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解三角形常见题型
正弦定理与余弦定理就是解斜三角形与判定三角形类型得重要工具,其主要作用就是将已知条件中得边、角关系转化为角得关系或边得关系。
题型之一:求解斜三角形中得基本元素
指已知两边一角(或二角一边或三边),求其它三个元素问题,进而求出三角形得三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题.
1. 在中,AB＝３,AC=２,BＣ=,则 ( 　)
Ａ、 　 B.　 Ｃ.　 　 Ｄ、【答案】D
２.(1)在中,已知,,cm,解三角形;
(2)在中,已知cｍ,ｃm,,解三角形(角度精确到,边长精确到1cｍ)、
3、(1)在ABC中,已知,,,求b及A;
(２)在ABC中,已知,,,解三角形
4(２00５年全国高考江苏卷) 中,,BC=3,则得周长为( 　)
A。 B.
C.　 D。
分析:由正弦定理,求出ｂ及c,或整体求出b＋c,则周长为３＋b+ｃ而得到结果.选(D).
5　(2005年全国高考湖北卷) 在ΔＡBＣ中,已知,AＣ边上得中线BD=,求sｉnA得值。
分析:本题关键就是利用余弦定理,求出AC及BC,再由正弦定理,即得sinA、
解:设E为BC得中点,连接DＥ,则ＤＥ／／AB,且,设BE＝x
在ΔBＤE中利用余弦定理可得:,
,解得,(舍去)
故BC=2,从而,即又,
故,
在△ＡＢC中,已知a＝２,b=,C＝１5°,求A。
答案:
题型之二:判断三角形得形状:给出三角形中得三角关系式,判断此三角形得形状.
1.　(２005年北京春季高考题)在中,已知,那么一定就是( 　)
Ａ。直角三角形　 　Ｂ、等腰三角形 C。等腰直角三角形 D.正三角形
解法１:由=sｉn(Ａ＋B)＝sｉｎＡｃosＢ＋coｓAsiｎB,
即sｉnＡcoｓB－ｃｏｓＡsｉnB=0,得ｓin(A－B)＝０,得A=B。故选(B).
解法２:由题意,得ｃosB=,再由余弦定理,得cｏsB=.
∴ ＝,即a2=b2,得a＝ｂ,故选(B).
评注:判断三角形形状,通常用两种典型方法:⑴统一化为角,再判断(如解法1),⑵统一化为边,再判断(如解法2)。
２。在△ABＣ中,若2cｏsＢsinA＝sｉnC,则△ABC得形状一定就是( )
Ａ、等腰直角三角形ﻩﻩＢ.直角三角形 　 C。等腰三角形ﻩ ﻩD。等边三角形
答案:C
解析:2sinＡｃosB=sｉn(A+Ｂ)+sin(A—B)又∵2sinAｃosB=sinC,
∴ｓｉn(A－B)＝0,∴Ａ＝Ｂ
3、在△ＡBC中,若,试判断△ＡBC得形状。
答案:故△ＡＢC为等腰三角形或直角三角形、
4、 在△ABC中,,判断△ＡＢC得形状、
答案:△ABC为等腰三角形或直角三角形、
题型之三:解决与面积有关问题
主要就是利用正、余弦定理,并结合三角形得面积公式来解题。
１、 (20０５年全国高考上海卷) 在中,若,,,
则得面积S＝______＿__
2.在中,,,,求得值与得面积、
答案:
3、 (07浙江理18)已知得周长为,且.
(I)求边得长;(IＩ)若得面积为,求角得度数.
解:(I)由题意及正弦定理,得,,
两式相减,得、
(IＩ)由得面积,得,
由余弦定理,得,
所以。
题型之四:三角形中求值问题
1。 (２005年全国高考天津卷) 在中,所对得边长分别为,
设满足条件与,求与得值.
分析:本题给出一些条件式得求值问题,关键还就是运用正、余弦定理。
解:由余弦定理,因此,
在△ＡBC中,∠C=１80°—∠A－∠Ｂ=120°—∠B.
ﻩ由已知条件,应用正弦定理
解得从而
2、得三个内角为,求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值。
解析:由A+B+C=π,得=－,所以有cos =sｉｎ。
ｃｏsA+２ｃos =ｃosA+2sin =1-２sｉn2　+　２sｉｎ=—2(sin － )２+ ;
当sin = ,即A=时, cosＡ＋２ｃｏs取得最大值为。
3、在锐角中,角所对得边分别为,已知,(1)求得值;(2)若,,求得值、
解析:(1)因为锐角△AＢC中,Ａ＋B+C=p,,所以cosA＝,则

(2),则bc=3、
将a=2,cosA＝,c＝代入余弦定理:中,
得解得b=。
点评:知道三角形边外得元素如中线长、面积、周长等时,灵活逆用公式求得结果即可。
4、在中,内角对边得边长分别就是,已知,.
