高精度拟合的成形铣齿刀具刃型设计与仿真研究.pdf

高精度拟合的成形铣齿刀具刃型设计与仿真研究*徐晨洪荣晶高晗李蔚沅李帅康（南京工业大学机械与动力工程学院，江苏 南京 211816；南京工大数控科技有限公司，江苏 南京 211899）摘要：成形铣齿刀具应用于铣削大模数齿轮，其刃型的拟合精度直接影响加工齿面的精度。针对成形铣齿刀具加工齿轮齿廓精度不高的问题，提出一种小分段 NURBS 高精度拟合斜齿齿轮铣刀刃型的方法。基于齿轮啮合原理，利用 MATLAB 建立斜齿轮齿面数学模型，利用坐标变换得出刀具铣削斜齿轮的接触线以及刀具刃型点，对刃型点进行传统的单圆弧拟合、分段三次拟合、小分段 NURBS 拟合得到不同精度刀具刃型。为验证小分段 NURBS 拟合刃型的加工精度，利用VERICUT 对不同精度刃型刀具进行成形铣削加工，与标准斜齿轮齿廓对比。研究表明，小分段 NURBS 拟合刃型刀具使加工出的齿面精度提高。关键词：成形铣齿；刀具刃型；小分段 NURBS 拟合；齿面精度中图分类号：TH161+.1文献标识码：ADOI：10.19287/j.mtmt.1005-2402.2023.08.008Research on design and simulation of high precision fitting forming milling tool edgeXU Chen,HONG Rongjing,GAO Han,LI Weiyuan,LI Shuaikang(College of Mechanical and Power Engineering,Nanjing Tech University,Nanjing 211816;CHN;NanjingGongda CNC Technology Co.,Ltd.,Nanjing 211899,CHN)Abstract：Forming milling cutter is used to mill large modulus gears,and the fitting accuracy of its blade typedirectly affects the accuracy of the machined tooth surface.Aiming at the problem of low precision ofgear tooth profile machined by forming milling cutter,a method of high precision fitting of helical gearmilling cutter edge shape by small segment NURBS is proposed.Based on the principle of gearmeshing,the mathematical model of helical gear tooth surface is established by MATLAB.The contactline and tool edge point of helical gear milling are obtained by coordinate transformation.Thetraditional single arc fitting,piecewise cubic fitting and small piecewise NURBS fitting are carried outon the edge point to obtain different precision tool edge types.In order to verify the machining accuracyof small piecewise NURBS fitting edge,VERICUT is used to form milling of different precision edgetools,and compared with the standard helical gear profile.The research shows that the precision of themachined tooth surface is improved by the small segmented NURBS fitting edge tool.Keywords：forming milling teeth;tool edge type;small segment NURBS fitting;tooth surface accuracy 齿轮是机械工业中应用最为广泛的一种机械传动元件，它可以传递两平行轴、相交轴和交错轴之间的回转运动，应用于汽车、船舶、航天及风电等行业，随着现代化工业的飞速发展，对齿轮传动性能和质量不断提出新的要求。