5.4一元一次方程的应用.ppt

古希腊数学家丢番图古希腊数学家丢番图(约公元约公元250年左年左右右)，被人们称为代数学之父，被人们称为代数学之父.对于他对于他的生平事迹的生平事迹,人们知道得很少人们知道得很少,但在一但在一本本希腊诗文选希腊诗文选(公元公元500年前后的年前后的遗物遗物)中，收录了他的墓志铭中，收录了他的墓志铭.“坟中安葬着丢番图坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶多么令人惊讶,它忠实地记录了所经历的道路它忠实地记录了所经历的道路.上帝给予的童年占六分之一上帝给予的童年占六分之一,又过十二分之一，两颊长胡又过十二分之一，两颊长胡,再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛.五年之后天赐贵子五年之后天赐贵子,可怜迟到的宁馨儿可怜迟到的宁馨儿,享年仅享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓及其父之半，便进入冰冷的墓.悲伤只有用数论的研究去弥补悲伤只有用数论的研究去弥补,又过四年，他又过四年，他也走完了人生的旅途也走完了人生的旅途.”亲爱的同学们亲爱的同学们,你能把这位数学家死亡时的年你能把这位数学家死亡时的年龄、人生中发生重要事件时的年龄都一一推算出龄、人生中发生重要事件时的年龄都一一推算出来吗？来吗？5.4一元一次方程的应用一元一次方程的应用(1)2010年广州亚运会上，我国获得奖牌年广州亚运会上，我国获得奖牌416枚，其中银牌枚，其中银牌119枚，金牌数是铜枚，金牌数是铜数的数的2倍还多倍还多3枚枚.请你算一算，其中金请你算一算，其中金牌有多少枚？牌有多少枚？(1)能直接列出算式求能直接列出算式求2010年亚运会我国获得的年亚运会我国获得的金牌数吗？金牌数吗？(2)如果用列方程的方法来解，设哪个未知数为如果用列方程的方法来解，设哪个未知数为x?(3)根据怎样的相等关系来列方程？根据怎样的相等关系来列方程？方程的解是多少？方程的解是多少？例1 某文艺团体为某文艺团体为“希望工程希望工程”募捐义演，全价募捐义演，全价票为每张票为每张18元，学生享受半价元，学生享受半价.某场演出共售出某场演出共售出966张票，收入张票，收入15480元，问这场演出共售出学生元，问这场演出共售出学生票多少张？票多少张？分析：题中涉及的分析：题中涉及的数量数量有：有：人数、票价、总价人数、票价、总价。题中的题中的相等关系相等关系有：有：人数人数票价票价=总票价总票价全价票的总票价全价票的总票价+学生票的总票价学生票的总票价=15480全价票张数全价票张数+学生票张数学生票张数=966运用方程解决实际问题的一般过程：运用方程解决实际问题的一般过程：1审题审题：分析题意，找出题中的数量极其关系；：分析题意，找出题中的数量极其关系；2设元设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）；）；3列方程列方程：根据相等关系列出方程；：根据相等关系列出方程；4解方程解方程：求出未知数的值；：求出未知数的值；5检验检验：检查求得的值是否正确和符合实际情：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案。形，并写出答案。练习练习1 1.若小明每秒跑若小明每秒跑4米，那么他米，那么他5秒秒能跑能跑_米米.2 2.小明用小明用4 4分钟绕分钟绕学校操场跑了两圈学校操场跑了两圈(每每圈圈400米米)，那么他的速度为，那么他的速度为_米米/分分.3 3.已知小明家距离火车站已知小明家距离火车站15001500米，他以米，他以4 4米米/秒的速度骑车到达车站需要秒的速度骑车到达车站需要_分钟分钟.20200614时间时间=路程路程速度速度例2 A、B两地相距两地相距60千米，甲、乙两人同时从千米，甲、乙两人同时从A、B两地骑自行车出发，相向而行两地骑自行车出发，相向而行.甲每小时比甲每小时比乙多行乙多行2千米，经过千米，经过2小时相遇小时相遇.问甲、乙两的速问甲、乙两的速度分别是多少？度分别是多少？(1)本题涉及哪三个基本数量？本题涉及哪三个基本数量？它们之间有什么样的关系？