15.4.2--角的平分线的性质和判定.ppt

第第15章章 轴对轴对称称图图形与等腰三角形形与等腰三角形第第4节节 角的平分线角的平分线第第2课时课时 角平分线的性质和判定角平分线的性质和判定课堂讲解课堂讲解课时流程课时流程12u角平分线的性质角平分线的性质u角平分线的判定角平分线的判定逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结课后课后作业作业1知识点角平分线的性质知知1 1导导思考：思考：如图，如图，OP是是AOB的平分线，的平分线，P是是OP上的任一点，过上的任一点，过点点P分别作分别作PCOA,PD OB,点点C,D是垂足是垂足.你能猜想你能猜想PC，PD长度间有什么关系吗？长度间有什么关系吗？证明你的猜想证明你的猜想.知知1 1讲讲知识点下面我们给出上面下面我们给出上面“思考思考”中猜想结论的证明中猜想结论的证明.证明：证明：OP平分平分AOB，（已知），（已知）AOP=BOP.(角平分线定义）角平分线定义）又又 PCOA，PD OB，（已知），（已知）PCO=PDO=90.(垂直的定义）垂直的定义）知知1 1讲讲知识点在在PCO 和和 PDO中，中，PCO PDO.(AAS)PC=PD.（来自教材）（来自教材）知知1 1讲讲知识点1.角的平分线的性质：角平分线上的点到角两边的角的平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距距离离相等相等要点精析：要点精析：(1)点一定要在角平分线上；点一定要在角平分线上；(2)点到角两点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度；边的距离是指点到角两边垂线段的长度；(3)角角平分线的性质可用来证明两条线段相等平分线的性质可用来证明两条线段相等知知1 1讲讲知识点2书写格式：如图，书写格式：如图，OP平分平分AOB，PDOA于点于点D，PEOB于点于点E,PDPE.3易错提示：易找错距离，误以为角平分线上的点到易错提示：易找错距离，误以为角平分线上的点到角的两边的距离就是角平分线上角的两边的距离就是角平分线上的点与角两边上任意点间的距离的点与角两边上任意点间的距离知知1 1讲讲知识点例例1 如图，在如图，在ABC中，中，C90，AD平分平分CAB，DEAB于于E，F在在AC上，上，BEFC，求证：求证：BDDF.导引：导引：要证要证BDDF，可考虑证两线段所在的，可考虑证两线段所在的BDE和和FDC全等，两个三角形中已有一角和一边相等，全等，两个三角形中已有一角和一边相等，只要再证只要再证DECD即可，这可由即可，这可由AD平分平分CAB及垂直条件证得及垂直条件证得知知1 1讲讲知识点证明：证明：AD平分平分CAB，DEAB于于E，C90，DEDC，DEBC90.在在BDE和和FDC中，中，BDEFDC,BDDF.（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）由由角角平平分分线线的的性性质质不不用用证证全全等等可可以以直直接接得得线段相等，这是证线段相等的一个简捷方法线段相等，这是证线段相等的一个简捷方法 总 结知知1 1讲讲例例2 如图，在如图，在ABC中，中，C90，BCAC，AD是是BAC的平分线，的平分线，DEAB于点于点E.若若AB10 cm，求求DBE的周长的周长知知1 1讲讲导引：导引：要求要求DBE的周长，实质是求的周长，实质是求BEDEBD的长，的长，而题中已知而题中已知 AB10 cm，因此需证，因此需证DEBDAE，又，又AD是角平分线及垂直条件知是角平分线及垂直条件知DECD，所以，所以需证需证BCAE，由，由BCAC，因此只需证，因此只需证ACAE，它可由，它可由RtACD RtAED得出得出知知1 1讲讲解：解：AD平分平分CAB，且，且C90，DEAB，DCDE.又又CDEA90，ADAD，RtACD RtAED，ACAE.知知1 1讲讲又又ACBC，ACAEBC.DEEBBDDCEBBDBCEBAEEBAB.又又AB10 cm，DBE的周长为的周长为DBBEDE10 cm.（来自（来自点拨点拨）知知1 1练练1(中考中考茂名茂名)如图，如图，OC是是AOB的平分线，的平分线，P是是OC上上一点一点，PDOA于点于点D，PD6，则点，则点P到边到边OB的距的距离为离为()A6 B5 C4 D3A（来自（来自典中点典中点）知知1 1练练如图，在如图，在ABC中，中，C90，ACBC，AD平分平分CAB交交BC于于D，DEAB于于E，若，若AB6 cm，则，则DBE的周长是的周长是()A6 cm B7 cm C8 cm D9 cmA2（来自（来自典中点典中点）知知1 1练练(中考中考湖州湖州)如图，已知在如图，已知在ABC中，中，CD是是AB边上的边上的高线，高线，BE平分平分ABC，交，交CD于点于点E，BC5，DE2，则，则BCE的面积等于的面积等于()A10 B7 C5 D43（来自（来自典中点典中点）C2知识点角平分线的判定知知2 2讲讲思考：思考：写出上面角平分线性质定理的逆命题写出上面角平分线性质定理的逆命题.