采用错齿盘铣刀在制齿设备上用成形铣齿工艺可一次性去除大量材料，实现大模数齿轮的成形加工，成为近年来解决大模数齿轮加工瓶颈而快速发展的工艺方法1。在齿轮制造加工的过程中，盘铣刀的刃型形状是影响加工精度的关键因素之一，直接影响成形法加工齿轮的齿形精度，因此有必要提高成形刀具刃型拟合精度来提高齿面加工精度。*江苏省研究生科研与实践计划资助项目（KYCX22_1282）2023年第8期切削加工 Cutting Processing_ 56 对成形铣刀刃型的设计前人进行了一系列的研究，罗生梅等2用多项式方程递减坐标分段拟合廓形，优化了铣刀刃型，使得离散坐标点线性化，实现计算机设计刃型。梁萍等3利用三维造型功能精确设计铣刀廓形，显著提高成形铣刀的设计和加工质量和效率。Li Y 等411基于坐标变换和成形铣削理论，建立油螺杆、螺旋转子定子螺旋面方程，研究工件与刀具相对运动的接触条件，计算接触条件方程得到刀具截型。邓小云等12提出利用共轭曲面的数字仿真原理的求解策略，将螺杆加工用盘铣刀的廓形计算问题转化为无约束的优化问题，提出基于遗传算法的求解盘铣刀精确廓形。周永情等13基于螺杆形成的基本原理，建立数学函数模型，编制算法程序，在绘图软件中精确绘制螺杆端面廓形曲线。Liu Y P14等为了提高变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的承载能力并为减振降噪提供数学模型基础，提出了基于抛物线成形刀片修形设计方法。对刀具刃型的设计过程中，均为对刃型的拟合或求解，并未研究拟合出刃型的拟合精度和其加工精度。结合以上相关成形铣刀刃型设计的研究，本文提出一种小分段 NURBS 高精度拟合斜齿齿轮铣刀刃型的方法：基于齿轮啮合原理15和成形铣齿原理，获得渐开线螺旋面、过渡圆弧螺旋面、齿底螺旋面方程并计算各面的法线矢量；分析刀具与工件的接触条件，联立接触条件方程、螺旋面方程和法线方程获得关于渐开线参数 u 和 的超越方程；编程得到空间接触线，通过坐标变换得到刀具刃型点；最后通过拟合出的刀具进行仿真加工验证拟合方法的加工精度的可行性，提高成形铣齿表面精度，为斜齿轮成形铣齿加工提供理论基础。1成形铣刀刃型设计 1.1成形铣削斜齿原理在铣削斜齿轮的过程中，刀具按无瞬心包络原理铣削斜齿轮。用盘型铣刀加工螺旋面工件时，刀具与工件的空间位置关系如图 1 所示，盘铣刀在坐标系 O-XYZ 绕自身旋转轴 Z 轴以角速度 1做旋转运动，工件在坐标系 o-xyz 中以 2角速度绕 z 轴做旋转运动，以 z 轴正方向速度 v 移动，即刀具在高速旋转，工件则一面绕着自己的轴线转动，一面沿轴线平移，并在回转一周的过程中前进一个导程。根据空间坐标变换原理，坐标系 O-XYZ 与 o-xyz 的坐标变换关系为X=axY=ycoszsinZ=ysin+zcos（1）式中：为刀具轴线与工件轴线之间的夹角；轴线间的最短距离为 a。XOyazV21xZYo图图1刀具与工件相对位置关系刀具与工件相对位置关系 1.2铣刀切削斜齿轮齿面方程斜齿轮单个齿面包括 3 部分，渐开线螺旋面、过渡圆弧螺旋面以及齿底螺旋面。斜齿轮端面是由齿底段 ab、过渡圆弧段 bc、渐开线段 cd 组成的齿廓，如图 2 所示，将齿廓绕 z 轴做螺旋运动形成螺旋齿面。0yO(z)uxdcb aMMrb图图2螺旋面齿廓截型螺旋面齿廓截型 以右侧齿面为例，根据三段廓形方程推导可知渐开线螺旋面方程为x=rbcos(0+u+)+rbusin(0+u+)y=rbsin(0+u+)rbucos(0+u+)z=p（2）式中：rb为基圆半径；0为渐开线在基圆上起点与x 轴的夹角；u 为变参数，为渐开线上任意一点 M的切线垂线与渐开线起始线的夹角；为变参数，表示端截型从起始绕 z 轴转过的角度；p 为螺旋参数，意义为截型绕 z 轴转过单位角度时，沿轴线方2023年第8期_Cutting Processing 切削加工 57 向移动的距离。