学学生生的的创造性思维创造性思维?3.2 3.2 数学学数学学习习的基本思的基本思维过维过程程v1.分析与综合 v2.比较与分类 v3.抽象与概括 v4.演绎、归纳与类比 v5.联想与猜想（详见罗增儒等数学教学论P237-243）思考题v1.数学思维的品质包括哪几个方面？举例说明。v2.什么是分析与综合？各有什么特点？v例如,在圆x2+y2=9上有一点P,圆内有一个定点A(-2,0),求线段AP中点的轨迹方程.解题不难,引入参变量,利用中点坐标公式可以推导出它的轨迹方程.v若把条件“圆”改为椭圆、双曲线、抛物线，解题思路相同吗？v若把条件“圆内有一定点”改为圆上或圆外，行吗？v若把结论“中点的轨迹方程”改为把线段AP分成定比k的分点的轨迹方程，解题思路仍基本相同。v例如,已知方程x2+x+p=0的两个虚根为,且|-|=3,求实数p的值.v在审题中,不少学生由|-|=3得到-=3或|-|2=(-)2,从而造成原则性的错误,其根本原因是没有深入思考实数的绝对值与虚数绝对值的本质差异,从而错误,这是思维缺乏深刻性的表现.v例如,已知二次方程(a-b)x2+(c-a)x+(b-c)=0 (a,b,cR)有相等实根,求证a,b,c成等差数列.v对此题,若思维呆板,则会总是停留在利用一元二次方程根的判别式上.由题目条件,你能得出其他证法吗?v例如,学生刚学完两数和的平