这这个个逆逆命命题题是是真真命命题题吗吗？如如果果是是真真命命题题请请写写出出已已知知、求证，并给出证明求证，并给出证明.知知2 2讲讲角平分线的判定：角平分线的判定：1判定方法：角的内部到角两边判定方法：角的内部到角两边距离距离相等相等的点在角的平分线上的点在角的平分线上(1)书写格式：如图，书写格式：如图，PDOA，PEOB，PDPE,点点P在在 AOB的平分线上的平分线上(或或AOCBOC)(2)作用：运用角平分线的判定，可以证明两个角相作用：运用角平分线的判定，可以证明两个角相 等或一条射线是角的平分线等或一条射线是角的平分线知知2 2讲讲2角平分线的判定定理与性质定理的关系：角平分线的判定定理与性质定理的关系：(1)如图，如图，都与距离有关：都与距离有关：即条件即条件PDOA，PEOB都具都具备；备；(2)点在角平分线上点在角平分线上 点点 到角两边的距离相等到角两边的距离相等3.拓展：三角形三个内角的平分线交于一点且这点到拓展：三角形三个内角的平分线交于一点且这点到三边的距离相等三边的距离相等性质性质判定判定知知2 2讲讲例例3 如图，如图，BFAC于点于点F，CEAB于点于点E，BF和和CE相相交于点交于点D，BECF.求证：求证：AD平分平分BAC.导引：导引：要证要证AD平分平分BAC，已知条件中有两个垂直，即有，已知条件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即可证明结论，证这两条距离相等即可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明垂线段相等，可通过证明BDE和和CDF全等来完成全等来完成知知2 2讲讲证明：证明：BFAC于点于点F，CEAB于点于点E，DEBDFC90.在在BDE和和CDF中，中，BDECDF(AAS)，DEDF.又又DFAC于点于点F，DEAB于点于点E，AD平分平分BAC.（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲总 结判判定定角角平平分分线线的的两两步步：(1)找找出出与与角角的的两两边边都都垂直的垂线段；垂直的垂线段；(2)证明两条垂线段相等证明两条垂线段相等 （来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲例例4 如图，在如图，在ABC中，中，ABC100，ACB20，点点E在在ACB的平分线上，的平分线上，D是是AC上一点，若上一点，若CBD20，求，求ADE的度数的度数知知2 2讲讲解：解：如图，作如图，作ENCA于点于点N，EMBD于点于点M，EPCB交交CB的延长线于点的延长线于点P，因为因为ABDABCCBD1002080，PBA18010080，所以所以PBAABD.知知2 2讲讲因为因为EMBD于点于点M，EPCB于点于点P，所以，所以EPEM.又又点点E在在ACB的平分线上，的平分线上，ENCA，EPCB，ENEP，ENEM，DE平分平分ADB.ADBACBCBD40，ADE ADB 4020.（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲总 结（来自（来自点拨点拨）本本题题根根据据角角的的和和差差关关系系计计算算有有关关角角的的度度数数，利利用用角角平平分分线线的的性性质质定定理理证证明明EPEM和和ENEP，得得到到ENEM，由由角角平平分分线线的的判判定定判判断断DE平分平分ADB，便可求出，便可求出ADE的度数的度数知知2 2讲讲例例5 已知：如图，已知：如图，ABC中，中，B的平分线的平分线BE与与C的的平分线平分线CF相交于点相交于点P.求证：求证：AP平分平分BAC.知知2 2讲讲证明：证明：过点过点P分别作分别作PMBC，PN AC，PQ AB,垂足分别为点垂足分别为点M,N,Q.BE是是B的平分线，点的平分线，点P在在BE上，（已知）上，（已知）PQ=PM.(角平分线上的点到角两边的距离相等）角平分线上的点到角两边的距离相等）同理，同理，PN=PM.PN=PQ.(等量代换）等量代换）AP平分平分BAC.