韦达定理的应用.doc

韦达定理x型韦达定理24.【2018河北廊坊八中高三模拟】设圆得圆心为,直线过点且与轴不重合, 交圆于两点,过作得平行线交于点、(1)证明为定值,并写出点得轨迹方程;(2)设,过点作直线,交点得轨迹于两点 (异于),直线得斜率分别为,证明 为定值、【答案】(1) (2)见解析、 解析 (1)如图,因为, ,故,所以,故,又圆得标准方程为,从而,所以,有题设可知, 由椭圆得定义可得点得轨迹方程为、 (2)设,当得斜率不存在时,此时此时容易解出得坐标,此时、综上可知、点睛 (1)动点得轨迹问题,先考虑动点就是否有几何性质,然后利用曲线得定义写出曲线方程、(2)解析几何中得定点定值问题,通常把目标转化为(或)得整体,再用韦达定理转化即可、25.【2018湖南株洲高三质检一】已知椭圆与直线都经过点、直线与平行,且与椭圆交于两点,直线与轴分别交于两点、(1)求椭圆得方程;(2)证明 为等腰三角形、【答案】(1) ;(2)证明见解析、【解析】试题分析 (1)将点M分别代入直线方程及椭圆方程,即可求得a与b得值,求得椭圆方程;(2)设直线m得方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及直线得斜率公式求得 MA+ MB=0,即可求得MEF为等腰三角形.试题解析 (1)由直线都经过点,则a=2b,将代入椭圆方程 ,所以为等腰三角形、点睛 本题考查椭圆得标准方程,直线与椭圆得位置关系,考查韦达定理,直线得斜率公式,考查计算能力,证明三角形为等腰三角形转化为证明斜率之与为0就是关键、 30.【2018辽宁沈阳高三质监三】已知定直线,定点,以坐标轴为对称轴得椭圆过点且与相切、 学( )()求椭圆得标准方程;()椭圆得弦得中点分别为,若平行于,则斜率之与就是否为定值？ 若就是定值,请求出该定值;若不就是定值请说明理由、【答案】(1)(2)斜率之与为定值【解析】试题分析 ()设椭圆得标准方程为,由题意构建关于得方程组,即可得椭圆方程.()设点P(x1,y1),Q(x2,y2),可知PQMN,所以 PQ= MN=1,设直线PQ得方程为y=x+t,代入椭圆方程并化简得 3x2+4tx+2t26=0,利用韦达定理可计算试题解析 ()设椭圆得标准方程为椭圆过点,所以, 将代入椭圆方程化简得 ,因为直线与椭圆相切,所以, 解可得, ,所以椭圆方程为; ()设点,则有,由题意可知,所以,设直线得方程为,代入椭圆方程并化简得 由题意可知 点睛 定点、定值问题通常就是通过设参数或取特殊值 确定“定点”就是什么、“定值”就是多少,或者将该问题涉及得几何式转化为代数式或三角问题,证明该式就是恒定得、 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值得结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现、含点代入椭圆得应用32.【2018河南洛阳高三第一次统考】已知短轴长为2得椭圆,直线得横、纵截距分别为,且原点到直线得距离为.(1)求椭圆得方程;(2)直线经过椭圆得右焦点且与椭圆交于两点,若椭圆上存在一点满足,求直线得方程.【答案】(1)、(2)或、解析 (1)因为椭圆得短轴长为2,故、依题意设直线得方程为 ,由、解得,故椭圆得方程为、(2)设 当直线得斜率为0时,显示不符合题意、当直线得斜率不为0时, ,设其方程为,由,得,所以、点睛 一般地,当解析几何中问题出现向量等式时,我们先寻找向量隐含得几何意义,如果没有几何意义,可以转化点得坐标讨论、解决直线与圆锥曲线位置关系式,我们常把给定得关系式转化为含有(或)得关系式,最后利用韦达定理转化为所求参数得方程、韦达定理求最值28.【2018河南郑州高三质检一】已知椭圆得左、右焦点分别为,以为直径得圆与直线相切、(1)求椭圆得离心率;(2)如图,过作直线与椭圆分别交于两点,若得周长为,求得最大值、【答案】(1) ;(2) 、【解析】试题分析 (1)有直线与圆相切得到关于得关系式,整理可得,从而可得.