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高一数学竞赛试题及答案
时间： 2016/3/18
注意：本试卷均为解答题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分150分,考试时间120分钟.
1. （本小题满分15分）
设集合，
（1）若求的值；
（2）若,求的取值范围；
（3）若,求的取值范围.

2.（本小题满分15分）设
（1） 求证：
（2） 为单调函数时，是否有？请说明理由.

3．（本小题满分15分）
已知函数在有最大值5，
求实数的值．

4．（本小题满分15分）
已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；
(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 011,2 011]上根的个数，并证明你的结论．

5．（本小题满分15分）
已知二次函数，设方程的两个实数根为和.
（1）如果，设函数的对称轴为，求证：；
（2）如果，，求的取值范围.

6．（本小题满分15分）
如图，直三棱柱中，，是棱的中点，。
（1） 证明：；
（2） 求二面角的大小。

7．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数
f(x)＝x2＋2x＋b(x ∈R)的图象与两坐标轴有三个交点．经过三点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．

8．（本小题满分20分） 设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈[0，]都有且f（1）=a＞0．
（Ⅰ）
（Ⅱ）证明是周期函数；
（Ⅲ）记求

9．（本小题满分20分）设是R上的奇函数，且当时，，.
（1）若，求的解析式；
（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若的值域为，求的取值范围.

高一数学竞赛试题参考答案
1、解：
（1）∵ ∴
即，，解得
① 当时，
② 当时，
综上
（2）∵
∴
① 当时，则该一元二次方程无解，即△<0，
∴，即
② 当时，则该一元二次方程有解，即△≥0，即
1. 当时，
2. 当时，该一元二次方程有两个不同实数根1和2
∴ ，即
，即 （舍） ,∴综上
（3）∵ ∴
① 当△<0时，即，，满足要求
② 当△=0时，即，，，舍
③ 当△>0时，即，所以只需
将1代入方程中得;将2代入方程中得
所以
综上，的取值范围为

2、

3、解：

令，
则，从而
令，由题意知在有最大值5.
当时，在时有最大值5，故符合条件；
当时，，矛盾！
当时，，矛盾！
综上所述，所求的实数．
4、解　(1)若y＝f(x)为偶函数，
则f(－x)＝f(2－(x＋2))＝f(2＋(x＋2))＝f(4＋x)＝f(x)，
∴f(7)＝f(3)＝0，这与f(x)在闭区间[0,7]上，
只有f(1)＝f(3)＝0矛盾；因此f(x)不是偶函数．
若y＝f(x)为奇函数，则f(0)＝f(－0)＝－f(0)，
∴f(0)＝0，这些f(x)在闭区间[0,7]上，
只有f(1)＝f(3)＝0矛盾；因此f(x)不是奇函数．
综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)∵f(x)＝f[2＋(x－2)]＝f[2－(x－2)]＝f(4－x)，
f(x)＝f[7＋(x－7)]＝f(7－(x－7))＝f(14－x)，
∴f(14－x)＝f(4－x)，即f[10＋(x－4)]＝f(4－x)
∴f(x＋10)＝f(x)，即函数f(x)的周期为10.
又∵f(1)＝f(3)＝0，∴f(1)＝f(1＋10n)＝0(n∈Z)，
f(3)＝f(3＋10n)＝0(n∈Z)，
即x＝1＋10n和x＝3＋10n(n∈Z)均是方程f(x)＝0的根．
由－2 011≤1＋10n≤2 011及n∈Z可得n＝0，±1，±2，±3，…，±201，共403个；
由－2 011≤3＋10n≤2 011及n∈Z可得n＝0，±1，±2，±3，…，±200，－201，共402
个；所以方程f(x)＝0在闭区间[－2 011,2 011]上的根共有805个．
5、解：设，则的二根为和.
（1）由及，可得 ，即，即

两式相加得，所以，;
（2）由, 可得 .
又，所以同号.
∴ ，等价于或,
即 或
解之得 或.
6、【解析】（1）在中，
得：
同理：
得：面
（2）面
取的中点，过点作于点，连接
，面面面
得：点与点重合
且是二面角的平面角
设，则，
既二面角的大小为
7、【解答】 (1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；
令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，
故D＝2，F＝b.
令x＝0得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，
代入得出E＝―b―1.
所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.

(3)圆C必过定点，证明如下：
假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，
并变形为x＋y＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0.(*)
为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立，必须有1－y0＝0，结合(*)式得x＋y＋2x0－y0＝0，
解得或
经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C上，因此，圆C过定点．

9、解：（1）
所以

(2)等价于

（1）时，解得：；
（2），，解的
综上，
（3）设,
由题意知，若函数的值域为R，只需