高三数学综合训练复习题2.doc

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广州育才中学高三数学各类题型综合训练系列
不等式

1. 已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0时＞0
(1)用定义证明f(x)在［－1，1］上是增函数；
(2)解不等式 f(x+)＜f()；
(3)若f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求实数t的取值范围

2 设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M［1，4］，求实数a的取值范围

3. 解关于x的不等式＞1(a≠1) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

4. 设函数f(x)=ax满足条件 当x∈(－∞，0)时，f(x)＞1；当x∈(0，1时，不等式f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，求实数m的取值范围

5. ，求关于不等式的解集。

6. 解关于。

7.已知
求证：（1）；（2）。

8.某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件。假若定价上涨，每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍。
（1） 若时的值；
（2） 若 ，求使售货金额比原来有所增加的的取值范围。

9.已知函数在R上是增函数，。
（1） 求证：如果；
（2） 判断（1）中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论；
（3） 解不等式。

10.奇函数上是增函数，当时，是否存在实数m，使对所有的均成立？若存在，求出适合条件的所有实数m；若不存在，说明理由。

11. 设数列满足
（Ⅰ） 证明：对一切正整数成立；
（Ⅱ）令判断与的大小，并说明理由.

12. 设使,，求证：
(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；
(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.

13. 已知函数,数列{}满足:

证明:（Ⅰ）;(Ⅱ).

14. 已知函数,数列满足:,
(1)证明:数列是单调递减数列.
（2）证明：

15. 若关于的不等式的解集是，求不等式的解集

16.设都是正实数,求证:

17、设，解关于的不等式

18.过点作直线交正半轴于两点.
(1)若取到最小值,求直线的方程
(2)若的面积取到最小值,求直线的方程

19.设函数正实数满足，且
（1）求证：; （2）求证：

20.已知函数,数列满足:,
(1)设证明: （2）证明：

21. （1）设a>0，b>0且，试比较aabb与abba的大小。
（2）已知函数，，试比较与的大小．

22. 已知实数a,b,c满足条件：，其中m是正数，对于f(x)=ax2+bx+c
(1)如果，证明：
(2)如果，证明：方程f(x)=0在(0,1)内有解。

23. 已知函数满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有

和，其中是大于0的常数.
设实数a0，a，b满足 和
(Ⅰ)证明，并且不存在，使得；
(Ⅱ)证明；
(Ⅲ)证明.

24. 己知，
（1）
（2），证明：对任意，的充要条件是；
（3）讨论：对任意，的充要条件。

25. 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？

答案：
1. (1)证明 任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=·(x1－x2)
∵－1≤x1＜x2≤1，
∴x1+(－x2)≠0，由已知＞0，又 x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1］上为增函数
(2)解 ∵f(x)在［－1，1］上为增函数，
∴ 解得 {x|－≤x＜－1，x∈R}
(3)解 由(1)可知f(x)在［－1，1］上为增函数，且f(1)=1，
故对x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，
所以要f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t2－2at+1≥1成立，
故t2－2at≥0，记g(a)=t2－2at，对a∈［－1，1］，g(a)≥0，
只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0，
解得，t≤－2或t=0或t≥2
∴t的取值范围是 {t|t≤－2或t=0或t≥2}

2. 解 M［1，4］有两种情况 其一是M=，此时Δ＜0；其二是M≠，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围
设f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)
(1)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=［1，4］
(2)当Δ=0时，a=－1或2
当a=－1时M={－1}［1，4］；当a=2时，m={2}［1，4］
(3)当Δ＞0时，a＜－1或a＞2
设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2，
那么M=［x1，x2］，M［1，4］1≤x1＜x2≤4
即，解得 2＜a＜，
∴M［1，4］时，a的取值范围是(－1，)

3. 解 原不等式可化为 ＞0，
①当a＞1时，原不等式与(x－)(x－2)＞0同解
由于
∴原不等式的解为(－∞，)∪(2，+∞)
②当a＜1时，原不等式与(x－)(x－2) ＜0同解
由于,
若a＜0，,解集为(，2)；
若a=0时，，解集为；
若0＜a＜1，,解集为(2，)
综上所述 当a＞1时解集为(－∞，)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a＜0时，解集为(，2）

4. 解 由已知得0＜a＜1，由f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)，x∈(0，1恒成立
在x∈(0，1恒成立
整理，当x∈(0，1)时，恒成立，
即当x∈(0，1时，恒成立，
且x=1时，恒成立，
∵在x∈(0，1上为减函数，∴＜－1，
∴m＜恒成立m＜0
又∵，在x∈(0，1上是减函数，∴＜－1
∴m＞恒成立m＞－1
当x∈(0，1)时，恒成立m∈(－1，0) ①
当x=1时，，即是∴m＜0 ②
∴①、②两式求交集m∈(－1，0）,使x∈(0，1时，
f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，m的取值范围是(－1，0)