它们之间有什么样的关系？审题审题设元设元(2)选择一个适当未知数用字母表示选择一个适当未知数用字母表示.列方程列方程(3)根据相等关系列出方程根据相等关系列出方程.解方程解方程(4)求出未知数的值求出未知数的值.检验检验(5)检查求得的值是否正确和符合检查求得的值是否正确和符合 实际情形，并写出答案实际情形，并写出答案.例例3、甲、乙两人分别从甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。出发后经行驶。出发后经3时两人相遇。已知在相遇时乙比时两人相遇。已知在相遇时乙比甲多行了甲多行了90千米，相遇后经千米，相遇后经1时乙到达地。问甲、时乙到达地。问甲、乙行驶的速度分别是多少？乙行驶的速度分别是多少？分分析：析：题中涉及到的数量有：题中涉及到的数量有：速度、路程、时间速度、路程、时间。相等关系有：相等关系有：速度速度时间时间=路程路程相遇时甲行使的路程相遇时甲行使的路程+90=相遇时乙行使的路程相遇时乙行使的路程相遇后乙行使的路程相遇后乙行使的路程=相遇前甲行使的路程相遇前甲行使的路程AB甲甲乙乙3小时小时3小时小时1小时小时 例例3、甲、乙两人分别从甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，甲骑自行两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。出发后经车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。出发后经3时两人相遇。已知在相遇时乙比甲多行了时两人相遇。已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇千米，相遇后经后经1时乙到达地。问甲、乙行驶的速度分别是多少？时乙到达地。问甲、乙行驶的速度分别是多少？解：设甲行使的速度为解：设甲行使的速度为x千米时，千米时，则相遇时甲行使的路程为则相遇时甲行使的路程为3x千米，千米，相遇时乙行使的路程为（相遇时乙行使的路程为（3x+90）千米，）千米，乙行使的速度为乙行使的速度为 千米时，千米时，33x+90根据题意，得根据题意，得33x+90=3x解这个方程，得解这个方程，得 x=15检验：检验：x=15适合方程，且符合题意。适合方程，且符合题意。将将x=15代入代入3x+903=45答：甲行使的速度为答：甲行使的速度为15千米时，千米时，乙行使的速度为乙行使的速度为45千米时千米时例例3、甲、乙两人分别从甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，甲骑自行两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。出发后经车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。出发后经3时两人相遇。已知在相遇时乙比甲多行了时两人相遇。已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇千米，相遇后经后经1时乙到达地。问甲、乙行驶的速度分别是多少？时乙到达地。问甲、乙行驶的速度分别是多少？解：设乙行使的速度为解：设乙行使的速度为y千米时，千米时，则相遇时乙行使的路程为则相遇时乙行使的路程为3y千米，千米，则相遇后乙行使的路程为则相遇后乙行使的路程为y千米，千米，3y=y+90解这个方程，得解这个方程，得 y=45检验：检验：y=45适合方程，且符合题意。适合方程，且符合题意。根据题意，得根据题意，得将将y=45代入代入,y3=15答：甲行使的速度为答：甲行使的速度为15千米时，千米时，乙行使的速度为乙行使的速度为45千米时千米时例例3、甲、乙两人分别从甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，甲骑自行两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。出发后经车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。出发后经3时两人相遇。