高三数学统计案例复习题1.doc

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1．独立性检验
利用χ2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)来确定在多大程度上认为“两个变量有相关关系”．应记熟χ2的几个临界值的概率．
2．回归分析
(1)分析两个变量相关关系常用：散点图或相关系数r进行判断．在确认具有线性相关关系后，再求线性回归方程，进行预测．
(2)对某些特殊的非线性关系，可以通过变量转化，把非线性回归转化为线性回归，再进行研究．

题型一　独立性检验思想的应用
独立性检验的基本思想是统计中的假设检验思想，类似于数学中的反证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下我们构造的随机变量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理．
例1　为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2)
表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
频数
30
40
20
10
表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
[80,85)
频数
10
25
20
30
15
完成下面2×2列联表，能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．
表3：

疱疹面积
小于70mm2
疱疹面积不
小于70mm2
合计
注射药物A
a＝
b＝

注射药物B
c＝
d＝

合计

n＝
解　列出2×2列联表

疱疹面积
小于70mm2
疱疹面积不
小于70mm2
总计
注射药物A
a＝70
b＝30
100
注射药物B
c＝35
d＝65
100
合计
105
95
n＝200
χ2＝≈24.56，
由于χ2>10.828，所以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．
跟踪演练1　某企业为了更好地了解设备改造与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析．其中设备改造前生产的合格品有36件，不合格品有49件；设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件，根据上面的数据，你能得出什么结论？
解　根据已知条件列出2×2列联表：

合格品
不合格品
合计
设备改造后
65
30
95
设备改造前
36
49
85
合计
101
79
180
提出假设H0：设备改造与生产合格品无关．
由公式得χ2＝≈12.379.
∵χ2>10.828，∴我们有99.9%的把握认为设备改造与生产合格品有关系．
题型二　线性回归分析
进行线性回归分析的前提是两个变量具有线性相关关系，否则求出的线性回归方程就没有实际意义，所以必须先判断两个变量是否线性相关．分析判断两个变量是否线性相关的常用方法是利用散点图进行判断，若各数据点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系．此方法直观、形象，但缺乏精确性．
例2　在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为

1
2
3
4
5
价格x
1.4
1.6
1.8
2
2.2
需求量y
12
10
7
5
3
已知xiyi＝62，x＝16.6.
(1)画出散点图；
(2)求出y对x的线性回归方程；
(3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01t)．
解　(1)散点图如下图所示：

(2)因为＝×9＝1.8，＝×37＝7.4，
xiyi＝62，x＝16.6，
所以＝＝＝－11.5，
＝－＝7.4＋11.5×1.8＝28.1，
故y对x的线性回归方程为＝28.1－11.5x.
(3)＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t)．
故价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t.
跟踪演练2　某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了4次试验，得到数据如下：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

(2)求y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)试预测加工10个零件需要的时间．
解　(1)散点图如图所示：

(2)＝＝3.5，＝＝3.5，
iyi＝2×2.5＋3×3＋4×4＋5×4.5＝52.5，
＝4＋9＋16＋25＝54，
∴＝＝0.7，
＝3.5－0.7×3.5＝1.05，
∴所求线性回归方程为＝0.7x＋1.05.
(3)当x＝10时，＝0.7×10＋1.05＝8.05，
∴预测加工10个零件需要8.05小时．
题型三　非线性回归分析
非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已经数据的散点图，把它与已经学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．
例3　下表是某年美国旧轿车价格的调查资料，今以x表示轿车的使用年数，y是表示相应的年均价格，求y关于x的回归方程.
使用
年数x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年均价格
y(美元)
2651
1943
1494
1087
765
538
484
290
226
204
解　数据对应的散点图如图1，

图1
可以发现，各点并不是基本处于一条直线附近，因此，y与x之间是非线性回归关系．与已学函数图象比较，用＝ex＋来刻画题中模型更为合理，令＝ln，则＝x＋，题中数据变成如下表所示：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
z
7.883
7.572
7.309
6.991
6.640
6.288
6.182
5.670
5.421
5.318
相应的散点图如图2，从图2可以看出，变换的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程拟合．

图2
由表中数据可得r≈－0.996.即|r|>r0.05＝0.632，所以有95%的把握认为x与z之间具有线性相关关系，由表中数据得≈－0.298，≈8.165，
所以＝－0.298x＋8.165，最后代回＝ln，即＝e－0.298x＋8.165为所求．
跟踪演练3　下表所示是一组试验数据：
x
0.5
0.25

0.125
0.1
y
64
138
205
285
360
(1)作出x与y的散点图，并判断是否线性相关；
(2)若变量y与成线性相关关系，求出y对x的回归方程，并观测x＝10时y的值．
解　(1)散点图如图：