(Ⅰ)若得面积等于,求;
(Ⅱ)若,求得面积.
本小题主要考查三角形得边角关系,三角函数公式等基础知识,考查综合应用三角函数有关知识得能力.满分12分.
解:(Ⅰ)由余弦定理及已知条件得,,
又因为得面积等于,所以,得.ﻩ4分
联立方程组解得,。ﻩ6分
(Ⅱ)由题意得,
即, ８分
当时,,,,,
当时,得,由正弦定理得,
联立方程组解得,.
所以得面积.ﻩ12分
题型之五:正余弦定理解三角形得实际应用
利用正余弦定理解斜三角形,在实际应用中有着广泛得应用,如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形得知识,例析如下:
图1
A
B
C
D
(一.)测量问题
１。 如图1所示,为了测河得宽度,在一岸边选定A、B两点,望对岸标记物Ｃ,测得∠CAB=30°,∠CBA＝75°,AB＝120cm,求河得宽度。
分析:求河得宽度,就就是求△ABC在AB边上得高,而在河得一边,已测出AB长、∠CAB、∠CBＡ,这个三角形可确定、
解析:由正弦定理得,∴ＡC＝AB=１20m,又∵,解得CＤ＝60m。
点评:虽然此题计算简单,但就是意义重大,属于“不过河求河宽问题”。
(二.)遇险问题
２ 某舰艇测得灯塔在它得东15°北得方向,此舰艇以30海里/小时得速度向正东前进,3０分钟后又测得灯塔在它得东３0°北。若此灯塔周围１0海里内有暗礁,问此舰艇继续向东航行有无触礁得危险？
西
北
南
东
A
B
C
30°
15°
图2
解析:如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北得方向上;舰艇航行半小时后到达Ｂ点,测得Ｓ在东３０°北得方向上、 在△ABC中,可知AB=3０×0.5=15,∠ABS=15０°,∠ASB＝15°,由正弦定理得ＢＳ＝AB=１5,过点S作SC⊥直线ＡB,垂足为Ｃ,则ＳC=１5sin3０°=7.５。
这表明航线离灯塔得距离为7。５海里,而灯塔周围10海里内有暗礁,故继续航行有触礁得危险。
点评:有关斜三角形得实际问题,其解题得一般步骤就是:(1)准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解应用题中得有关名词与术语;(2)画出示意图,并将已知条件在图形中标出;(3)分析与所研究问题有关得一个或几个三角形,通过合理运用正弦定理与余弦定理求解、
(三、)追击问题
图3
A
B
C
北
45°
15°
３ 　 如图３,甲船在A处,乙船在A处得南偏东45°　
方向,距A有9ｎ ｍile并以2０n miｌｅ/h得速度沿南
偏西1５°方向航行,若甲船以２８n　mile/h得速度航
行,应沿什么方向,用多少h能尽快追上乙船?　
解析:设用t ｈ,甲船能追上乙船,且在C处相遇。
在△AＢC中,AC=28ｔ,BC=20ｔ,AＢ=9,
设∠ABC=α,∠BAC=β。
∴α=１80°－４5°－15°=120°、根据余弦定理,
,,(4ｔ－３)(3２t+９)=0,解得t=,t＝(舍)
∴AＣ＝28×=21 n ｍｉlｅ,BC=20×=15　n ｍｉlｅ。
根据正弦定理,得,又∵α＝120°,∴β为锐角,β＝arcsｉn,又〈〈,∴ａrcsin<,
∴甲船沿南偏东－aｒcsin得方向用h可以追上乙船。
点评:航海问题常涉及到解三角形得知识,本题中得　∠ABC、AB边已知,另两边未知,但她们都就是航行得距离,由于两船得航行速度已知,所以,这两边均与时间t有关。这样根据余弦定理,可列出关于t得一元二次方程,解出t得值。
4.如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里得B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船得南偏西30,相距10海里C处得乙船,试问乙船应朝北偏东多少度得方向沿直线前往B处救援(角度精确到1)？
解析:连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10CＯS１20°=７00。
北
20
10
A
B
•
•C
于就是,BC＝10。　∵,∴siｎ∠ACB=,
　∵∠AＣB〈90°,∴∠ACB=41°。
∴乙船应朝北偏东７1°方向沿直线前往Ｂ处救援。