过渡圆弧螺旋面方程为x1=r1cos(u1+1)+lcos(0+1)y1=r1sin(u1+1)+lsin(0+1)z1=p1（3）l=xg2+yg2式中：r1为过渡圆弧半径；u1为圆弧上任意一点与圆弧起始点的夹角；1与 意义相同；0为过 o 点与 过 渡 圆 弧 圆 心 的 线 段与 x 轴 夹 角。其 中，xg、yg为过渡圆弧坐标。齿底圆弧螺旋面方程为x2=r2cos(u2+2)y2=r2sin(u2+2)z2=p2（4）式中：r2为齿底圆半径；u2为齿底圆弧上任意一点与圆弧起点的夹角；2与 的意义相同。1.3刀具截型点求解已知工件螺旋面，求解刀具回转面时，需要用到法线分量求解接触点。螺旋面上的接触条件式为(kR)n=0（5）式中：k为刀具轴线单位矢量；R 为从刀具坐标系原点向螺旋面上的点作的径矢；n 为任意一点的法线。渐开线螺旋面法线分量为nx=prbusin(0+u+)ny=prbucos(0+u+)nz=p（6）过渡圆弧螺旋面法线分量为nx1=prcos(u1+1)ny1=prsin(u1+1)nz1=lrsin(1u1)（7）齿底圆弧螺旋面法线分量为nx2=pr2cos(u2+2)ny2=pr2sin(u2+2)nz2=0（8）将式（5）转化为坐标表示形式：(xa)(ny+nxtannx)+y+ztan=0（9）联立螺旋面方程、法线分量和式（9）可获得关于 u 和 的超越方程，获得接触点，拟合获得接触线。以加工斜齿轮参数：Z=38，M=10，Xn=0，=20，Cn*=0.25，ha*=1 为例，计算得到的齿面和接触线如图 3 和图 4 所示。将所得的接触点坐标通过式（1）进行坐标变换得到刀具截型点，并绘制截型如图 5 所示。205200195Y/mm190185180175151050X/mm51015右齿面截型左齿面截型右过渡截型左过渡截型顶截型图图5刀具截型刀具截型 2刀具刃型拟合与仿真 2.1单圆弧拟合在对刀具进行设计时，计算得出的刃型都是一些离散的数值点，在传统的成形铣齿刀具刃型设计时，一般采用近似圆弧拟合廓形。已知理论刃型上一系列点的坐标值为 Mi(xi,yi)，i=1,2,3,n。若使用一段圆弧代替，设其半径为 R，圆心坐标为(xa,5040302010010Z/mm20304050201001020205X/mm200195190185Y/mm右齿面接触线左齿面接触线右过渡面接触线左过渡面接触线齿底面接触线图图3齿面和接触线绘制齿面和接触线绘制Z/mmX/mm205200195190185Y/mm86420246810 8642024 6 8 10右齿面接触线左齿面接触线右过渡面接触线左过渡面接触线齿底面接触线图图4接触线接触线2023年第8期切削加工 Cutting Processing_ 58 ya)，则近似圆弧方程可表示为(xxa)2+(yya)2=R2（10）采用偏差平方和为最小的方法，确定式（10）中系数 xa、ya和 c 使得廓形各个点的偏差最小。ni=1i2=ni=1(xi2+yi22xaxi2yayi+c)2即 使 得：为最小值时 xa、ya和 c 作为代替圆弧的圆心坐标和半径。对待定系数进行求偏导，得到下列方程组：2ni=1xi2xa+2ni=1xiyiyani=1xic=ni=1(xi3+xiyi2)2ni=1xiyixa+2ni=1yi2yani=1yic=ni=1(xi2yi+yi3)2ni=1xixa+2ni=1yiya(n+1)c=ni=1(xi2+yi2)（11）根据式（11）可获得拟合圆弧圆心坐标（xa,ya）和参数 c,则近似圆弧半径 R 由式得：R=xa2+ya2c（12）2.2小分段 NURBS 拟合NURBS 曲线是一种描述曲线曲面的造型技术，其中 k 次 NURBS 曲线表达式为C(u)=ni=0PiNi,k(u),u ui,ui+1（13）Pi(i=0,1,n)曲线的控制点，控制顶点顺序连成的折线称为 NURBS 曲线控制多边形。Ni,k(u)称为 k 次 NURBS 曲线的基函数，由递推公式计算如下：Ni,0=1,若ui u ui+10,其他Ni,k(u)=uuiui+kuiNi,k1(u)+ui+k+1uui+k+1ui+1Ni+1,k1(u)（14）式中：U=u0,u1,un+k+1 为非均匀递增节点序列。