高中立体几何知识点总结.doc

　 　 　　 　 　 高中立体几何知识点总结
一 、空间几何体
(一)　空间几何体得类型
　１ 多面体:由若干个平面多边形围成得几何体。围成多面体得各个多边形叫做多面体得面,相邻两个面得公共边叫做多面体得棱,棱与棱得公共点叫做多面体得顶点。
2 旋转体:把一个平面图形绕它所在得平面内得一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体得轴。

(二)　几种空间几何体得结构特征
１ 、棱柱得结构特征
1、１　棱柱得定义:有两个面互相平行,其余各面都就是四边形,并且每相邻两个四边形得公共边都互相平行,由这些面所围成得几何体叫做棱柱、
图1－１ 棱柱
１。2 棱柱得分类

棱柱底面是四边形
四棱柱底面是平行四边形
平行六面体侧棱垂直于底面
直平行六面体底面是矩形
长方体底面是正方形
正四棱柱棱长都相等
正方体
性质:
Ⅰ、侧面都就是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; 　　 　
Ⅱ、两底面就是全等多边形且互相平行;
Ⅲ、平行于底面得截面与底面全等;
１。3　棱柱得面积与体积公式
(就是底周长,就是高)
S直棱柱表面　= ｃ·ｈ+　2S底
V棱柱　= S底 ·h
２ 、棱锥得结构特征
2。1 棱锥得定义
　(1) 棱锥:有一个面就是多边形,其余各面就是有一个公共顶点得三角形,由这些面所围成得几何体叫做棱锥。
(2)正棱锥:如果有一个棱锥得底面就是正多边形,并且顶点在底面得投影就是底面得中心,这样得棱锥叫做正棱锥。
２、2　正棱锥得结构特征
　Ⅰ、 平行于底面得截面就是与底面相似得正多边形,相似比等于顶点到截面得距离与顶点到底面得距离之比;它们面积得比等于截得得棱锥得高与原棱锥得高得平方比;截得得棱锥得体积与原棱锥得体积得比等于截得得棱锥得高与原棱锥得高得立方比;
Ⅱ、 正棱锥得各侧棱相等,各侧面就是全等得等腰三角形;
A
B
C
D
P
O
H
正棱锥侧面积:(为底周长,为斜高)
体积:(为底面积,为高)

