韦达定理的应用.doc

韦达定理
x型韦达定理
24.【2018河北廊坊八中高三模拟】设圆得圆心为,直线过点且与轴不重合, 交圆于两点,过作得平行线交于点、
(1)证明为定值,并写出点得轨迹方程;
(2)设,过点作直线,交点得轨迹于两点 (异于),直线得斜率分别为,证明 为定值、
【答案】(1) (2)见解析、

解析 (1)如图,因为, ,故,所以,故,又圆得标准方程为,从而,所以,有题设可知, 由椭圆得定义可得点得轨迹方程为、
(2)设,

当得斜率不存在时,此时此时容易解出得坐标,此时、
综上可知、

点睛 (1)动点得轨迹问题,先考虑动点就是否有几何性质,然后利用曲线得定义写出曲线方程、(2)解析几何中得定点定值问题,通常把目标转化为(或)得整体,再用韦达定理转化即可、
25.【2018湖南株洲高三质检一】已知椭圆与直线都经过点、直线与平行,且与椭圆交于两点,直线与轴分别交于两点、
(1)求椭圆得方程;(2)证明 为等腰三角形、
【答案】(1) ;(2)证明见解析、
【解析】试题分析 (1)将点M分别代入直线方程及椭圆方程,即可求得a与b得值,求得椭圆方程;
(2)设直线m得方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及直线得斜率公式求得 MA+ MB=0,即可求得△MEF为等腰三角形.
试题解析
(1)由直线都经过点,则a=2b,将代入椭圆方程 ,
,
,
,
,
所以为等腰三角形、
点睛 本题考查椭圆得标准方程,直线与椭圆得位置关系,考查韦达定理,直线得斜率公式,考查计算能力,证明三角形为等腰三角形转化为证明斜率之与为0就是关键、
30.【2018辽宁沈阳高三质监三】已知定直线,定点,以坐标轴为对称轴得椭圆过点且与相切、 学( )
(Ⅰ)求椭圆得标准方程;
(Ⅱ)椭圆得弦得中点分别为,若平行于,则斜率之与就是否为定值？ 若就是定值,请求出该定值;若不就是定值请说明理由、

【答案】(1)(2)斜率之与为定值
【解析】试题分析 (Ⅰ)设椭圆得标准方程为,由题意构建关于得方程组,即可得椭圆方程.
(Ⅱ)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),可知PQ∥MN,所以 PQ= MN=1,
设直线PQ得方程为y=x+t,代入椭圆方程并化简得 3x2+4tx+2t2﹣6=0,利用韦达定理可计算
试题解析
(Ⅰ)设椭圆得标准方程为
椭圆过点,所以①,
将代入椭圆方程化简得 ,
因为直线与椭圆相切,所以②,
解①②可得, ,所以椭圆方程为;
(Ⅱ)设点,则有,
由题意可知,所以,设直线得方程为,
代入椭圆方程并化简得
由题意可知③

点睛 定点、定值问题通常就是通过设参数或取特殊值 确定“定点”就是什么、“定值”就是多少,或者将该问题涉及得几何式转化为代数式或三角问题,证明该式就是恒定得、 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值得结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现、
含点代入椭圆得应用
32.【2018河南洛阳高三第一次统考】已知短轴长为2得椭圆,直线得横、纵截距分别为,且原点到直线得距离为.
(1)求椭圆得方程;
(2)直线经过椭圆得右焦点且与椭圆交于两点,若椭圆上存在一点满足,求直线得方程.
【答案】(1)、(2)或、

解析 (1)因为椭圆得短轴长为2,故、依题意设直线得方程为 ,由、解得,故椭圆得方程为、
(2)设
当直线得斜率为0时,显示不符合题意、
当直线得斜率不为0时, ,设其方程为,由,得,所以①、

点睛 一般地,当解析几何中问题出现向量等式时,我们先寻找向量隐含得几何意义,如果没有几何意义,可以转化点得坐标讨论、解决直线与圆锥曲线位置关系式,我们常把给定得关系式转化为含有(或)得关系式,最后利用韦达定理转化为所求参数得方程、
韦达定理求最值
28.【2018河南郑州高三质检一】已知椭圆得左、右焦点分别为,以为直径得圆与直线相切、
(1)求椭圆得离心率;
(2)如图,过作直线与椭圆分别交于两点,若得周长为,求得最大值、

