高三数学集合与简易逻辑复习题1.doc

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第一章第一讲
一、选择题(8×5＝40分)
1．(2009·江西，5分)50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为(　　)
A．50　　　　　　　　　 B．45
C．40 D．34
答案：B
解析：记参加甲、乙项体育活动的学生组成的集合分别为A、B，则依题意有card(A∪B)＝50，card(A)＝30，card(B)＝25，card(A∩B)＝30＋25－50＝5，于是只参加了一项活动的学生人数是(30－5)＋(25－5)＝45，选B.
2．(2010·河南省实验中学期中试卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5}，N＝{1,3,6}，集合{2,7}等于 (　　)
A．M∩N B．(∁UM)∩(∁UN)
C．(∁UM)∪(∁UN) D．M∪N
答案：B
解析：∵M∪N＝{1,3,4,5,6}，∴∁U(M∪N)＝{2,7}，又∵∁U(M∪N)＝(∁UM)∩(∁UN)，故选B.
3．(2009·全国Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有 (　　)
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
答案：A
解析：U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∁U(A∩B)＝{3,5,8}．本题属于简单题，考查集合的交、并、补运算．
4．(2009·重庆市高三联合诊断性考试(第一次))已知全集U＝R，集合A＝{x|x>2|，B＝{x|x≤1}，则(A∪∁UB)∩(B∪∁UA)＝ (　　)
A．∅ B．{x|x<1或x≥2}
C．{x|1≤x<2} D．{x|1<x≤2}
答案：D
解析：依题意得∁UB＝{x|x>1}，∁UA＝{x|x≤2}，A∪∁UB＝{x|x>1}，B∪∁UA＝{x|x≤2}，则(A∪∁UB)∩(B∪∁UA)＝{x|1<x≤2}，选D.
5．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为 (　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
答案：D
解析：∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4，故选D.
6．设全集为R，A＝{x|x＜3或x＞5}，B＝{x|－3＜x＜3}，则 (　　)
A．∁RA∪B＝R B．A∪∁RB＝R
C．∁RA∪∁RB＝R D．A∪B＝R
答案：B
解析：由题意易得：∁RA＝{x|3≤x≤5}，
∁RB＝{x|x≤－3或x≥3}，
所以A∪∁RB＝R.
7．已知全集U＝R，集合A＝{y|－2≤y≤2}，集合B＝{y|y＝2x}，那么集合A∩(∁UB)等于
(　　)
A．{y|－2≤y≤0} B．{y|0≤y≤2}
C．{y|y≥－2} D．{y|y≤0}
答案：A
解析：由题意易得：B＝(0，＋∞)，∁RB＝(－∞，0]，所以A∩∁RB＝{y|－2≤y≤0}．
8．设P和Q是两个集合，又集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q等于 (　　)
A．{x|0<x<1{ B．{x|0<x≤1}
C．{x|1≤x≤2} D．{x|2≤x<3}
答案：B
解析：P＝{x|log2x<1}＝(0,2)，
Q＝{x||x－2|<1}＝(1,3)，则P－Q＝(0,1]．
二、填空题(4×5＝20分)
9．(2009·上海，2)已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
答案：a≤1
解析：∵A＝(－∞，1]，B＝[a，＋∞)，要使A∪B＝R，只需a≤1.
10．若集合A＝{3－2x,1,3}，B＝{1，x2}，且A∪B＝A，则实数x＝________.
答案：±或x＝－3
解析：由A∪B＝A知B⊆A，
则x2＝3－2x，或x2＝3，
解得x＝±，x＝－3，x＝1(舍去)．
11．若全集U＝R，集合M＝{x|x2>4}，N＝{x|>0}，则M∩(∁UN)等于________．
答案：{x|x<－2或x≥3}
解析：M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|－1<x<3}， ∁UN＝{x|x≥3或x≤－1}，故M∩(∁UN)＝{x|x<－2或x≥3}．
12．(2009·北京崇文)对于集合N＝{1,2,3，…，n}的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数．例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9－6＋4－2＋1＝6，集合{5}的交替和为5.当集合N的n＝2时，集合N＝{1,2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1,2}，则它的“交替和”的总和S2＝1＋2＋(2－1)＝4，则当n＝3时，S3＝________；根据S1、S2、S3，猜想集合N＝{1,2,3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn＝________.