已知在相遇时乙比甲多行了时两人相遇。已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇千米，相遇后经后经1时乙到达地。问甲、乙行驶的速度分别是多少？时乙到达地。问甲、乙行驶的速度分别是多少？解：设相遇时解：设相遇时甲行使的路程为甲行使的路程为z千米千米,则相遇时乙行使的路程为则相遇时乙行使的路程为z+90千米。千米。相遇后乙行使相遇后乙行使1小时的路程小时的路程z千米，千米，因此乙的速度为因此乙的速度为z千米小时，千米小时，故故相遇时乙行使的路程为相遇时乙行使的路程为3z千米千米根据题意，得根据题意，得Z+90=3z解这个方程，得解这个方程，得 z=45检验：检验：z=45适合方程，且符合题意。适合方程，且符合题意。小明所跑的路程小明所跑的路程小彬所跑的路程小彬所跑的路程小小明明小小彬彬+=100小明所跑的路程小明所跑的路程小彬所跑的路程小彬所跑的路程100米米相遇练习练习:小彬和小明每天早晨坚持跑步，小小彬和小明每天早晨坚持跑步，小明每秒跑明每秒跑6 6米，小彬每秒跑米，小彬每秒跑4 4米。米。(1)(1)如果他们站在百米跑道的两端同时如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？相向起跑，那么几秒后两人相遇？(2)(2)如果小明站在百米跑道的起点处，如果小明站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面小彬站在他前面1010米处，两人同时同向米处，两人同时同向起跑，几秒后小明能追上小彬？起跑，几秒后小明能追上小彬？请编一个实际应用题，要求所列的方程为15x+45x=180.我知道了我知道了 我感到困难是我感到困难是 (2)解决实际问题的一般过程：解决实际问题的一般过程：(1)解应用题要学会借助线段图解应用题要学会借助线段图来分析数量关系来分析数量关系;审审设设列列解解验验作业：作业：1.完成完成P126 作业题作业题；2.完成完成作业本作业本（）（）.（一）；（一）；1、三个连续奇数的和为、三个连续奇数的和为57，求这三个数。，求这三个数。解解:设三个连续奇数中最小的一个为设三个连续奇数中最小的一个为x,则其余两个为（则其余两个为（x+2）、）、(x+4)根据题意，得根据题意，得X+(x+2)+(x+4)=57解这个方程，得解这个方程，得 x=17检验：检验：x=17适合方程，且符合题意。适合方程，且符合题意。将将x=17代入代入x+2=19、x+4=21答：这三个连续奇数分别为答：这三个连续奇数分别为17、19、21.2、甲、乙两人从相距为、甲、乙两人从相距为180千米的千米的A、B两地出两地出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向行驶，已知甲的速度为每小时相向行驶，已知甲的速度为每小时15千米，乙千米，乙的速度为每小时的速度为每小时45千米。如果甲先行千米。如果甲先行1时后乙才时后乙才出发，问甲再行多少时间相遇？出发，问甲再行多少时间相遇？分析：分析：AB180千米千米1时时甲行使的路程甲行使的路程乙行使的路程乙行使的路程？114小时小时行程问题中常用的分析方行程问题中常用的分析方法是法是画线段图画线段图分析法分析法2、甲、乙两人从相距为、甲、乙两人从相距为180千米的千米的A、B两地出两地出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线同向行驶，已知甲的速度为每小时同向行驶，已知甲的速度为每小时15千米，乙千米，乙的速度为每小时的速度为每小时45千米。如果甲先行千米。如果甲先行1时后乙才时后乙才出发，（出发，（1）问经过多少时间乙追上甲？）问经过多少时间乙追上甲？AB180千米千米1小时小时甲行使的路程甲行使的路程乙行使的路程乙行使的路程？X=6.5小时小时（2）问：甲出发几小时后，乙追上甲？）问：甲出发几小时后，乙追上甲？2、甲、乙两人从相距为、甲、乙两人从相距为180千米的千米的A、B两地两地同时同时出发，出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向行驶，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向行驶，已知甲的速度为每小时已知甲的速度为每小时15千米，乙的速度为每小时千米，乙的速度为每小时45千米。