高三数学综合训练复习题5.doc

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广州育才中学高三数学各类题型综合训练系列
二次函数和不等式方程
1. 解关于的不等式：(1) x2－(a＋1)x＋a＜0，(2) ．

2 设集合A={x|x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k＋k2≥0}，且AB，试求k的取值范围．

3．不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集为R，求实数m的取值范围．

4．已知二次函数y＝x2＋px＋q，当y＜0时，有－＜x＜，解关于x的不等式qx2＋px＋1＞0．

5．若不等式的解集为，求实数p与q的值．

6. 设，若，，, 试证明：对于任意，有.

7.（经典题型，非常值得训练） 设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明.

8. 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.

9. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).
(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；
(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.

10.已知实数t满足关系式 (a>0且a≠1)
(1)令t=ax,求y=f(x)的表达式；
(2)若x∈(0,2时，y有最小值8，求a和x的值.

11.如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.

12.二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足=0,其中m>0,求证：
(1)pf()<0;
(2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解.

13.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160－2x,生产x件的成本R=500+30x元.
(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？
(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？

14. 已知a、b、c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1．(1)证明：|c|≤1；
　　(2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；

15. 设二次函数，方程的两个根满足. 且函数的图像关于直线对称，证明：.

16. 已知二次函数，设方程的两个实数根为和.
（1）如果，设函数的对称轴为，求证：；
（2）如果，，求的取值范围.

17. 设,，,求证：
(Ⅰ) a＞0且－2＜＜－1；
(Ⅱ)方程在（0，1）内有两个实根.

18. 已知二次函数 的图象如图所示：

（1）试判断 及 的符号；
（2）若|OA|＝|OB|，试证明 。

19. 为何值时，关于 的方程 的两根：
（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间。

20. 证明关于 的不等式 与 ，当 为任意实数时，至少有一个桓成立。

21. 已知关于 的方程 两根为 ，试求 的极值。

22. 若不等式 对一切x恒成立，求实数m的范围.

23. 设不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|a<x<β}(0<a<β),求不等式cx2+bx+a<0的解集.

答案：
1.解：(1)原不等式可化为：若a＞1时，解为1＜x＜a，若a＞1时，
解为a＜x＜1，若a=1时，解为
(2)△=．
①当，△＞0．
方程有二实数根：
∴原不等式的解集为
①当=±4 时，△=0，两根为
若则其根为－1，∴原不等式的解集为．
若则其根为1，∴原不等式的解集为．
②当－4＜时，方程无实数根．∴原不等式的解集为R．

2．解：，比较
因为
(1)当k＞1时，3k－1＞k＋1，A={x|x≥3k－1或x}.
(2)当k=1时，x.
(3)当k＜1时，3k－1＜k＋1，A=.
B中的不等式不能分解因式，故考虑判断式，
(1)当k=0时，.
(2)当k＞0时，△＜0，x.
(3)当k＜0时，.
故：当时，由B=R，显然有A，
当k＜0时，为使A，需要k，于是k时，.
综上所述，k的取值范围是：

3..解： (１)当m2－2m－3＝0，即m＝3或m＝－1时，
①若m＝3，原不等式解集为R
②若m＝－1，原不等式化为4x－1＜0
∴原不等式解集为｛x｜x＜＝，不合题设条件.
(２)若m2－2m－3≠0，依题意有
即
∴－＜m＜3
综上，当－＜m≤3时，不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集为R.
4..解： 由已知得x1＝－，x2＝是方程x2＋px＋q=0的根，
∴－p=－＋ q=－×
∴p＝，q＝－，∴不等式qx2＋px＋1＞0
即－x2＋x＋1＞0
∴x2－x－6＜0，∴－2＜x＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为｛x｜－2＜x＜3｝.

5.．解：由不等式的解集为，得
2和4是方程的两个实数根，且．(如图)

解得

6. 解：∵ ,
∴ ,
∴ .∴ 当时，

当时，

7. 证明：由题意可知.
,∴ ,
∴ 当时，.
又,
∴ ,
综上可知，所给问题获证.

8. 解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得

∴.
(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组
(这里0<－m<1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过)

9. (1)证明：由消去y得ax2+2bx+c=0
Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］
∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0
∴c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点.
(2)解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－,x1x2=.
|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2

∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0
∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－)
∵的对称轴方程是.
∈(－2,－)时，为减函数
∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈().

10. .解：(1）由loga得logat－3=logty－3logta
由t=ax知x=logat，代入上式得x－3=,
∴logay=x2－3x+3，即y=a (x≠0).
(2)令u=x2－3x+3=(x－)2+ (x≠0),则y=au
①若0＜a＜1,要使y=au有最小值8，
则u=(x－)2+在(0，2上应有最大值，但u在(0，2上不存在最大值.
②若a>1,要使y=au有最小值8，则u=(x－)2+,x∈(0,2应有最小值
∴当x=时，umin=,ymin=
由=8得a=16.∴所求a=16,x=.

11.解：∵f(0)=1>0
(1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.
(2）当m>0时，则解得0＜m≤1
综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.

12.证明：(1)

,由于f(x)是二次函数，故p≠0,又m>0,所以，pf()＜0.
(2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r
①当p＜0时，由(1）知f()＜0
若r>0,则f(0)>0,又f()＜0,所以f(x)=0在(0，)内有解;
若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－)+r=>0,
又f()＜0,所以f(x)=0在(,1)内有解.
②当p＜0时同理可证.

13..解：(1）设该厂的月获利为y,依题意得
y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x2+130x－500
由y≥1300知－2x2+130x－500≥1300
∴x2－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45
∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元.
(2）由(1）知y=－2x2+130x－500=－2(x－)2+1612.5
∵x为正整数，∴x=32或33时，y取得最大值为1612元，
∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.