答案：12　n2n－1
解析：集合N＝{1,2,3}的所有非空子集为{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，则它的“交替和”的总和S3＝1＋2＋3＋(2－1)＋(3－1)＋(3－2)＋(3－2＋1)＝1＋2＋3＋1＋2＋1＋2＝12.S1＝1，S2＝4，S3＝12，猜想出Sn＝n2n－1.
三、解答题(4×10＝40分)
13．已知：集合A＝{2,4，a3－2a2－a＋7}，B＝{－4，a＋3，a2－2a＋2，a3＋a2＋3a＋7}，若A∩B＝{2,5}，求实数a的值，并求A∪B.
解析：∵A∩B＝{2,5}，∴5∈A，A＝{2,4,5}，
由已知可得a3－2a2－a＋7＝5，
∴a3－2a2－a＋2＝0，
∴(a2－1)(a－2)＝0，∴a＝2或a＝±1.
①当a＝2时，B＝{－4,5,2,25}，A∩B＝{2,5}，与题设相符；
②当a＝1时，B＝{－4,4,1,12}，A∩B＝{4}，与题设矛盾；
③当a＝－1时，B＝{－4,2,5,4}，A∩B＝{2,4,5}，与题设矛盾．
综合①②③知：a＝2，
A∪B＝{2,4,5}∪{－4,5,2,25}＝{－4,2,4,5,25}.
14．已知集合A＝{x|mx2－2x＋3＝0，m∈R}．
(1)若A是空集，求m的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求m的值；
(3)若A中含有两个元素，求m的取值范围．
解析：集合A是方程mx2－2x＋3＝0在实数范围内的解集．
(1)∵A是空集，∴方程mx2－2x＋3＝0无解．
∴△＝4－12m＜0，即m＞.
(2)∵A中只有一个元素，
∴方程mx2－2x＋3＝0只有一解．
若m＝0，方程为－2x＋3＝0，只有一个解x＝；
若m≠0，则△＝0，即4－12m＝0，m＝.
∴m＝0或m＝.
(3)∵A中含有两个元素，∴方程mx2－2x＋3＝0有两解，满足，即，∴m<且m≠0.
15．(2009·北京海淀区期中练习)已知全集U＝R，集合A＝{x|log2(3－x)≤2}，集合B＝{x|≥1}．
(1)求A、B；
(2)求(∁UA)∩B.
解析：(1)由已知得：log2(3－x)≤log24，∴，
解得－1≤x<3，∴A＝{x|－1≤x<3}．
由≥1，得(x＋2)(x－3)≤0，且x＋2≠0，解得－2<x≤3.
∴B＝{x|－2<x≤3}．
(2)由(1)可得∁UA＝{x|x<－1或x≥3}．
故(∁UA)∩B＝{x|－2<x<－1或x＝3}．
16．已知集合A＝{x|x2－6x＋8＜0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}．
(1)若A⊆B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围；
(3)若A∩B＝{x|3＜x＜4}，求a的值或取值范围．
解析：∵A＝{x|x2－6x＋8＜0}，
∴A＝{x|2＜x＜4}．
(1)当a＝0时，B＝∅，不合题意．
当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}，
应满足⇒≤a≤2，
当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a}，
应满足⇒a∈∅.
∴当A⊆B时，≤a≤2.
(2)要满足A∩B＝∅，
当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}，∴a≥4或3a≤2，
∴0＜a≤或a≥4；
当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a}，a≤2或a≥，
∴a＜0时成立，当a＝0时，B＝∅，A∩B＝∅也成立．
综上所述，a≤或a≥4时，A∩B＝∅.
(3)要满足A∩B＝{x|3＜x＜4}，显然a＞0且a＝3时成立，
∵此时B＝{x|3＜x＜9}，而A∩B＝{x|3＜x＜4}，
故所求a的值为3.
反思归纳：(1)本题为集合在一定约束条件下求参数的问题，涉及集合的运算，其转化途径常通过两个方面：一是分析、简化每个集合；二是利用两集合元素的性质．
(2)本题体现了分类讨论的思想，分类的关键点在于比较出a与3a的大小，进而将集合B表示出来．
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