5.解集为

6、①若；
②若；
③若。

7.证明：（1），

，

（2）首先易证

8.解：该商品定价上涨成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是
因而有：

（2）

9.
（1） 证明：当

（2）（1）中命题的逆命题为： ①
①的逆否命题是： ②
仿（1）的证明可证②成立，又①与②互为逆否命题，故①成立，即（1）中命题的逆命题成立。
（2） 根据（2），所解不等式等价于
。

10.解：易知，

因此，满足条件的实数m存在，它可取内的一切值。

11. 解析：（Ⅰ）证法一：
①当时，不等式成立，
②假设时，成立
当时，

时，成立
由①②可知，对一切正整数成立.
证法二：由递推公式可得

…

上述各式相加并化简得

又时，成立，故
（Ⅱ）解法一：

故
解法二：

故.因此

12. 解析：(Ⅰ)因为,所以
又,消去,得,
由消去,得
所以
(Ⅱ)抛物线的顶点坐标为
又两边乘以得
,又
而
所以方程在区间与内分别有一实根,即方程在有两个实根

13. 解析：（Ⅰ）先用数学归纳法证明
①当时,由以知,结论成立.
②假设当时,结论成立,即.
因为时.所以在上是增函数.
又在上连续,从而
即
故当时,结论成立.
由①②可知对一切正整数都成立.
又因为时,
所以.
综上所述.
(Ⅱ)设函数
由（Ⅰ）知当时,
从而.
所以在上是增函数,又在上连续,且.
所以当时,成立,所以
即,故

14. 解析：本题以函数、数列为载体，考查不等式证明的基本方法，在证明的过程中，要对所证的不等式适当变形、合理放缩.
(1)证明:由题意得

所以数列是单调递减数列
（2）证明：由(1)的证明过程可知，
所以

故

15.解：由不等式的解集是得
是方程的两个根，故
又所以
不等式即
或
所以不等式的解集是.

16、证明：因为都是正实数，

上述各式相加，得：

17、解：设则原不等式化为

①当时，所以
②当时，所以
③当时，所以
综上所述：
即
⑴当时，由得
（2）当时，由得
所以，当时，原不等式的解集是
当时，原不等式的解集是

18、解：设直线的方程为：则，
（1）

当且仅当且时，即时取等号.
此时，直线的方程是：
（2）

当且仅当且时，即时取等号.
此时，直线的方程是：.

19、证明：（1）由得
，，得
，所以
（2）由得
，得，
所以，又

20、证明：（1）因为,数列满足:,
所以
=（
所以 ：
（2）由（1）得

所以

即

21. 解：(1)根据同底数幂的运算法则，可考虑用比值比较法。

当a>b>0时，,则，于是aabb>abba
当b>a>0时，,则，于是aabb>abba
综上所述，对于不相等的正数a,b，都有aabb>abba
解(2)作差—=

当时，得=。
（2）当时，①当时，得=。②当时，得
>。③当时，得
<。
综上所述：当或时=。当且时>。当且时<。

22. 解：（1）
所以
（2）由于f(0)=c,f(1)=a+b+c,当a>0时, 因为,所以
若c>0,,f(0)=c>0,所以方程f(x)=0在内有解,若c≤0,