由式可知，NURBS 曲线拟合需要确定节点矢量 U=u0,u1,un+k+1和 Pi(i=0,1,n)控制顶点。节点矢量和控制点顶点求解与给定的数据点有关。小段 NURBS 曲线拟合分为两个步骤：计算节点矢量、反算控制点。2.2.1 计算节点矢量为了让一条 k 次 NURBS 曲线通过一组型值点Qi(i=0,1,m)，其反算过程要求曲线首末端点分别与首末型点一致，内型值点依次与 k 次 NURBS 曲线定义域内的节点一一对应，即 Qi对应节点值 ui+k。曲线有 m 段，所求 k 次 NURBS 插值曲线有 n+1 个控制点 Pi(i=0,1,n)，其中 n=m+k1，节点矢量 U在首末端点处具有 k+1 阶重复度，相应的节点矢量为U=u0,u1,un+k+1u0=u1=uk=1un+1=un+2=un+k+1=1（15）为了计算与型值点 Qi(i=0,1,m)相对应的参数值 ui+k(i=0,1,m)，需要对型值点进行参数化处理。参数化处理方法有：均匀参数化法、向心参数化法和累积弦长参数化法。对于均匀参数化法，在数据分布不均匀时，拟合会产生严重变形。向心参数化法适用于数据点急转弯变化的场合。累积弦长参数化法是一种常用的节点矢量计算方法，该方法使得每个节点区间长度与对应曲线上两点之间的弦长相对应，保证了拟合曲线良好的光滑性。本文选用累积弦长参数化法。当 k=3 时，NURBS 曲线可达 C2连续，更高次数的曲线将带来更复杂的计算。因此本文采用三次 NURBS 曲线拟合。2.2.2 控制点的反算根据三次 NURBS 曲线插值条件：Q(ui)=i1j=i3PjNj,3(ui)=Qi3,i=3,4,nQ(un+1)=nj=n2PiNi,3(un+1)=Qn2（16）对于 C2连续的 NURBS 三次开曲线，其首末节点重复度为 4，所以曲线的首末控制点与首末型值点相同，即 Q0=P0，Qm=Pn。kl=(ui+kui),k=0,1,2,3t=(uui)/(ui+1ui),t 0,1令，将式写成矩阵形式化简为b0c0a0a1b1c1.an2bn2cn2cn1an1bn1P0P1.Pn2Pn1=e0e1.en2en1（17）ai=(i+2)2i+i+1+i+2bi=i+2(i+i+1)i+i+1+i+2+i+1(i+2+i+3)i+1+i+2+i+3,i=0,1,n1ci=(i+1)2i+1+i+2+i+3ei=(i+1+i+2)Qi1其中通过高斯消元法求出全部未知控制点，进而得到拟合曲线。2023年第8期_Cutting Processing 切削加工 59 2.2.3 误差控制误差控制是实现连续小段高精度拟合的关键步骤。定义 C(u)表示连续小段拟合的参数曲线，在曲线 C(ui+k)和 C(ui+k+1)之间将 uui+k,ui+k+1 等分若干等分，得到一系列 C(u)上的点集，计算点集对应线段的距离 i，将其最大距离作为 i,max和平均距离作为 i,avg，通过与给定的最大距离 max和平均距离 avg作对比来控制拟合精度。2.3刀具切削仿真以加工斜齿轮参数：Z=38，M=10，Xn=0，=20，Cn*=0.25，ha*=1 为例，用 SolidWorks 建立标准斜齿轮模型便于与仿真模型进行切削对比，验证刀具模型切削加工精度，如图 6 所示。图图6标准斜齿轮模型标准斜齿轮模型 2.3.1 单圆弧拟合切削仿真对计算出的刀具刃型点分为 3 部分，对其中的齿面截型和过渡面截型进行单圆弧拟合，顶刃部分利用直线进行拟合，并给出各圆弧的方程，拟合结果如图 7 所示。200195Y/mm190185180151050X/mm5102015(x76.2714)2+(y+214.4056)2=73.64172(x+76.2714)2+(y214.4056)2=73.64172(x+1.0345)2+(y+196.1888)2=3.81642(x1.0350)2+(y+196.1893)2=3.81582y=200图图7圆弧拟合截型圆弧拟合截型 将拟合得出的圆弧截型在 SolidWorks 中建立盘型铣刀模型并导入 VERICUT 中，在 VERICUT 中设置控制系统和建立机床各轴关系，导入毛坯和标准参数的斜齿轮，设置对刀点和装夹点，写入斜齿轮仿真的数控程序，盘铣刀模型和加工过程如图 8、9 所示。