解三角形常见题型.doc

解三角形常见题型正弦定理与余弦定理就是解斜三角形与判定三角形类型得重要工具,其主要作用就是将已知条件中得边、角关系转化为角得关系或边得关系。题型之一:求解斜三角形中得基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边),求其它三个元素问题,进而求出三角形得三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题.1. 在中,AB,AC=,B=,则 ( )、 B. . 、【答案】D .(1)在中,已知,cm,解三角形;(2)在中,已知c,m,解三角形(角度精确到,边长精确到1c)、3、(1)在ABC中,已知,求b及A;()在ABC中,已知,解三角形4(00年全国高考江苏卷) 中,BC=3,则得周长为( )A。 B.C. D。分析:由正弦定理,求出及c,或整体求出bc,则周长为b+而得到结果.选(D).5(2005年全国高考湖北卷) 在B中,已知,A边上得中线BD=,求snA得值。分析:本题关键就是利用余弦定理,求出AC及BC,再由正弦定理,即得sinA、解:设E为BC得中点,连接D,则AB,且,设BEx在BE中利用余弦定理可得:,解得,(舍去)故BC=2,从而,即又,故,在C中,已知a,b=,C5,求A。答案:题型之二:判断三角形得形状:给出三角形中得三角关系式,判断此三角形得形状.1.(005年北京春季高考题)在中,已知,那么一定就是( )。直角三角形 、等腰三角形 C。等腰直角三角形 D.正三角形解法:由=sn(B)soscoAsiB,即sncoBsnB=0,得in(AB),得A=B。故选(B).解法:由题意,得osB=,再由余弦定理,得csB=. ,即a2=b2,得a,故选(B).评注:判断三角形形状,通常用两种典型方法:统一化为角,再判断(如解法1),统一化为边,再判断(如解法2)。在AB中,若2cssinAsnC,则ABC得形状一定就是( )、等腰直角三角形.直角三角形 C。等腰三角形D。等边三角形答案:C解析:2sinosB=sn(A+)+sin(AB)又2sinAosB=sinC,n(AB)0,3、在BC中,若,试判断BC得形状。答案:故C为等腰三角形或直角三角形、4、 在ABC中,判断C得形状、答案:ABC为等腰三角形或直角三角形、题型之三:解决与面积有关问题主要就是利用正、余弦定理,并结合三角形得面积公式来解题。、 (20年全国高考上海卷) 在中,若,则得面积S_2.在中,求得值与得面积、答案:3、 (07浙江理18)已知得周长为,且.(I)求边得长;(I)若得面积为,求角得度数.解:(I)由题意及正弦定理,得,两式相减,得、(I)由得面积,得,由余弦定理,得,所以。题型之四:三角形中求值问题1。 (005年全国高考天津卷) 在中,所对得边长分别为,设满足条件与,求与得值.分析:本题给出一些条件式得求值问题,关键还就是运用正、余弦定理。解:由余弦定理,因此, 在BC中,C=80A=120B.由已知条件,应用正弦定理解得从而2、得三个内角为,求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值。解析:由A+B+C=,得=,所以有cos =s。sA+os =osA+2sin =1-sn2+s=2(sin )+ ;当sin = ,即A=时, coss取得最大值为。3、在锐角中,角所对得边分别为,已知,(1)求得值;(2)若,求得值、解析:(1)因为锐角AC中,B+C=p,所以cosA,则(2),则bc=3、将a=2,cosA,c代入余弦定理:中,得解得b=。点评:知道三角形边外得元素如中线长、面积、周长等时,灵活逆用公式求得结果即可。4、在中,内角对边得边长分别就是,已知,.()若得面积等于,求;()若,求得面积.本小题主要考查三角形得边角关系,三角函数公式等基础知识,考查综合应用三角函数有关知识得能力.满分12分.解:()由余弦定理及已知条件得,又因为得面积等于,所以,得.4分联立方程组解得,。6分()由题意得,即,分当时,当时,得,由正弦定理得,联立方程组解得,.所以得面积.12分题型之五:正余弦定理解三角形得实际应用利用正余弦定理解斜三角形,在实际应用中有着广泛得应用,如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形得知识,例析如下:图1ABCD(一.)测量问题。 如图1所示,为了测河得宽度,在一岸边选定A、B两点,望对岸标记物,测得CAB=30,CBA75,AB120cm,求河得宽度。分析:求河得宽度,就就是求ABC在AB边上得高,而在河得一边,已测出AB长、CAB、CB,这个三角形可确定、解析:由正弦定理得,CAB=20m,又,解得C60m。点评:虽然此题计算简单,但就是意义重大,属于“不过河求河宽问题”。(二.)遇险问题 某舰艇测得灯塔在它得东15北得方向,此舰艇以30海里/小时得速度向正东前进,3分钟后又测得灯塔在它得东0北。若此灯塔周围0海里内有暗礁,问此舰艇继续向东航行有无触礁得危险？西北南东ABC3015图2解析:如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15北得方向上;舰艇航行半小时后到达点,测得在东北得方向上、 在ABC中,可知AB=30.5=15,ABS=15,ASB15,由正弦定理得AB=5,过点S作SC直线B,垂足为,则C=5sin3=7.。这表明航线离灯塔得距离为7。海里,而灯塔周围10海里内有暗礁,故继续航行有触礁得危险。点评:有关斜三角形得实际问题,其解题得一般步骤就是:(1)准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解应用题中得有关名词与术语;(2)画出示意图,并将已知条件在图形中标出;(3)分析与所研究问题有关得一个或几个三角形,通过合理运用正弦定理与余弦定理求解、(三、)追击问题图3ABC北4515 如图,甲船在A处,乙船在A处得南偏东45方向,距A有9 ile并以2n mi/h得速度沿南 偏西1方向航行,若甲船以nmile/h得速度航行,应沿什么方向,用多少h能尽快追上乙船?解析:设用t ,甲船能追上乙船,且在C处相遇。在AC中,AC=28,BC=20,A=9,设ABC=,BAC=。=80515=120、根据余弦定理,(4)(3t+)=0,解得t=,t(舍)A28=21 n l,BC=20=15n l。根据正弦定理,得,又120,为锐角,arcsn,又,rcsin,甲船沿南偏东acsin得方向用h可以追上乙船。点评:航海问题常涉及到解三角形得知识,本题中得ABC、AB边已知,另两边未知,但她们都就是航行得距离,由于两船得航行速度已知,所以,这两边均与时间t有关。这样根据余弦定理,可列出关于t得一元二次方程,解出t得值。4.如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里得B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船得南偏西30,相距10海里C处得乙船,试问乙船应朝北偏东多少度得方向沿直线前往B处救援(角度精确到1)？解析:连接BC,由余弦定理得BC2=202+10222010CS20=00。北2010ABC于就是,BC10。,siACB=, AB90,ACB=41。乙船应朝北偏东1方向沿直线前往处救援。