问：经过几小时两人相距千米。问：经过几小时两人相距30千米？千米？AB180千米千米30千米千米AB30千米千米2.5小时小时3.5小时小时练习：练习：A、B两地相距两地相距120千米，甲骑自行车以每小时千米，甲骑自行车以每小时行行10千米从千米从A地出发去地出发去B地，乙骑摩托车以每小时地，乙骑摩托车以每小时50千米从千米从B地出发去地出发去A地，甲、乙地，甲、乙同时同时出发。问：出发。问：（1）经过多少时间甲、乙两人相距）经过多少时间甲、乙两人相距60千米？千米？（2）若甲先出发）若甲先出发1小时，则甲出发后几小时，两小时，则甲出发后几小时，两人相距人相距50千米？千米？解：（解：（1）设经过）设经过x小时甲、乙两人相距小时甲、乙两人相距60千米千米10 x+50 x=120-60X=110 x+50 x=120+60X=3(2)设则甲出发后设则甲出发后y小时，两人相距小时，两人相距50千米千米，10y+50(y-1)=120-50Y=210y+50(y-1)=120+50Y=226如设则乙出发后如设则乙出发后z小时，两人相距小时，两人相距50千米，又千米，又如何列方程？如何列方程？3.“钱塘江尽到桐庐钱塘江尽到桐庐,水碧山青画不如水碧山青画不如”.自古以来连接桐庐到杭自古以来连接桐庐到杭州的富春江就是重要的黄金水道州的富春江就是重要的黄金水道.“两岸青山两岸青山,山为水铸情山为水铸情,满目满目葱翠葱翠;一江春水一江春水,水因山溢美水因山溢美,澄如湖海碧如天澄如湖海碧如天.”一旅游船从桐一旅游船从桐庐东门码头出发顺流而下驶往杭州滨江码头用去庐东门码头出发顺流而下驶往杭州滨江码头用去5小时小时,从杭州从杭州滨江码头逆流而上到桐庐东门码头用去滨江码头逆流而上到桐庐东门码头用去7小时小时,水流速度为水流速度为3千米千米 小时小时.求桐庐东门到杭州的滨江码头的距离求桐庐东门到杭州的滨江码头的距离.分析：分析：题中涉及到的数量有：题中涉及到的数量有：速度、路程、时间速度、路程、时间。相等关系有：相等关系有：速度速度时间时间=路程路程旅游船的速度旅游船的速度+水流速度水流速度=顺流速度顺流速度旅游船的速度旅游船的速度-水流速度水流速度=逆流速度逆流速度顺流行驶的路程顺流行驶的路程=逆流行驶的路程逆流行驶的路程解解:设旅游船的速度为设旅游船的速度为x千米千米 小时小时5(x+3)=7(x-3)X=185(x+3)=105间接设元法间接设元法4.一队学生去校外进行军事野营训练。他们以一队学生去校外进行军事野营训练。他们以5千米千米小时的速度行进，走了小时的速度行进，走了18分钟的时候，学校要将一分钟的时候，学校要将一个紧急通知传给队长。通讯员从学校出发，骑自行车个紧急通知传给队长。通讯员从学校出发，骑自行车以以14千米小时的速度按原路追上去。通讯员用多少千米小时的速度按原路追上去。通讯员用多少时间可以追上学生队伍？时间可以追上学生队伍？解解;设通讯员用设通讯员用x小时可以追上学生队伍小时可以追上学生队伍，根据题意，得根据题意，得60185+5x=14x解这个方程，得解这个方程，得 x=16检验：检验：x=16适合方程，且符合题意。适合方程，且符合题意。答：通讯员用答：通讯员用16小时可以追上学生队伍？小时可以追上学生队伍？5.姐妹俩同时从家里出发到少年宫，路程全长姐妹俩同时从家里出发到少年宫，路程全长770米，米，妹妹步行速度每分钟妹妹步行速度每分钟60米，姐姐骑自行车以每分钟米，姐姐骑自行车以每分钟160米的速度到达少年宫后立即返回，途中与妹妹相米的速度到达少年宫后立即返回，途中与妹妹相遇。这时妹妹走了几分钟？遇。这时妹妹走了几分钟？解：设妹妹走了解：设妹妹走了x分钟，根据题意，得分钟，根据题意，得60 x+(160-770)=770或或60 x+160 x=2770解这个方程的，得解这个方程的，得 x=7检验：检验：x=7适合方程，且符合题意。适合方程，且符合题意。答：妹妹走了答：妹妹走了7分钟分钟.