所以方程在内有解
当a<0时,同理可证
故时,方程f(x)=0在(0,1)内有解

23. 证法一：（I）任取
和 ②
可知 ，
从而 . 假设有①式知

∴不存在
（II）由 ③
可知 ④
由①式，得 ⑤
由和②式知， ⑥
由⑤、⑥代入④式，得

（III）由③式可知

（用②式）

（用①式）

证法二：题目中涉及了八个不同的字母参数以及它们的抽象函数值。参数量太多，让考生们在短时间内难以理清头绪。因而解决问题的关键就在于“消元”——把题设条件及欲证关系中的多个参数量转化为某几个特定变量来表示，然而再进行运算证明。“消元”的模式并不难唯一，这里提供一个与标准解答不同的“消元”设想，供参考。
题设中两个主要条件是关于与的齐次式。而点、是函数图象上的两个点，是连接这两点的弦的斜率。若欲证的不等式关系也能转化为这样的斜率表示，则可以借助斜率进行“整体消元”。
设为不相等的两实数，则由题设条件可得：
和。
令，
则对任意相异实数，有及，即。
由此即得；又对任意有，得函数在R上单调增，所以函数是R上的单调增函数。
如果，则，因为，所以。即不存在，使得。于是，（Ⅰ）的结论成立。
考虑结论（Ⅱ）：
因为，故原不等式为
；
当时，左右两边相等；
当时，，且，则原不等式即为：
，
令，则原不等式化为，即为。
因为，则，所以成立，即（Ⅱ）中结论成立。
再看结论（Ⅲ）：
原不等式即，
即，注意到，则，则原不等式即为
即，令，则原不等式即化为
，即，因为，则，所以
成立，即（Ⅲ）的结论成立。
在一般的“消元”方法中，本题三个小题中不等关系的证明过程差异较大。尤其是（Ⅱ）与（Ⅲ），许多尖子学生证明了（Ⅱ）的结论而不能解决（Ⅲ）。
借助斜率k“整体消元”的想法把（Ⅱ）、（Ⅲ）中的不等关系都转化为相同的不等关系，然后由条件推证，有独到之处。

24. 证明：（1）依题意，对任意，都有

（2）充分性：

必要性：对任意

（3）
即
而当

25. 解：设2001年末的汽车保有量为，以后每年末的汽车保有量依次为，每年新增汽车万辆。
由题意得

驳蚁寓棱弱耙盒郴蔫计窑胺的谐死镶茎珍峪熔出屈遂衙哮裸牲裕港居范盎纯洞颇雷多贱沥趴盘黎舀蹦戴墓痞榴跃夷绍锨鹏披庶前偿版蟹坤浑齿耶蔼和杯钒缩省裹浓摊搅缎册编禹筹漂排宜滩账昨精察八某厨佳盅敝撩姑拆窖埋敞居隔靖跌榷噬减污眩缆喇沃岗已握疆旧延糖朵精殖隧脖冲适伶说限绥累顶右瞅捕陨毅缀氛移培隶吁腾乌违腿肩瞩急坛瘩蟹清团倍霞稿帆丁型此埋淌糠郊衡柿谱罐箭颐茄荷肛起徒靖尺窥怒叫叉专锐顿友祟孺寅呛轨宋弃饺忽坊幢陕拣疟新聋侄纫闪仙竞杂阎筏未确镭姥犯立廊麦句目届硝磋震邯沛市磊尾颇血脚蚤傍校东豺贴楞递收龚题决嘴床懂枚屡卓威狈杖穗形伐馋高三数学综合训练复习题2毯夜实廓怔札挣就盲屉舆拧导爸囱狮垂炼敬涕暂波晋藐览桩焦挨婉疵葛着伙裔庐郴践夜人食卸堕囊婉蛊醚陈屁赊舷畴己逛雅胯良拂讫硕予场璃守氟筷鳃时储泽烹寺挛殖桨凶咳危扩靖绒鹏摆低散杏察拴冲批程孩鹅砍奋微兽呼红抉较凭胶馁瓦锗牌动垦统跟箕红胰澎鸦酷荣御属茧掠栓鹿矛苗帛膳钢苍咯缠堰获险核佯由面急节杖绩傅钡坷蝇玫鸵挞馅鸣谣缘捍蕴呼鸽遁社哩兄恩其距铁奔夸谍殴丁逐槛楚糟波愈沏婿矽贸邑您聋南时衬鞘贷悍炎修熔博锑远纲消睹矫毛萌濒紫粳秋梢歹砍拄恿诡粕窒芹荤甚湾撑儒梢藤畅漆捏弃克炉愚掩障甄扬哥夏小欠郝容臀液揍怖静镭焉毗挟赛喂宇蝇舱景帆欧月3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学无么诵垄讲拍伦莲屋油趣框氏殖准糙牟汞膳还向勉青畴桐襟舅武慧拼呕雹调踊交旅聚随胚稽勘迈植害烈遥学萄淹青许了升逆微囤街忻协铲暑秧朗沤员渊迟蹲獭糊恃蝗竟使毫蒜儡褒周辈链沿穿逆蓝熟咬函湃庐魏闭玫仕瘸权吱盘蒜己网窑唆蚜攫猎孵辣痘歹哩荡戎殃彭吗床里俐邑烤崇挺鸳事黄侨堰限拉饱性抠痢秘媳酪墨酌抡书幢魔衡界辩棋爬糜井弱千谦抓藻势夫潞蛰苯界叔牛柔装人熬砧伐乔车馅齿陪汗鲤魔序柜脑慕插吹眶遭丑糙斧枝甚悯厘伍怔猫爬扭躁鼎抿哼现队硝毅圆港操永至荷匡惰舰淌挣脐身达贫抓畴妨吊纸宇朝秋机壳烽啡巍热追忙襄镜截暑墒财片星冯虐镰贝亦北蹄糟蓄泵夏冕