高三数学综合训练复习题1.doc

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广州育才中学高三数学各类题型综合训练系列
立体几何中求角与距离
1. 四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.
（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°

2 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点.
（1）求证：AB1⊥平面CED；
（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；
（3）求二面角B1—AC—B的平面角.

3. 如图a—l—是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在内，ABC是等腰直角三角形∠ACB=
（I） 求三棱锥D—ABC的体积；
（2）求二面角D—AC—B的大小；
（3）求异面直线AB、CD所成的角.

4. 在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．

图① 图②

5. 已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，
D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（1）求证：AP⊥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面BDF；
（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥
P—ABC所成两部分的体积比．

6. 如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F、G分别为EB和AB的中点.
（1）求证：FD∥平面ABC；
（2）求证：AF⊥BD；
(3) 求二面角B—FC—G的正切值.

7. 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且
D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.

(1) 求证PQ∥平面CDD1C1；
(2) 求证PQ⊥AD；

(3) 求线段PQ的长.

A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
x
y
z
图4
8. 如图4，在长方体
中，AD==1，AB=2，点E在棱AB
上移动。
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）当E为AB的中点时，求点E到面
的距离；
（Ⅲ）AE等于何值时，二面角的大小为。

9. 如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长都相等，D、E分别为AC1，BB1的中点。（1）求证：DE∥平面A1B1C1；（2）求二面角A1—DE—B1的大小。

10．如图：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a。
　　（I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF⊥FC1；
　　（II）试问：若AB＝2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角，为什么？证明你的结论

11.如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。
（I）求二面角P—CD—A的正切值；
（II）求点A到平面PBC的距离。

12.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG.
（Ⅰ）确定点G的位置；
（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.

13.
已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，
点E为AB中点，点F为PD中点.
（1）证明平面PED⊥平面PAB；
（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值

14.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.
·
B1
P
A
C
D
A1
C1
D1
B
O
H
·
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；
(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.

15.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F。
　　(I)证明 平面；
　　(II)证明平面EFD；
　　(III)求二面角的大小。

16.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱
CD上的动点.
（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；
（II）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1—EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）.

17.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是
梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD1=AB=1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点。点P到直线
AD1的距离为
⑴求证：AC∥平面BPQ
⑵求二面角B-PQ-D的大小

18.已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E、F分别为AD和CC1的中点，O1为下底面正方形的中心。
（Ⅰ）证明：AF⊥平面FD1B1；
（Ⅱ）求异面直线EB与O1F所成角的余弦值；

19. 图①是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：
（1）求MN和PQ所成角的大小；
（2）求四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比；
（3）求二面角M—NQ—P的大小。

20. 如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。
（1）求点P到平面ABCD的距离；
（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。

答案：
1. （1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面, 其面积
为从而只要算出四棱锥的高就行了.
面ABCD,
∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，
∴PA⊥DA，
∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，
∠PAB=60°.
而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB·tg60°=a,
.
（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.
作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，
是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.
设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，

在
故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.

2. （1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.
∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1， ∴AB1⊥平面CDE；
（2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE
∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1
∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段
∵CE=，AC=1 , ∴CD=
∴；
（3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC ,
∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角.
在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,
∴∠B1AC=600
∴， ∴,
∴ , ∴.

3. (1) 过D向平面做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E.
为二面角a—l—的平面角..
是等腰直角三角形，斜边AB=2.又D到平面的距离DO=

（2）过O在内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO 为二面角D—AC—B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且
（3）在平在内，过C作AB的平行线交AE于F，∠DCF为异面直线AB、CD所成的角. 为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即△ABC斜边上的高,
异面直线AB,CD所成的角为arctg

4. 设容器的高为x．则容器底面正三角形的边长为,

.
当且仅当 .
故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为

5. (1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD．
由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．
（2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP．
由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．
又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．
（3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2．则
h1∶h2=EP∶AP=2∶3,

故截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1
6. ∵F、G分别为EB、AB的中点，
∴FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC, FG=DC，
∴四边形FGCD为平行四边形，∴FD∥GC，又GC面ABC，
∴FD∥面ABC.
（2）∵AB=EA，且F为EB中点，∴AF⊥EB ① 又FG∥EA，EA⊥面ABC
∴FG⊥面ABC ∵G为等边△ABC，AB边的中点，∴AG⊥GC.
∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD ②
由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD.
（3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF.
过G作GH⊥FC，垂足为H，连HB，∴HB⊥FC.
∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角.
易求.

7. （1）在平面AD1内，作PP1∥AD与DD1交于点P1，在平面AC内，作
QQ1∥BC交CD于点Q1，连结P1Q1.
∵ , ∴PP1QQ1 .
由四边形PQQ1P1为平行四边形, 知PQ∥P1Q1 
而P1Q1平面CDD1C1， 所以PQ∥平面CDD1C1
（2）AD⊥平面D1DCC1， ∴AD⊥P1Q1，
又∵PQ∥P1Q1， ∴AD⊥PQ.
（3）由（1）知P1Q1 PQ,
，而棱长CD=1. ∴DQ1=. 同理可求得 P1D=.
在Rt△P1DQ1中，应用勾股定理, 立得
P1Q1=.

8. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，
，。
（Ⅰ）证明：由，，
，有，于是。
（Ⅱ）E是AB的中点，得。
，，。
设平面的法向量为，单位法向量为，
由，解得。
于是，有。
设点E到平面的距离为，则
。
所以点E到平面的距离为。
（Ⅲ）平面的法向量，设平面的法向量。
又，。
由，得
，解得，于是。

设所求的二面角为，则。
有，得。
解得，
所以，当AE=时，二面角的大小为。

9. （1）取A1C1中点F，连结B1F，DF，∵D1E分别为AC1和BB1的中点，DF∥AA1，
DF=（1/2）AA1，B1E∥AA1，B1E=（1/2）AA1，∴DF∥B1E，DF=B1E，∴DEB1F为平行四边形，∴DE∥B1F，又B1F在平面A1B1C1内，DE不在平面A1B1C1，∴DE∥平面A1B1C1
（2）连结A1D，A1E，在正棱柱ABC—A1B1C1中，因为平面A1B1C1⊥平面ACC1A1，A1C1是平面A1B1C1与平面ACC1A1的交线，又因为B1F在平面A1B1C1内，且B1F⊥A1C1，，所以B1F⊥平面ACC1A1，又DE∥B1F，所以DE⊥平面ACC1A1所以∠FDA1为二面角A1—DE—B1的平面角。并且∠FDA1=（1/2）∠A1DC1，设正三棱柱的棱长为1，因为∠AA1C1=900，D是AC1的中点，所以即为所求的二面角的度数。
10．（I）连结DF，DC 　∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，
　　∴CC1⊥平面ABC，∴平面BB1C1C⊥平面ABC
　　∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD⊥平面BB1C1C 3＇
　　∴DF为EF在平面BB1C1C上的射影，
　　在△DFC1中，∵DF2＝BF2＋BD2＝5a2，＝＋DC2＝10a2，
　　＝B1F2＋＝5a2，　∴＝DF2＋，∴DF⊥FC1
FC1⊥EF
　　（II）∵AD⊥平面BB1C1C，∴∠DFE是EF与平面BB1C1C所成的角
　　在△EDF中，若∠EFD＝60°，则ED＝DFtg60°＝·＝，
　　∴＞，∴E在DA的延长线上，而不在线段AD上
　　故线段AD上的E点不能使EF与平面BB1C1C成60°角。

11. 解：（1）在底面ABCD内，过A作AE⊥CD，垂足为E，连结PE

∵PA⊥平面ABCD，由三垂线定理知：PE⊥CD
∵∠PEA是二面角P—CD—A的平面角
在中，
在中，∴二面角P—CD—A的正切值为
（II）在平面APB中，过A作AH⊥PB，垂足为H∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC
又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB
∴AH⊥平面PBC 故AH的长即为点A到平面PBC的距离
在等腰直角三角形PAB中，，所以点A到平面PBC的距离为
12.
解法一：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），

设G（0，2，h），则
∴－1×0+1×（－2）+2h=0. ∴h=1，即G是AA1的中点.
（Ⅱ）设是平面EFG的法向量，则
所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）
∵
∴， 即AC1与平面EFG所成角为
解法二：（Ⅰ）取AC的中点D，连结DE、DG，则ED//BC

∵BC⊥AC，∴ED⊥AC.
又CC1⊥平面ABC，而ED平面ABC，∴CC1⊥ED.
∵CC1∩AC=C，∴ED⊥平面A1ACC1.
又∵AC1⊥EG，∴AC1⊥DG.
连结A1C，∵AC1⊥A1C，∴A1C//DG.
∵D是AC的中点，∴G是AA1的中点.
（Ⅱ）取CC1的中点M，连结GM、FM，则EF//GM，
∴E、F、M、G共面.作C1H⊥FM，交FM的延长线于H，∵AC⊥平面BB1C1C，
C1H平面BB1C1C，∴AC⊥G1H，又AC//GM，∴GM⊥C1H. ∵GM∩FM=M，
∴C1H⊥平面EFG，设AC1与MG相交于N点，所以∠C1NH为直线AC1与平面EFG所成角θ.
因为
13． （1）证明：连接BD.
为等边三角形.
是AB中点，
面ABCD，AB面ABCD，
面PED，PD面PED，面PED.
面PAB，面PAB.
（2）解：平面PED，PE面PED，
连接EF，PED，

为二面角P—AB—F的平面角.
设AD=2，那么PF=FD=1，DE=.
在

即二面角P—AB—F的平面角的余弦值为
14、解（1）
（2）略
（3）

15.方法一：
　　(I)证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。
　　底面ABCD是正方形，点O是AC的中点
　　在中，EO是中位线，。
　　而平面EDB且平面EDB，
　　所以，平面EDB。
　(II)证明：底在ABCD且底面ABCD，
　　 ① 　　同样由底面ABCD，得
　　底面ABCD是正方形，有平面PDC
　　而平面PDC， ②　　　　 ………………………………6分
　　由①和②推得平面PBC 　而平面PBC，
　　又且，所以平面EFD
(III)解：由(II)知，，故是二面角的平面角
　　由(II)知， 设正方形ABCD的边长为，则
　　 在中，
　　 　在中，

所以，二面角 的大小为

　　方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设
　　(I)证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。 依题意得
　　底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心， 　故点G的坐标为且

　　。这表明。
　　而平面EDB且平面EDB，平面EDB。

　　(II)证明：依题意得。又故

　　由已知，且所以平面EFD。

　　(III)解：设点F的坐标为则

　　从而所以

　　由条件知，即
　　解得 。
　　点F的坐标为且

　　即，故是二面角的平面角。
　　且

16．本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分12分.