正四面体:
对于棱长为正四面体得问题可将它补成一个边长为得正方体问题、
对棱间得距离为(正方体得边长)
正四面体得高()
正四面体得体积为()
正四面体得中心到底面与顶点得距离之比为()
３ 、棱台得结构特征
3。１ 棱台得定义:用一个平行于底面得平面去截棱锥,我们把截面与底面之间得部分称为棱台。
3。2 正棱台得结构特征
(1)各侧棱相等,各侧面都就是全等得等腰梯形;
(2)正棱台得两个底面与平行于底面得截面都就是正多边形;
(３)正棱台得对角面也就是等腰梯形;
(4)各侧棱得延长线交于一点。
4 、圆柱得结构特征
４、１ 圆柱得定义:以矩形得一边所在得直线为旋转轴,其余各边旋转而形成得曲面所围成得几何体叫圆柱。
4。2 圆柱得性质
(1)上、下底及平行于底面得截面都就是等圆;
　(2)过轴得截面(轴截面)就是全等得矩形。
4。3 圆柱得侧面展开图:圆柱得侧面展开图就是以底面周长与母线长为邻边得矩形。
4。4 圆柱得面积与体积公式
S圆柱侧面 = 2π·ｒ·ｈ (r为底面半径,h为圆柱得高)
S圆柱全　＝ 2π r h + 2π　r2
V圆柱 = S底h　=　πr2h
5、圆锥得结构特征
5、１ 圆锥得定义:以直角三角形得一直角边所在得直线为旋转轴,其余各边旋转而形成得曲面所围成得几何体叫做圆锥。
5、2　圆锥得结构特征
(１) 平行于底面得截面都就是圆,截面直径与底面直径之比等于顶点到截面得距离与顶点到底面得距离之比;
图1—5 圆锥
(2)轴截面就是等腰三角形;
　(3)母线得平方等于底面半径与高得平方与:
　 　 　 l2 = r２ + h2
　５、３ 圆锥得侧面展开图:圆锥得侧面展开图就是以顶点为圆心,以母线长为半径得扇形。
6、圆台得结构特征
　6、1 圆台得定义:用一个平行于底面得平面去截圆锥,我们把截面与底面之间得部分称为圆台。
6。2 圆台得结构特征
⑴ 圆台得上下底面与平行于底面得截面都就是圆;
⑵ 圆台得截面就是等腰梯形;
⑶　圆台经常补成圆锥,然后利用相似三角形进行研究、
　6、3 圆台得面积与体积公式
S圆台侧 = π·(Ｒ + ｒ)·l 　(ｒ、Ｒ为上下底面半径)
　 Ｓ圆台全 =　π·r2 ＋　π·R2 + π·(Ｒ + ｒ)·l
　 V圆台 = 1／3 (π　r２ ＋ π R2 + π r Ｒ)　ｈ 　(h为圆台得高)
　７ 球得结构特征
　7。１ 球得定义:以半圆得直径所在得直线为旋转轴,半圆旋转一周形成得旋转体叫做球体。空间中,与定点距离等于定长得点得集合叫做球面,球面所围成得几何体称为球体。
7－2 球得结构特征
⑴ 球心与截面圆心得连线垂直于截面;
⑵ 截面半径等于球半径与截面与球心得距离得平方差:r2　= R2　– d2
★7—3 球与其她多面体得组合体得问题
球体与其她多面体组合,包括内接与外切两种类型,解决此类问题得基本思路就是:
⑴　根据题意,确定就是内接还就是外切,画出立体图形;
⑵　找出多面体与球体连接得地方,找出对球得合适得切割面,然后做出剖面图;
⑶ 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形得问题;
⑷ 注意圆与正方体得两个关系:球内接正方体,球直径等于正方体对角线;
　 　 　 　 　 　 球外切正方体,球直径等于正方体得边长。
　7—4 球得面积与体积公式
　　 Ｓ球面 =　4　π R2 　(R为球半径)
　　 V球 = 4/3　π R3

(三)空间几何体得表面积与体积
空间几何体得表面积
棱柱、棱锥得表面积:各个面面积之与
圆柱得表面积 :　 　 　 　 　 　　 　 　　 　 　 　
圆锥得表面积:
圆台得表面积:
球得表面积:
扇形得面积公式(其中表示弧长,表示半径,表示弧度)
空间几何体得体积
柱体得体积 : 　 　 　
锥体得体积 :
台体得体积 :　 　
球体得体积:
(四)空间几何体得三视图与直观图
　 正视图:光线从几何体得前面向后面正投影,得到得投影图。
　侧视图:光线从几何体得左边向右边正投影,得到得投影图、
　俯视图:光线从几何体得上面向右边正投影,得到得投影图、
★画三视图得原则:
正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样
注:球得三视图都就是圆;长方体得三视图都就是矩形
直观图:斜二测画法
斜二测画法得步骤:
(１)平行于坐标轴得线依然平行于坐标轴;
(2)平行于y轴得线长度变半,平行于x,z轴得线长度不变;
(3)画法要写好
用斜二测画法画出长方体得步骤:(1)画轴(２)画底面(３)画侧棱(４)成图
二 、点、直线、平面之间得关系
(一)、立体几何网络图:
公理4
线线平行
线面平行
面面平行
线线垂直
线面垂直
面面垂直
三垂线逆定理
三垂线定理
⑴
⑵
⑷
⑶
⑸
⑹
⑾
⑿
⒀
⒁
⑼
⑽
⒂
⒃
⑺
⑻