家家少年宫少年宫练习：练习：A、B两地相距两地相距120千米，甲骑自行车，乙骑千米，甲骑自行车，乙骑摩托车都从摩托车都从A地出发，同向而行，甲比乙早出发地出发，同向而行，甲比乙早出发2小时，甲每小时行小时，甲每小时行15千米，乙每小时行千米，乙每小时行60千米千米.(1)甲出发后多少小时，乙追上甲？甲出发后多少小时，乙追上甲？(2)乙到达乙到达B地后立即返回，途中在何处遇上甲？地后立即返回，途中在何处遇上甲？解：解：(1)设甲出发后设甲出发后x小时，乙追上甲小时，乙追上甲,15x=60(x-2)X=83若设乙出发后若设乙出发后x小时，乙追上甲小时，乙追上甲,又怎样做？又怎样做？（2）设甲出发）设甲出发y小时，乙在返回途中遇上甲小时，乙在返回途中遇上甲60（y-2）+15y=2120Y=24515y=15245=72千米千米设乙出发设乙出发y小时，在返回途中遇上甲，又怎样做？小时，在返回途中遇上甲，又怎样做？6.火车用火车用26秒的时间通过一条秒的时间通过一条256米的隧道米的隧道 这列火车这列火车又以又以16秒的时间通过一条秒的时间通过一条96米米的桥梁，求这列米米的桥梁，求这列火车的速度及长度（假设火车的速度不变）。火车的速度及长度（假设火车的速度不变）。（即从车头进入入口至车尾离开出口即从车头进入入口至车尾离开出口），），解：设火车的长度为解：设火车的长度为x米，根据题意，得米，根据题意，得256+x261696+x=解这个方程的，得解这个方程的，得x=160检验：检验：x=160适合方程，且符合题意。适合方程，且符合题意。1696+x=16答答;这列火车的速度这列火车的速度16米米秒，长度为秒，长度为160米。米。方法一根方法一根据速度相据速度相等列方程等列方程6.火车用火车用26秒的时间通过一条秒的时间通过一条256米的隧道米的隧道 这列火车这列火车又以又以16秒的时间通过一条秒的时间通过一条96米米的桥梁，求这列米米的桥梁，求这列火车的速度及长度（假设火车的速度不变）。火车的速度及长度（假设火车的速度不变）。（即从车头进入入口至车尾离开出口即从车头进入入口至车尾离开出口），），解：设火车的速度为解：设火车的速度为y米秒，根据题意，得米秒，根据题意，得26y-256=16y-96解这个方程的，得解这个方程的，得y=16检验：检验：x=16适合方程，且符合题意。适合方程，且符合题意。26y-256=160答答;这列火车的速度这列火车的速度16米米秒，长度为秒，长度为160米。米。根据火车长度相等列方程根据火车长度相等列方程7.一条环形跑道长一条环形跑道长400米，甲练习骑自行车，米，甲练习骑自行车，平均每分钟骑平均每分钟骑550米，乙练习赛跑，平均每分米，乙练习赛跑，平均每分钟跑钟跑250米。（米。（1）若两人同时从同地同向出）若两人同时从同地同向出发，则经过多少分钟甲第一次追上乙发，则经过多少分钟甲第一次追上乙.（2）若两人同时从同地相向出发，则经过多少分若两人同时从同地相向出发，则经过多少分钟甲、乙第一次相遇。钟甲、乙第一次相遇。.解解;(1)设经过设经过x分钟甲第一次追上乙，分钟甲第一次追上乙，550 x-250 x=400解解：（：（2）设）设经过经过y分钟甲、乙第一次相遇。分钟甲、乙第一次相遇。.550y+250y=400第第100次追上或相遇时又怎样呢？次追上或相遇时又怎样呢？练习：甲，乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形练习：甲，乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长跑道一圈长400米，乙每秒跑米，乙每秒跑6米，甲每秒跑米，甲每秒跑8米，米，如果甲在乙前面如果甲在乙前面8米处，米处，同时同向出发同时同向出发。（1）经过多少秒两人首次相遇？（）经过多少秒两人首次相遇？（2）经过多少秒两）经过多少秒两人首次相距人首次相距100米，第二次相距米，第二次相距10米？米？解：解：(1)设经过设经过x秒两人首次相遇秒两人首次相遇,8x-(6x-8)=400X=196秒秒100+6y=8y+8(2)设经过设经过y秒两人首次相距秒两人首次相距100米米Y=468z-(6z-8)=400-10z=191(2)设经过设经过z秒两人第二次相距秒两人第二次相距10米米第三次相距第三次相距10米，又怎样做？米，又怎样做？8z-(6z-8)=400+10