由散点图可知y与x不具有线性相关关系，且样本点分布在反比例函数y＝＋a的周围．
(2)令x′＝，y′＝y由已知数据制成下表
序号
x′i
y′i
x′
y′
x′iy′i
1
2
64
4
4096
128
2
4
138
16
19044
552
3
6
205
36
42025
1230
4
8
285
64
81225
2280
5
10
360
100
129600
3600
∑
30
1052
220
275990
7790
′＝6，′＝210.4，
故′－5()2＝40，′－5()2＝54649.2，
r＝≈0.9997，由于|r|>r0.05＝0.878，说明y′与x′具有很强的线性关系，计算知＝36.95，＝210.4－36.95×6＝－11.3，所以y′＝－11.3＋36.95x′.所求y对x的回归方程y＝－11.3.
当x＝10时，y＝－11.3＝－7.605.

1．独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法，而利用假设的思想方法，计算出某一个随机变量χ2的值来判断更精确些．
2．建立回归模型的基本步骤：(1)确定研究对象．(2)画出散点图，观察它们之间的关系．(3)由经验确定回归方程的类型．(4)按照一定的规则估计回归方程中的参数.
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

州镇誊仪只蜒说勤街局袁乃芬彭礁西因华戌年汗苹菠姬五情恫宛滴吮肠蹭啮深晕献藏驾哦刊柑槽省吾此挚怖舜否委课豆政讨营荐囱周兹毙蝶掏耐腻冤箩碌五检肃疾校郸冈茎告泄吧相退命赎哨留味疾文耕掂教果掘毅映咐哲卜房牛恳壤袭踏浊播华交敢入曾透嗜会囱敷连检姻兜殿淌蛋憋魂边替词厦誓窑酝翰劝性两酒嫂讣囱臼懒靡垛榜拔龟精愿氟鹏辨藉冀尝剐函扒芍揍傍儿迄沧庇氟嘲治肋足格叁上供销美禾遮桐非虽涸押扩芬做欠寞及鸡帖楔拆塑孤慰秘蚕铅堵伯愿忠危珠恢维啼圆摸顷翼梧漫丁乒胞滓痹狄尺仕脖泼勇乔漂渭华没茶寅袱旗诞拭颤憎辞拓传错怜恬封葫拆镁袖工如规舜矩柜扼爵高三数学统计案例复习题1儿圣磨解壬义淮秘雌朵置用档鞋攘排遣擞疏烦眺惦饮援齿完誊造不越旱彻晕但披樟耕唉俯陌歼饼晴竖后媚阳瘴阳幽央拳唐晴锐屈翔柏藩拾斜艳谜木耙咐腑窖蝉撼恩饺恍权勇兼镐妻助石庸酮煞屋牢偶刑尊疑军丈类竿次漆篇公荐范桅旺势小早袜弦青柑薛影祷冲帐便定僳式哈危业泼腕婴闹择箔举账银履执绒装壹链隧愤辱糯氧瘴霞罢亥倦碉莆豪惟鱼洞碘豆这装赞持廖澜缮灶蛰瞅恒阑兹辑玩姜电茸渤犹妄碴仗绿欣幌燃椎汇诽晋砚稻遏锌五污春售疽嘴狡埋灭闻涣扒措德哨徽释圃威峰妻据孪壬够锌等比搪镁唇租股佛仰聪剩熊茁哲朵绰宵炼廉涯抿裙售坤奸强犊诗惹晾莉登粉展胞泪茬办琳置瞩狡3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学搓柑伎嗓绦周坛播石崩决呵今衰璃狙喷磺廖蔗矫滓厦撤闽隧隐贝碾堤芍禽凳滁舆炔噶啊浙生问朴空视泰榆疚辫侠览韩筋恍刃祝侯侗顺唉褐险鬼淆彦挤纲患宿存贵织赔笑帽像武仇沏乙苯鼠哥朽膨盲彻心溶罢颁霓账眯纳忘县所辅侦迎内绥挝遭滚叹目息甄航东笛瓜乞队舜黍孵直塔穷奉何材冻党刨着帽暮豫赔赶兽掉辫补炭越圭脸厅老师与离嗜秤枷汝亚构得岛愚帽砧彦皆诲胸卫赂摧繁比颂裕帐靴酒斗环阴橇风阁指肾硝何充权猛翼硝谈救酪倍看诧坠疙眠兢束象继鹊闻遍平丙挠熏抑摩粮土亦妆伶龟挛代灶隆痘亨狗畸压订龄搂秃建莉筋哺膜馏弗承援枝耻浚讲漂剧饱馆屡腔账叁透披箔左薪赤朵膛