高三数学锥曲线方程复习题2.doc

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第八章 第二讲

时间：60分钟　满分：100分

一、选择题(8×5＝40分)
1．(2010·宁夏模拟)双曲线－＝1的焦距为 (　　)
A．3　　　B．4　　　 C．3　　　D．4
答案：D
解析：由已知有c2＝a2＋b2＝12，所以c＝2，故双曲线的焦距为4.故选D.
2．(2009·福建，4)若双曲线－＝1(a＞0)的离心率为2，则a等于 (　　)
A．2 B. C. D．1
答案：D
解析：∵－＝1(a＞0)，∴b2＝3，
∴c2＝a2＋b2，∴＝＝1＋＝4，∴a2＝1.故选D.
3．(2009·安徽，6)下列双曲线中离心率为的是 (　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
答案：B
解析：由已知e2＝＝＝得＝，即a2＝2b2，观察选项，故选B.
4．(2009·宁夏、海南4)双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为 (　　)
A．2 B．2 C. D．1
答案：A
解析：双曲线－＝1的焦点为(4,0)、(－4,0)．渐近线方程为y＝±x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等．d＝＝2.
5．如果双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是
(　　)
A. B. C．2 D．2
答案：A
命题意图：考查双曲线的基本定义．
解析：依题意知P在右支上，准线l：x＝，
右焦点F：(，0)，离心率e＝.
设P到l的距离为d，由第二定义可知，
＝＝，
∴d＝.
故P到y轴的距离为＋＝，故选A.
6．(2009·湖北，5)已知双曲线－＝1的准线经过椭圆＋＝1(b＞0)的焦点，则b＝ (　　)
A．3 B. C. D.
答案：C
解析：已知双曲线的准线方程为
x＝±＝±＝±1，
∴椭圆的焦点坐标为(±1,0)，即c＝1.
∴b2＝4－1＝3，∴b＝.故选C.
7．(2009·山东临沂一模)已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是 (　　)
A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1
答案：A
解析：∵·＝0，∴⊥.
∵|||－|||＝2a，
∴||2＋||2＝40.
∴||·||＝20－2a2＝2，∴a2＝9，
b2＝1，∴所求双曲线的方程为－y2＝1.
8．(2010·辽宁省东北育才模拟)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率是 (　　)
A. B. C．2 D.
答案：D
解析：由已知得b＝×2c＝c，∴b2＝c2－a2＝c2，∴a2＝c2，∴＝，∴e＝，故选D.
二、填空题(4×5＝20分)
9．双曲线x2－＝1的焦点坐标为________；若曲线x2－my2＝1有一条准线方程为x＝2，则实数m为________．
答案：(±2,0)　m＝－
解析：∵x2－＝1，
∴a＝1，b＝，c＝2，∴焦点坐标为(±2,0)．
若曲线x2－my2＝1为双曲线，则准线方程x＝＜2，故不符．则曲线为椭圆，m＜0，a2＝1，b2＝－，c2＝1＋，x＝＝2，∴m＝－.
10．(2009·浙江宁波一模)已知双曲线的右焦点为(5,0)，一条渐近线方程为2x－y＝0，则此双曲线的标准方程是________．
答案：－＝1
解析：设双曲线的标准方程为－＝1，
c＝5，y＝±x，＝2，又c2＝a2＋b2，
∴a2＝5，b2＝20，∴所求双曲线的标准方程是－＝1.
11．已知圆C过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．
答案：
解析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4，故圆心坐标为(4，±)，易求它到中心的距离为.
12．(2009·北京宣武)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值是______________．
答案：
解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由定义得：
m－n＝2a，
由已知m＝4n，解得
在△PF1F2中，由余弦定理得
(2c)2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2
4c2＝()2＋()2－2···cos∠F1PF2
整理得：e2＝－cos∠F1PF2，
当cos∠F1PF2＝－1时，e2最大为，∴e最大为.
三、解答题(4×10＝40分)
13．(2009·成都检测)由双曲线－＝1上的一点P与左、右两焦点F1、F2构成△PF1F2，求△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点坐标．
解析：由双曲线方程知a＝3，b＝2，c＝.
如右图，根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得
|PF1|－|PF2|＝2a.
由于|NF1|－|NF2|＝|PF1|－|PF2|＝2a .①
|NF1|＋|NF2|＝2c. ②
由①②得|NF1|＝＝a＋c.
∴|ON|＝|NF1|－|OF1|＝a＋c－c＝a＝3.
故切点N的坐标为(3,0)．
根据对称性，当P在双曲线左支上时，切点N的坐标为(－3,0)．
14．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)求ΔF1MF2的面积．
解析：(1)解：∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：方法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，
∴·＝0.
方法二：∵＝(－3－2，－m)，
＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2.
∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
(3)解：ΔF1MF2的底|F1F2|＝4，
ΔF1MF2的高h＝|m|＝，∴SΔF1MF2＝6.
15．直线l：y＝kx＋1与双曲线C: 2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
解析：(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理得
(k2－2)x2＋2kx＋2＝0 ①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
故，
解得k的取值范围为－2＜k＜－.
(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则由①式得， ②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB得
(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0.
即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.
整理得：
(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0 ③
把②式及c＝代入③式化简得5k2＋2k－9＝0.
解得k＝－或k＝∉(－2，－)(舍去)．
可知k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．
16．(2009·上海，21)已知双曲线C：－y2＝1，设过点A(－3，0)的直线l的方向向量e＝(1，k)．
(1)当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；
(2)证明：当k＞时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.
解析：(1)双曲线C的渐近线m：±y＝0，即x±y＝0，
∴直线l的方程x±y＋3＝0.
∴直线l与m的距离d＝＝.
(2)证法一：设过原点且平行于l的直线b：kx－y＝0，
则直线l与b的距离d＝，
当k＞时，d＞.
又双曲线C的渐近线为x±y＝0，
∴双曲线C的右支在直线b的右下方．
∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于.故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.
证法二：假设双曲线C右支上存在点Q(x0，y0)到直线l的距离为，
则
由(1)得y0＝kx0＋3k±·，
设t＝3k±·，
当k＞时，t＝3k＋·＞0，
t＝3k－·＝×＞0.
将y0＝kx0＋t代入(2)得(1－2k2)x－4ktx0－2(t2＋1)＝0，
∵k＞，t＞0，∴1－2k2＜0，－4kt＜0，－2(t2＋1)＜0，
∴方程()不存在正根，即假设不成立，故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.

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