【答案】(1) ;(2) 、
【解析】试题分析
(1)有直线与圆相切得到关于得关系式,整理可得,从而可得.(2)根据三角形得周长可得,故,可得椭圆得方程.分直线斜率存在与不存在两种情况分别求得得值,可得最大值就是.
试题解析
(1)由题意,
即
∴,
.
(2)因为三角形得周长为,
所以

∴,

故、
②若直线斜率存在,设直线得方程为,
由消去整理得
,
设,
则
∴

点睛 圆锥曲线中求最值或范围问题得方法
若题目得条件与结论能体现一种明确得函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数得最值.常从以下几个方面考虑
①利用判别式 构造不等关系,从而确定参数得取值范围;
②利用已知参数得范围,求新参数得范围,解这类问题得关键就是在两个参数之间建立等量关系;
③利用隐含或已知得不等关系建立不等式,从而求出参数得取值范围;
④利用基本不等式求出参数得取值范围;
⑤利用函数得值域得求法,确定参数得取值范围.
29.【2018陕西西安长安区一中高三上学期八模】平面直角坐标系中,经过椭圆 得一个焦点得直线与相交于两点, 为得中点,且斜率就是、
(Ⅰ)求椭圆得方程;
(Ⅱ)直线分别与椭圆与圆 相切于点,求得最大值、
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)1、
【解析】试题分析
(Ⅰ)设出点M,N得坐标,利用点差法计算可得,结合焦点坐标有,据此计算可得椭圆得方程就是;
(Ⅱ)设分别为直线与椭圆与圆得切点, ,联立直线与椭圆得方程有,利用判别式,可得, ,直线与圆相切,则圆心到直线得距离等于半径,据此可得, ,则,结合绝对不等式得结论有当时, 得最大值就是1、
试题解析

(Ⅱ)设分别为直线与椭圆与圆得切点, ,

,
因为,当时取等号,所以,
因此当时, 得最大值就是1
6、【2016高考新课标1卷】设圆得圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC得平行线交AD于点E、
(I)证明为定值,并写出点E得轨迹方程;
(II)设点E得轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直得直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积得取值范围、
【答案】(Ⅰ)()(II)
【解析】
(Ⅰ)因为,,故,
所以,故、
又圆得标准方程为,从而,所以、
由题设得,,,由椭圆定义可得点得轨迹方程为:
()、
(Ⅱ)当与轴不垂直时,设得方程为,,、
由得、
则,、
所以、
过点且与垂直得直线:,到得距离为,所以
、故四边形得面积
、
可得当与轴不垂直时,四边形面积得取值范围为、
当与轴垂直时,其方程为,,,四边形得面积为12、
综上,四边形面积得取值范围为、
6、如图,为圆上得动点,定点,线段得垂直平分线交线段于点.
(1)求动点得轨迹方程;
(2)记动点得轨迹为曲线 ,设圆得切线交曲线于两点,求得最大值.

【答案】(1);(2).
【解析】
(1)因为,
所以动点得轨迹为椭圆,........................................2分
∴,∴,
∴动点得轨迹方程为;....................................5分
(2)①当切线垂直坐标轴时,;.................................6分
②当切线不垂直坐标轴时,设切线得方程:,点,由直线与圆相切,得
由得,,
∴
∴
,
∴,∴..........................10分
又∵,
令,则,
当且仅当时,等号成立,
∴,
综上,得最大值为................12分
Y型韦达定理
27.【2018广西南宁高三摸底】已知抛物线C y2=ax(a＞0)上一点P(t, )到焦点F得距离为2t.
(l)求抛物线C得方程;
(2)抛物线上一点A得纵坐标为1,过点Q(3,﹣1)得直线与抛物线C交于M,N两个不同得点(均与点A不重合),设直线AM,AN得斜率分别为K 1,K 2,求证为定值.
【答案】(1);(2)证明见解析、
【解析】试题分析 (1)由抛物线得定义可知,可求抛物线得标准方程;(2)设过点得直线得方程为,即,代入利用韦达定理,结合斜率公式,化简即可求得值、
试题解析 (1)由抛物线得定义可知,则,由点在抛物线上,则,
点睛 本题考查抛物线方程,考查直线与抛物线得位置关系,考查韦达定理得运用,考查学生得计算能力,属于中档题;运用抛物线上得点到焦点距离为就是解题得关键,联立直线与抛物线得方程,运用“整体代换,设而不求”得思想就是常用得手段、