高二数学-椭圆-双曲线练习题.doc

高二数学 椭圆 双曲线练习题
一、 选择题： 1、双曲线x2－ay2＝1的焦点坐标是（ ）
A．(, 0) , (－, 0) B．(, 0), (－, 0)
C．（－, 0）,（, 0） D．(－, 0), (, 0)
2、设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为,则该双曲线的离心率为（ ）
A．5 B．/2 C． D．5/4
3．椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则= （ ） A．/2 B． C．4 了 D．7/2
4．过椭圆左焦点且倾斜角为60°的直线交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率等于 （ ）
5．已知椭圆和双曲线＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）
A．x＝± B．y＝± C．x＝± D．y＝±
6．设F1和F2为双曲线y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是（ ） A．1 B． C．2 D．
7．已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是椭圆和双曲线的离心率，则有（ ）
A． B． C． D．
8．已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A．m<2 B．1<m<2 C．m<－1或1<m<2 D．m<－1或1<m<
9．已知双曲线－=1和椭圆+=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
10．椭圆上有n个不同的点: P1, P2, …, Pn, 椭圆的右焦点为F. 数列｛|PnF|｝是公差大于的等差数列, 则n的最大值是（ ） A．198 B．199 C．200 D．201
二、 填空题： 11．对于曲线C∶=1，给出下面四个命题：①由线C不可能表示椭圆；②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4;④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜ 其中所有正确命题的序号为_______ ______
12．设圆过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心距离__
13．双曲线＝1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离____
14．若A（1，1），又F1是5x2＋9y2=45椭圆的左焦点，点P是椭圆的动点，则|PA|＋|P F1|的最小值_______
15、已知B(-5，0)，C(5，0)是△ABC的两个顶点，且sinB-sinC=sinA,则顶点A的轨迹方程是
三、 解答题：
16、设椭圆方程为=1，求点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.

图
17、已知F1、F2为双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°．求双曲线的渐近线方程．

18、已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量．（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点， 、分别是左、右焦点，求∠ 的取值范围；

19、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为。 (1) 求双曲线C的方程；(2) 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。

20、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是（1）求双曲线的方程； （2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

21、设F1、F2分别为椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点.（1）若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明．

参考答案:
1、双曲线x2－ay2＝1的焦点坐标是（ C ） A．(, 0) , (－, 0) B．(, 0), (－, 0) C．（－, 0）,（, 0） D．(－, 0), (, 0)
2、设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为,则该双曲线的离心率e（ B ）
A．5 B．/2 C． D．5/4
3．椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则= （ D ） A．/2 B． C．4 D．7/2
4．过椭圆左焦点且倾斜角为60°的直线交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率等于 （D ）
5．已知椭圆和双曲线＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ D ）A．x＝± B．y＝± C．x＝± D．y＝±
解：由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，∴椭圆焦点（，0），双曲线焦点（，0），∴3m2－5n2=2m2+3n2∴m2=8n2又∵双曲线渐近线为y=±·x∴代入m2=8n2，|m|=2|n|，得y=±x．
6．设F1和F2为双曲线y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是（A ）A．1 B． C．2 D．
解：由双曲线方程知|F1F2|＝2，且双曲线是对称图形，假设P（x，），由已知F1P⊥F2 P，有，即，
7．已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是椭圆和双曲线的离心率，则有（ D ）
A． B． C． D．
8．已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 （ D ）
A．m<2 B．1<m<2 C．m<－1或1<m<2 D．m<－1或1<m<
9．已知双曲线－=1和椭圆+=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是（ B ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
10．椭圆上有n个不同的点: P1, P2, …, Pn, 椭圆的右焦点为F. 数列｛|PnF|｝是公差大于的等差数列, 则n的最大值是（ C ） A．198 B．199 C．200 D．201
二、填空题：
11．对于曲线C∶=1，给出下面四个命题：①由线C不可能表示椭圆；②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4;④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜ 其中所有正确命题的序号为_______ ______③④； 12．设圆过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是______16/3；
解：如图8—15所示，设圆心P（x0，y0），则|x0|＝＝4，代入＝1，得y02＝，∴|OP|＝． 13．双曲线＝1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为 ．16/5；
解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n（m＞n），a＝3、b＝4、c＝5，∴m－n＝６ m2＋n2＝4c2，m2＋n2－（m－n）2＝m2＋n2－（m2＋n2－2mn）＝2mn＝4×25－36＝64，mn＝32.
又利用等面积法可得：2c·y＝mn，∴y＝16/5．
14．若A点坐标为（1，1），F1是5x2＋9y2=45椭圆的左焦点，点P是椭圆的动点，则|PA|＋|P F1|的最小值是_______ ___．；
15、已知B(-5，0)，C(5，0)是△ABC的两个顶点，且sinB-sinC=sinA,则顶点A的轨迹方程是
三、解答题：
16、设椭圆方程为=1，求点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.
图
解：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，①当斜率存在时，直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立并消元得：（4+k2）x2+2kx－3=0， x1+x2=－y1+y2=，由 得：（x，y）=（x1+x2，y1+y2），即：
消去k得：4x2+y2－y=0当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程
所以动点P的轨迹方程为：4x2+y2－y= 0．
17、已知F1、F2为双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°．求双曲线的渐近线方程．
解：（1）设F2（c，0）（c＞0），P（c，y0），则=1．解得y0=± ∴|PF2|=，在直角三角形PF2F1中，∠PF1F2=30°解法一：|F1F2|=|PF2|，即2c=，将c2=a2+b2代入，解得b2=2a2 解法二：|PF1|=2|PF2|，由双曲线定义可知|PF1|－|PF2|=2a，得|PF2|=2a. ∵|PF2|=，∴2a=，即b2=2a2，∴ 故所求双曲线的渐近线方程为y=±x．
18、已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量．（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点， 、分别是左、右焦点，求∠ 的取值范围；
解：（1）∵，∴．∵是共线向量，∴，∴b=c,故．（2）设

当且仅当时，cosθ=0，∴θ．
19、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(1) 求双曲线C的方程；(2) 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。
解：（Ⅰ）设双曲线方程为 由已知得故双曲线C的方程为
（Ⅱ）将
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即 ① 设，则
而
于是 ②
由①、②得 故k的取值范围为
20、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是（1）求双曲线的方程； （2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.
解：∵（1）原点到直线AB：的距离． 故所求双曲线方程为
（2）把中消去y，整理得 .
设的中点是，则
故所求k=±.
21、设F1、F2分别为椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点.（1）若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程； （3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明．
解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.又点A（1，）在椭圆上，因此=1得b2=3，于是c2=1.所以椭圆C的方程为=1，焦点F1（－1，0），F2（1，0）（2）设椭圆C上的动点为K（x1，y1），线段F1K的中点Q（x，y）满足： ， 即x1=2x+1，y1=2y.
因此=1.即为所求的轨迹方程.（3）类似的性质为：若M、N是双曲线：=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值. 设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（－m，－n），其中=1.又设点P的坐标为（x，y），由，得kPM·kPN=，将m2－b2代入得kPM·kPN=.