高三数学集合与简易逻辑复习题2.doc

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第一章第二讲
一、选择题(8×5＝40分)
1．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么 (　　)
A．命题p不一定是假命题
B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题
D．命题p与q的真假相同
答案：B
解析：由“非p”是真命题，∴p是假命题，而“p或q”是真命题，故q一定是真命题．
2．(2009·重庆，2)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 (　　)
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
答案：B
解析：结论与条件互换位置，选B.
3．给定命题：若a2＋b2＝0，则a、b全为零，下面说法中正确的是 (　　)
A．逆命题：若a、b全不为零，则a2＋b2≠0
B．否命题：若a2＋b2≠0，则a、b全为零
C．逆否命题：若a、b不全为零，则a2＋b2≠0
D．以上都不对
答案：C
解析：“a、b全为零”的否定应是“a、b不全为零”，而不是“a、b全不为零”；“逆否命题”是原命题的“既逆又否”的命题．它与原命题同真假．
4．(2009·天津，3)命题“存在x0∈R”，2≤0的否定是 (　　)
A．不存在x0∈R,2＞0
B．存在x0∈R,2≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0
D．对任意的x∈R,2x＞0
答案：D
解析：特称命题的否定是全称命题，故选D.
5．(2009·广东茂名一模)设a∈R，则a＞1是＜1的 (　　)
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：由a＞1可知道＜1，但由＜1可解得a＞1或a＜0，所以a＞1是＜1的充分但不必要条件．
6．(课本P43,13题改编)已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：
①s是q的充要条件；
②p是q的充分条件而不是必要条件；
③r是q的必要条件而不是充分条件；
④┑q是┑s的必要条件而不是充分条件；
⑤r是s的充分条件而不是必要条件．
则正确命题的序号是 (　　)
A．①④⑤　　　　　　　 B．①②④
C．②③⑤ D．②④⑤
命题思路：考查充要条件的判断方法．
答案：B
解析：把已知化为符号表示为p⇒r⇐q⇐s⇐rp.
可化为：rp⇒r⇔s⇔q.∴s是q的充要条件，p是q的充分条件而不是必要条件，s是p的必要非充分条件．∴┑q是┑s的必要非充分条件．故选B.
7．(2010·河南省焦作市期中考试题)已知命题p：|x－1|>m的解集是R，命题q：f(x)＝在区间(0，＋∞)上为减函数，若命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则实数m的取值范围是 (　　)
A．(－∞，0) B．[0,2)
C．(0,2) D．(－∞，2)
答案：B
解析：若“p或q”为真，“p且q”为假，则p真q假或者p假q真，若命题p为真则m<0，若p为假则m≥0，若命题q为真，则m<2，若命题q为假则m≥2，因此0≤m<2，故选B.
8．(2009·宁夏，湖南，5)有四个关于三角函数的命题：
p1：存在x∈R，sin2＋cos2＝
p2：存在x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny
p3：对于任意的x∈[0，π]，＝sinx
p4：sinx＝cosy⇒x＋y＝
其中的假命题是 (　　)
A．p1，p4 B．p2，p4
C．p1，p3 D．p2，p3
答案：A
解析：sin2＋cos2＝1恒成立，p1错；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sinx－siny，p2对；∵＝sin2x，当x∈[0，π]时，sinx≥0，∴＝sinx，p3对；当x＝π，y＝时，sinx＝cosy成立，但x＋y≠，p4错．
二、填空题(4×5＝20分)
9．给出下列三个命题：
①5≥5　②存在x∈R，使2x＋1＝3　③对任意x∈R，x2＋1<0其中为真命题的是________．
答案：①②
解析：5≥5等价于“5>5或5＝5”是真命题，∴①正确，对于②显然x＝1时等式成立，是真命题，对于③，∵x∈R，∴x2≥0，∴x2＋1≥1，故x2＋1<0是假命题．
10．已知下列四个命题：
①a是正数；②b是负数；③a＋b是负数；
④ab是非正数．选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题____________________________________．
答案：若①③则②(或若①②则④或若①③则④)
解析：逆否命题为真命题，即原命题为真．
(1)a是正数且a＋b是负数，则一定有b是负数，故若①③则②；
(2)若a是正数，b是负数，则ab是负数，因此ab是非正数成立，故若①②则④；
(3)若a是正数，a＋b是负数，则b是负数，则ab是负数，因此ab是非正数成立，故若①③则④.
11．命题p：若x2＜2，则－＜x＜.
则p的否命题是__________________________．
命题“非p”是__________________________．
答案：若x2≥2，则x≤－或x≥
若x2＜2，则x≤－或x≥
12．设A、B为两个命题，若B是A的必要不充分条件，则A是B的________条件．
答案：必要不充分
解析：A⇒B，∴B⇒A，则A是B的必要不充分条件．
三、解答题(4×10＝40分)
13．判断下列命题的真假，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，同时也判断这些命题的真假．
(1)若ab≤0，则a≤0或b≤0；(a≠0)
(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac＜0，则该二次函数图象与x轴有公共点．
解析：(1)该命题为真．
逆命题：若a≤0或b≤0，则ab≤0.为假．
否命题：若ab＞0，则a＞0，且b＞0.为假．
逆否命题：若a＞0且b＞0，则ab＞0.为真．
(2)该命题为假．
逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2－4ac＜0.为假．
否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，则该二次函数图象与x轴没有公共点．为假．
逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有公共点．则b2－4ac≥0.为假．
14．P：函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；Q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．如果P与Q有且只有一个正确，求a的取值范围．
答案：[，1)∪(，＋∞)
解析：当0<a<1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a>1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不单调递减．
曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同两点等价于(2a－3)2－4>0，
即a<或a>.
情况(1)：P正确，但Q不正确，
因此a∈(0,1)∩[，]，
即a∈[，1)．
情况(2)：P不正确，但Q正确，
因此a∈(1，＋∞)∩[(－∞，)∪(，＋∞)]，
即a∈(，＋∞)．
综上所述，a的取值范围是[，1)∪(，＋∞)．
15．已知x，y∈R.求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
证明：(充分性)
若xy≥0，则x，y至少有一个为0或同号．
∴|x＋y|＝|x|＋|y|一定成立．
(必要性)
若|x＋y|＝|x|＋|y|，
则(x＋y)2＝(|x|＋|y|)2，
x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2，
∴xy＝|xy|，∴xy≥0.
综上可知，命题得证．
16．(1)是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x2－x－2＞0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；
(2)是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x2－x－2＞0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围．
解析：(1)当x＞2或x＜－1时，x2－x－2＞0.
由4x＋p＜0得x＜－，故－≤－1时．
“x＜－”⇒“x＜－1”⇒“x2－x－2＞0”．
∴p≥4时，“4x＋p＜0”是“x2－x－2＞0”的充分条件．
(2)不存在实数p使“4x＋p＜0”是“x2－x－2＞0”的必要条件．
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