加 工 出 的 完 整 斜 齿 轮 如图 10 所 示，通 过VERICUT 中分析模块的自动比较功能，调整加工齿轮和标准齿轮的相对位置，设置过切和残留的比较公差为 0.001 mm，圆弧拟合刀具加工斜齿轮齿面残留和过切如图 11 和图 12 所示。图图8盘铣刀模型盘铣刀模型 图图9VERICUT 盘铣刀仿真模型盘铣刀仿真模型 图图10切削加工斜齿轮模型切削加工斜齿轮模型 由仿真结果可以看出，圆弧拟合盘铣刀在比较公差为 0.001 mm 下，残留主要在齿面和过渡面交接处，过切主要分布在齿面。2.3.2 分段三次拟合切削仿真将得到的截型点导入 UG 中，利用拟合曲线模块进行分段三次拟合，对盘铣刀建模，导入VERICUT中进行仿真切削设置比较公差为 0.001 mm，得到加工斜齿轮齿面的残留和过切如图 13 和 图 14 所示。由仿真结果看出，分段三次拟合盘铣刀加工斜齿轮的加工精度高于圆弧拟合盘铣刀，且产生残留处主要分布在齿面与过渡面交接处，残留和过切处相比于圆弧拟合铣刀加工的齿面精度有所提高。2.3.3 小分段 NURBS 拟合切削仿真通过编程将计算得到的每段刀具截型点计算节点矢量，对控制点反算，并控制误差得到 NURBS拟合的拟合点，并对其进行三次拟合得到小段NURBS 拟合刀具截型如图 15 所示。2023年第8期切削加工 Cutting Processing_ 60 对得到的截型进行盘铣刀建模，在 VERICUT中进行仿真，设置比较公差为 0.001 mm，得到NURBS 拟合盘铣刀切削齿面残留和过切如图 16、17 所示。由仿真结果可看出小分段的 NURBS 拟合盘铣刀切削的齿面残留分布在齿面和过渡面交接处，齿面过切分布在齿面，对比于单圆弧拟合铣刀和分段三次拟合铣刀，切削精度明显提高。200195Y/mm190185180151050X/mm51015右齿面截型左齿面截型右过渡截型左过渡截型齿底面截型图图15小小段段 NURBS 拟合截型拟合截型 图图16NURBS 拟合残留拟合残留 图图17NURBS 拟合过切拟合过切 3结语本文提出了一种小分段 NURBS 高精度拟合斜齿齿轮铣刀刃型。利用 MATLAB 建立斜齿轮齿面数学模型，基于齿轮啮合原理和坐标变换，根据接图图11局部齿面残留局部齿面残留图图12局部齿面过切局部齿面过切图图13三次拟合残留三次拟合残留图图14三次拟合过切三次拟合过切2023年第8期_Cutting Processing 切削加工 61 触线计算理论编程计算斜齿轮刀具截型点，利用传统的单圆弧拟合、分段三次拟合、和小分段 NURBS拟合刃型，建立 3 种盘铣刀模型，利用 VERICUT仿真切削进行对比，验证小分段 NURBS 拟合方法的切削加工精度。仿真结果表明，3 种拟合方法在比较公差为 0.001 mm 的情况下，残留部分主要集中在齿面和过渡面的交接处，过切部分分布在齿面，小段 NURBS 拟合方法相比于传统的单圆弧拟合和分段三次拟合，仿真切削齿面精度更高，验证了该方法提高齿面加工精度的可行性。参考文献 张金，张建润，戴永奋，等.成形铣齿切削载荷与加工精度的分析J.机床与液压，2016，44（23）：57-59，88.1 罗生梅，贾建军，王君，等.成形铣刀齿形计算机辅助设计与制造J.中国机械工程，2006，17（22）：2370-2374.2 梁萍，程伟.成形铣刀廓形的精确设计和制造J.机床与液压，2008，36（10）：250-251，254.3 Li Y，Fan J W，Chen D J，et a1.Modeling and simulation of formed millingcutter for screw 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年出生，在读硕士研究生，研究方向为机械制造及其自动化。E-mail：通信作者：洪荣晶，男，1963 年出生，教授，博士生导师，研究方向为数控理论及应用和数字化制造。E-mail：（编辑高扬）（收修改稿日期：20230327）文章编号：20230809如果您想发表对本文的看法，请将文章编号填入读者意见调查表中的相应位置。2023年第8期切削加工 Cutting Processing_ 62