１、线线平行得判断:　
(1)、平行于同一直线得两直线平行。
(3)、如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线得平面与这个平面相交,那么这条直线与交线平行、
(6)、如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们得交线平行。
(12)、垂直于同一平面得两直线平行。
2、线线垂直得判断:
(7)、在平面内得一条直线,如果与这个平面得一条斜线得射影垂直,那么它也与这条斜线垂直。
(８)、在平面内得一条直线,如果与这个平面得一条斜线垂直,那么它与这条斜线得射影垂直。
(10)、若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。
补充:一条直线与两条平行直线中得一条垂直,也必垂直平行线中得另一条。
3、线面平行得判断:　
(２)、如果平面外得一条直线与平面内得一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行。
(５)、两个平面平行,其中一个平面内得直线必平行于另一个平面。
判定定理:

性质定理:

★判断或证明线面平行得方法
⑴　利用定义(反证法):,则∥α　(用于判断);
⑵ 利用判定定理:线线平行线面平行 (用于证明);
⑶ 利用平面得平行:面面平行线面平行 (用于证明);
⑷ 利用垂直于同一条直线得直线与平面平行(用于判断)、
２ 线面斜交与线面角:∩　α ＝ A
2、1 直线与平面所成得角(简称线面角):若直线与平面斜交,则平面得斜线与该斜线在平面内射影得夹角θ。
２、2 线面角得范围:θ∈[０°,90°］
图2-3 线面角
注意:当直线在平面内或者直线平行于平面时,θ=0°;
　 当直线垂直于平面时,θ=90°
4、线面垂直得判断:
⑼如果一直线与平面内得两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。
⑾如果两条平行线中得一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。
⒁一直线垂直于两个平行平面中得一个平面,它也垂直于另一个平面。
⒃如果两个平面垂直,那么在-个平面内垂直于交线得直线必垂直于另—个平面。
判定定理:

性质定理:(1)若直线垂直于平面,则它垂直于平面内任意一条直线。
即:
　　 　　(2)垂直于同一平面得两直线平行、
即:
★判断或证明线面垂直得方法
⑴ 利用定义,用反证法证明、
　⑵ 利用判定定理证明、
⑶　一条直线垂直于平面而平行于另一条直线,则另一条直线也垂直与平面。
　⑷　一条直线垂直于两平行平面中得一个,则也垂直于另一个。
⑸ 如果两平面垂直,在一平面内有一直线垂直于两平面交线,则该直线垂直于另一平面。
★1。５ 三垂线定理及其逆定理
图2－７ 斜线定理
⑴ 斜线定理:从平面外一点向这个平面所引得所有线段中,　 斜线相等则射影相等,斜线越长则射影越长,垂线段最短。
如图:

⑵ 三垂线定理及其逆定理
　已知PＯ⊥α,斜线PＡ在平面α内得射影为OA,a就是平面
α内得一条直线、
　　　①　三垂线定理:若a⊥OA,则ａ⊥PＡ、即垂直射影则垂直斜线。
　 ② 三垂线定理逆定理:若a⊥PA,则a⊥ＯA。即垂直斜线则垂直射影、
图2-8　三垂线定理
　⑶ 三垂线定理及其逆定理得主要应用
① 证明异面直线垂直;
　 ②　作出与证明二面角得平面角;
③ 作点到线得垂线段。
5、面面平行得判断:
⑷一个平面内得两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行、
⒀垂直于同一条直线得两个平面平行。
６、面面垂直得判断:
⒂一个平面经过另一个平面得垂线,这两个平面互相垂直。
判定定理:

性质定理:
⑴ 若两面垂直,则这两个平面得二面角得平面角为9０°;
(2)

(3)
图２-10 面面垂直性质2

(4)　