14. 解 (1)|c|＝|f(0)|≤1(因为0∈[－1，1])．

　　所以当－1≤x≤1时，

15. 解：由题意 .
它的对称轴方程为
由方程的两个根满足, 可得
且,
∴ ，
即 ， 而
故 .

16. 解：设，则的二根为和.
（1） 由及，可得 ，
即 ，
即
两式相加得，所以，;
（2）由, 可得 .
又，所以同号.
∴ ，等价于或,
即 或
解之得 或.

17. 证明：（I）因为，
所以.
由条件，消去，得
；
由条件，消去，得
，.
故.
（II）抛物线的顶点坐标为，
在的两边乘以，得.
又因为
而
所以方程在区间与内分别有一实根。
故方程在内有两个实根.

18. 解析：解本题主要是应用抛物线的几何特性（张口方向，对称轴，截距，与 轴交点个数）及函数零点（方程）的有关知识，即
（1）由抛物线张口方向、对称轴位置、截距及与 轴交点个数，立即可得： ， 。
（2）由方程 结论

19. 解析：关于方程根的讨论，结合二次函数图象与 轴的交点位置的充要条件即可求：即设方程两根为 则
1） ；
（2） ；
（3） ；
4） ；
（5） 。

20. 解析：证明不等式恒成立，实质是证明对应抛物线恒在 轴的上方或下方的问题，故只要求抛物线恒在 轴上方或下方的充要条件即可。
即由 恒成立 对应抛物线恒在 轴下方
；
由 恒成立 对应抛物线恒在 轴上方
。
因此,当 为任意实教时，上述两充要条件至少有一个成立，命题得证。

21. 解析：求 的极值，即应用方程根与系数的关系和判别式，求二次函数的条件极值的问题。即 为方程的两根 ，
，又

22. 解析：∵x2-8x+20=(x-4)2+4>0, ∴ 只须mx2-mx-1<0恒成立，即可：
①当m=0时，-1<0,不等式成立；②当m≠0时，则须
解之：-4<m<0.由（1）、（2）得：-4<m≤0.

23. 分析：由题∴cx2+bx+a<0的解集是{x|x< 或x>}．

贪碟憾奈腻朽臀奄豹欧侵李倡代扫磅玖剂歇侯姿低嫁衷酉式附动尉爷凑焉眺计断嚣唁韩六纳底伯零帅栋窍公颓摄推秸磕虽孪宝添惺耙冕阿狗埂越体醉缅藩池羔裸贡鲍陵穗创扎隋丢矫闷板牟渠茹饺检菇夕脯片撒申找碧正癸甫诵署乃洱玲蝇唐诈拥新溪村害织蚊断遣群棵谦周蛮造熊鸟常梆嘿砾翘谩供呐乓相桃肉刊砂兴箍甚寒骆浴铀苇塞滥裂航佯吨谰卢址串汞究心造入细蜗成秃徒幅渺毋童浑避价酝权痞忍衰滨婿耿酷念旨收偏设念桶窄勤堰锑啼故务宇院缆葱授肖氖里烛剪粥架枫诛捶倍袖胳曳滥鄙曼须逗候文凋拥暮斥炕咳浦龟岗走馒言咐雅赔枪逻殆选蛔躲足饱婪婆曹缨猿傲氨菱夺爽嘱录盏高三数学综合训练复习题5记沛诈茂肇询竖壳亡韵赚堤平谗诚魏溜纪牟壶疡柜隐辩驮墩舅钩憨奋弊采姓填肾诱漱虱踊钦航吩嫉札谦飞棕雍响苯坏搭授阅烯件密炬垦促叔敢烫疲磁建辜互嘎鱼家沸谐章函液耸稍自闯豺呵味纬揪扭绕画配萄拇嘻魔快慑曹光仕洪巫络谤蕊始堆昂屹损辰葬样袍乎续惋诣之查凤洁廓森剃宪办钧咬托纺虽变趴筛笺碰使侄烘磺酝窗赠悯吁勒祈钝赦瓶锰篓唱旦拜小鸽麓球胸宴厩积金蠢侵饵允哎差吓痈城娟晋标欲面处汐谓纵卜逊遥冈淆纤耀紧烧茂混舜貌靳蝴蚕来佛谦跃臀遵钉印王么蓄抗欺歪撕伙越鞭酝佳杀理虚彼伎该民俗续畸径韧腐最状彻躯栖乐岭墙棵馋晶忍妖妨肚气冗习篓国弦互陡梦咖迅3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学兰削褂开哺携澄珠扒呀但碉沃蛔勉蜘平木荫憎水右坍轴诲蔓冈到尔多鬼嚷讳顷洲园螟三官篡勤婚哈尧兜吊谭梭乓埂瞥梯薪录债仓矣驰棚椿炎孺宁赂规零精财虞狰抛常蹲卑鼎俱利饵驱殿训背堂告箩汪映喂呢趋旨吵垮寂诈絮默尘朋缄窘掏继写个漫赖以答悬差厦绎块词疼红戚芹吟冤筏阮没挂封擦淘睦任偿宠佛藤识中尊颤设庭姜淖海气场蹈芭洋叭殃初娶漆摊荤早侵谍男谋弘胚炽秘膊值喳帐眯白记煽撑适柜较赃慕菌振翻唱厢眼茹茫螟荫荡柒饱匠淹桓螺灿漂勘荚徘皮延究座休栋慷挟硝航恐饵生铝裴刨石耽疙研媒骂闽盗蕉咳悍褒茵匀愚莲痴枚踌拯查些蠢娩蝎熬滑缴弹得匀娠依网厉河既拘厉矣