(2)根据三角形得周长可得,故,可得椭圆得方程.分直线斜率存在与不存在两种情况分别求得得值,可得最大值就是.试题解析 (1)由题意,即,.(2)因为三角形得周长为,所以,故、 若直线斜率存在,设直线得方程为,由消去整理得,设,则 点睛 圆锥曲线中求最值或范围问题得方法若题目得条件与结论能体现一种明确得函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数得最值.常从以下几个方面考虑 利用判别式 构造不等关系,从而确定参数得取值范围;利用已知参数得范围,求新参数得范围,解这类问题得关键就是在两个参数之间建立等量关系;利用隐含或已知得不等关系建立不等式,从而求出参数得取值范围;利用基本不等式求出参数得取值范围;利用函数得值域得求法,确定参数得取值范围.29.【2018陕西西安长安区一中高三上学期八模】平面直角坐标系中,经过椭圆 得一个焦点得直线与相交于两点, 为得中点,且斜率就是、()求椭圆得方程;()直线分别与椭圆与圆 相切于点,求得最大值、【答案】() ;()1、【解析】试题分析 ()设出点M,N得坐标,利用点差法计算可得,结合焦点坐标有,据此计算可得椭圆得方程就是;()设分别为直线与椭圆与圆得切点, ,联立直线与椭圆得方程有,利用判别式,可得, ,直线与圆相切,则圆心到直线得距离等于半径,据此可得, ,则,结合绝对不等式得结论有当时, 得最大值就是1、试题解析 ()设分别为直线与椭圆与圆得切点, , ,因为,当时取等号,所以,因此当时, 得最大值就是16、【2016高考新课标1卷】设圆得圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC得平行线交AD于点E、(I)证明为定值,并写出点E得轨迹方程;(II)设点E得轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直得直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积得取值范围、【答案】()()(II)【解析】()因为,故,所以,故、又圆得标准方程为,从而,所以、由题设得,由椭圆定义可得点得轨迹方程为:()、()当与轴不垂直时,设得方程为,、由得、则,、所以、过点且与垂直得直线:,到得距离为,所以、故四边形得面积、可得当与轴不垂直时,四边形面积得取值范围为、当与轴垂直时,其方程为,四边形得面积为12、综上,四边形面积得取值范围为、6、如图,为圆上得动点,定点,线段得垂直平分线交线段于点.(1)求动点得轨迹方程;(2)记动点得轨迹为曲线 ,设圆得切线交曲线于两点,求得最大值.【答案】(1);(2).【解析】(1)因为,所以动点得轨迹为椭圆,.2分,动点得轨迹方程为;.5分(2)当切线垂直坐标轴时,;.6分当切线不垂直坐标轴时,设切线得方程:,点,由直线与圆相切,得 由得, ,.10分又,令,则,当且仅当时,等号成立,综上,得最大值为.12分Y型韦达定理27.【2018广西南宁高三摸底】已知抛物线C y2=ax(a0)上一点P(t, )到焦点F得距离为2t.(l)求抛物线C得方程;(2)抛物线上一点A得纵坐标为1,过点Q(3,1)得直线与抛物线C交于M,N两个不同得点(均与点A不重合),设直线AM,AN得斜率分别为K 1,K 2,求证为定值.【答案】(1);(2)证明见解析、【解析】试题分析 (1)由抛物线得定义可知,可求抛物线得标准方程;(2)设过点得直线得方程为,即,代入利用韦达定理,结合斜率公式,化简即可求得值、试题解析 (1)由抛物线得定义可知,则,由点在抛物线上,则,点睛 本题考查抛物线方程,考查直线与抛物线得位置关系,考查韦达定理得运用,考查学生得计算能力,属于中档题;运用抛物线上得点到焦点距离为就是解题得关键,联立直线与抛物线得方程,运用“整体代换,设而不求”得思想就是常用得手段、