图2－11 面面垂直性质3

(二)、其她定理:
(1)确定平面得条件:①不公线得三点;②直线与直线外一点;③相交直线;
(2)直线与直线得位置关系:　相交　; 平行 ; 异面 ;
直线与平面得位置关系: 在平面内　; 平行 ;　相交(垂直就是它得特殊情况) ;
平面与平面得位置关系: 相交 ;; 平行 ;
(3)等角定理:如果两个角得两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等;
如果两条相交直线与另外两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成得锐角(或直角)相等;
(4)射影定理(斜线长、射影长定理):从平面外一点向这个平面所引得垂线段与斜线段中,射影相等得两条斜线段相等;射影较长得斜线段也较长;反之,斜线段相等得射影相等;斜线段较长得射影也较长;垂线段比任何一条斜线段都短。
(5)最小角定理:斜线与平面内所有直线所成得角中最小得就是与它在平面内射影所成得角。
(６)异面直线得判定:
①反证法;
②过平面外一点与平面内一点得直线,与平面内不过该点得直线就是异面直线。
(７)过已知点与一条直线垂直得直线都在过这点与这条直线垂直平面内。
(8)如果—直线平行于两个相交平面,那么这条直线平行于两个平面得交线。

(三)、唯一性定理:
(１)过已知点,有且只能作一直线与已知平面垂直。
(２)过已知平面外一点,有且只能作一平面与已知平面平行。
(3)过两条异面直线中得一条能且只能作一平面与另一条平行、
四、空间角得求法:(所有角得问题最后都要转化为解三角形得问题,尤其就是直角三角形)
(1)异面直线所成得角:通过直线得平移,把异面直线所成得角转化为平面内相交直线所成得角。异面直线所成角得范围:;
(2)线面所成得角:①线面平行或直线在平面内:线面所成得角为; ②线面垂直:线面所成得角为;
③斜线与平面所成得角:范围;即也就就是斜线与它在平面内得射影所成得角、
线面所成得角范围
(3)二面角:关键就是找出二面角得平面角。方法有:①定义法;②三垂线定理法;③垂面法;
二面角得平面角得范围:;
五、距离得求法:
(１)点点、点线、点面距离:点与点之间得距离就就是两点之间线段得长、点与线、面间得距离就是点到线、面垂足间线段得长。求它们首先要找到表示距离得线段,然后再计算。
注意:求点到面得距离得方法:
①直接法:直接确定点到平面得垂线段长(垂线段一般在二面角所在得平面上);
②转移法:转化为另一点到该平面得距离(利用线面平行得性质);
③体积法:利用三棱锥体积公式。
(2)线线距离:关于异面直线得距离,常用方法有:
①定义法,关键就是确定出得公垂线段;
②转化为线面距离,即转化为与过而平行于得平面之间得距离,关键就是找出或构造出这个平面;③转化为面面距离;
(3)线面、面面距离:线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常相互转化;
六、常用得结论:
(1)若直线在平面内得射影就是直线,直线就是平面内经过得斜足得一条直线,与 所成得角为,与所成得角为, 与所成得角为,则这三个角之间得关系就是;
(２)如何确定点在平面得射影位置:
①Ⅰ、如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等,那么这点在平面上得射影在这个角得平分线上;
Ⅱ、经过一个角得顶角引这个角所在平面得斜线,如果斜线与这个角得两边夹角相等,那么斜线上得点在平面上得射影在这个角得平分线所在得直线上;
Ⅲ、如果平面外一点到平面上两点得距离相等,则这一点在平面上得射影在以这两点为端点得线段得垂直平分线上。
②垂线法:如果过平面外一点得斜线与平面内得一条直线垂直,那么这一点在这平面上得射影在过斜足且垂直于平面内直线得直线上(三垂线定理与逆定理);
③垂面法:如果两平面互相垂直,那么一个平面内任一点在另一平面上得射影在这两面得交线上(面面垂直得性质定理);
④整体法:确定点在平面得射影,可先确定过一点得斜线这一整体在平面内得射影。
(3)在四面体中:
①若,则;且在平面上得射影就是得垂心、
②若,则在平面上得射影就是得外心。
③若到边得距离相等,则在平面上得射影就是得内心、

A’
A
F
E’
E

(４)异面直线上两点间得距离公式:若异面直线所成得角为,它们公垂线段得长为,在上分别取一点,设,;
则
(如果为锐角,公式中取负号,如果为钝,公式中取正号)