(角的内部到角两边距离相等的角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）点在角的平分线上）（来自教材）（来自教材）知知2 2讲讲总 结这这个个例例子子说说明明：三三角角形形三三条条内内角角平平分分线线相相交交于一点，这点到三角形三边的距离相等于一点，这点到三角形三边的距离相等.（来自教材）（来自教材）知知2 2讲讲例例6 如图，在如图，在ABC中，请证明：中，请证明：(1)若若AD为为BAC的平分线，则的平分线，则SABD SACDAB AC；(2)设设D为为BC上的一点，连接上的一点，连接AD，若，若SABD SACDAB AC，则，则AD为为BAC的平分线的平分线知知2 2讲讲证明：证明：如图，过如图，过D作作DEAB于于E，DFAC于于F.(1)AD平分平分BAC且且DEAB，DFAC，DEDF.SABD SACD AB AC.(2)SABD SACDAB AC，AB AC，DEDF.又又DEAB，DFAC，AD为为BAC的平分线的平分线（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲总 结运运用用角角平平分分线线解解与与面面积积有有关关的的问问题题的的方方法法：首首先先运运用用三三角角形形的的面面积积公公式式将将面面积积关关系系转转化化为为线线段段关关系系，结结合合角角平平分分线线的的性性质质进进一一步步转转化化为为三三角角形形边边长长之之间间的的关关系系，从从而而把把两两者者联联系系起起来来，结结合合已知条件可解决问题已知条件可解决问题（来自（来自点拨点拨）知知2 2练练在正方形网格中，在正方形网格中，AOB的位置如图所示，的位置如图所示，AOB两边距离相等的点应是两边距离相等的点应是()A点点M B点点N C点点P D点点Q1（来自（来自典中点典中点）A知知2 2练练如图，如图，ADOB，BCOA，垂足分别为，垂足分别为D，C，AD与与BC相交于点相交于点P，若，若PAPB，则，则1与与2的大小关的大小关系是系是()A12B12C12D无法确定无法确定2A（来自（来自典中点典中点）知知2 2练练如图，在如图，在ABC中，分别与中，分别与ABC，ACB相邻的相邻的外角的平分线相交于点外角的平分线相交于点F，连接，连接AF，则下列结论正确，则下列结论正确的是的是()AAF平分平分BC BAF平分平分BACCAFBC D以上结论都正确以上结论都正确3B（来自（来自典中点典中点）知知2 2练练如图，如图，ABC的三边的三边AB，BC，CA的长分别为的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点，其三条角平分线交于点O，则，则SABO SBCO SCAO_.44:5:6（来自（来自典中点典中点）知知2 2练练到到ABC的三条边距离相等的点是的三条边距离相等的点是ABC的的()A三条中线的交点三条中线的交点 B三条角平分线的交点三条角平分线的交点C三条高的交点三条高的交点 D以上均不对以上均不对5B（来自（来自典中点典中点）到三角形三边距离相等的点的个数是到三角形三边距离相等的点的个数是()A1 B2 C3 D46D1.运用角的平分线的性质解决与面积有关的问题的方法：运用角的平分线的性质解决与面积有关的问题的方法：首先运用三角形的面积公式将面积关系转化为线段关首先运用三角形的面积公式将面积关系转化为线段关 系，再结合角的平分线的性质进一步转化为三角形边系，再结合角的平分线的性质进一步转化为三角形边长之间的关系，从而把两者建立起关系，结合已知条长之间的关系，从而把两者建立起关系，结合已知条件可解决问题件可解决问题2.过角平分线上一点作垂线是解决有关角平分线问题最过角平分线上一点作垂线是解决有关角平分线问题最 常用的作辅助线的方法常用的作辅助线的方法 角的平分线的性质与判定定理的关系：角的平分线的性质与判定定理的关系：(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备都与距离有关，即垂直的条件都应具备(2)点在角的平分线上点在角的平分线上 点到这个角两边的距离点到这个角两边的距离相等相等(3)性质反映的是只要是角的平分线上的点，到角两边性质反映的是只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就一定相等；判定定理反映的是只要是角的的距离就一定相等；判定定理反映的是只要是角的内部到角两边距离相等的点都在角的平分线上内部到角两边距离相等的点都在角的平分线上判定定理判定定理性质性质请请完成完成点点拨训练拨训练P97-98对应习题对应习题。