解法一：（I）连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影
∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，
于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF.
连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影.
∴D1E⊥AFDE⊥AF.
∵ABCD是正方形，E是BC的中点.
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.…………6分
（II）当D1E⊥平面AB1F时，由（I）知点F是CD的中点.
又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD. 连结AC，
设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连结C1H，则CH是
C1H在底面ABCD内的射影.
C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1—EF—C的平面角.
在Rt△C1CH中，∵C1C=1，CH=AC=，
∴tan∠C1HC=.
∴∠C1HC=arctan，从而∠AHC1=.
故二面角C1—EF—A的大小为.
解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
（1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），
A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E，F（x，1，0）

（1）当D1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD. 连结AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF. 连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影.
∴C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1—EF—A的平面角.

17、⑴连接CD1 ∵P、Q分别是CC1、C1D1的
中点。∴CD1∥PQ 故CD1∥平面BPQ
又D1Q=AB=1，D1Q∥AB，
得平行四边形ABQD1，故AD1∥平面BPQ

∴平面ACD1∥平面BPQ
∴AC∥平面BPQ （4分）
⑵设DD1中点为E，连EF，则PE∥CD
∵CD⊥AD，CD⊥DD1 ∴CD⊥平面ADD1
∴PE⊥平面ADD1
过E作EF⊥AD1于F，连PF。则PF⊥AD1，PF为点P到直线AD1的距离
PF=，PE=2 ∴EF= 又D1E=，D1D=1，∴AD=1
取CD中点G，连BG，由AB∥DG，AB=DG得GB∥AD。∵AD⊥DC，AD⊥DD1∴AD⊥平面DCC1D1，则BG⊥平面DCC1D1
过G作GH⊥PQ于H，连BH，则BH⊥PQ，故∠BHG是二面角B-PQ-D的平面角。
由△GHQ∽△QC1P得GH=，又BG=1，得tan∠BHG=
∴二面角B-PQ-D大小为arctan

18、解 本题考查空间的线面关系，向量法及其运算。
（Ⅰ）证法一：如图建立空间直角坐标系。则D1（0，0，0）、O1（2，2，0）
B1（4，4，0）、E（2，0，8）、A（4，0，8）、B（4，4，8）、
F（0，4，4）。
=（-4，4，-4），=（0，4，4），
=（-4，0，4）
=0+16-16=0，=16+0-16=0
∴AF⊥平面FD1B1.
证法二：连结BF、DF，则BF是AF在面BC1上的射影，易证得BF⊥B1F，
DF是AF在面DC1上的射影，也易证得DF⊥D1F，所
以AF⊥平面FD1B1.
（Ⅱ）解法一：=（2，4，0），=（-2，2，4）
设与的夹角为，则
=……
解法二：在B1C1上取点H，使B1H=1，连O1H和FH。

易证明O1H∥EB，则∠FO1H为异面直线EB与F所成角。
又O1H=BE=，HF==5，
O1F==2，
∴在△O1HF中，由余弦定理，得

cos∠FO1H==

19. 解：（1）如图②，作出MN、PQ

∵PQ∥NC，又△MNC为正三角形
∴∠MNC＝60°
∴PQ与MN成角为60°

即四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比为1：6
（3）连结MA交PQ于O点，则MO⊥PQ
又NP⊥面PAQM，∴NP⊥MO，则MO⊥面PNQ
过O作OE⊥NQ，连结ME，则ME⊥NQ
∴∠MEO为二面角M—NQ—P的平面角
在Rt△NMQ中，ME·NQ＝MN·MQ
设正方体的棱长为a

∴∠MEO＝60°
即二面角M—NQ—P的大小为60°。

20. 解：（1）作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB（根据___________）
∵PA＝PD，∴OA＝OD
于是OB平分AD，点E为AD中点
∴PE⊥AD
∴∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角
∴∠PEB＝120°，∠PEO＝60°

即为P点到面ABCD的距离。
（2）由已知ABCD为菱形，及△PAD为边长为2的正三角形
∴PA＝AB＝2，又易证PB⊥BC
故取PB中点G，PC中点F
则AG⊥PB，GF∥BC
又BC⊥PB，∴GF⊥PB
∴∠AGF为面APB与面CPB所成的平面角
∵GF∥BC∥AD，∴∠AGF＝π－∠GAE
连结GE，易证AE⊥平面POB

（2）解法2：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA

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