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高二数学椭圆专项练习题及参考答案
训练指要
熟练掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质；会用待定系数法求椭圆方程.
一、选择题
1.椭圆中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，离心率为0.6，长、短轴之和为36，则椭圆方程为
A. B.
C. D.
2.若方程x2＋ky2＝2，表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是
A.(0，＋∞) B.(0，2)
C.(1，＋∞) D.(0，1)
3.已知圆x2＋y2＝4，又Q(，0)，P为圆上任一点，则PQ的中垂线与OP之交点M轨迹为(O为原点)
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
二、填空题
4.设椭圆的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点，且PF1⊥PF2，则||PF1|－|PF2||＝_________.
5.(2002年全国高考题)椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0，2)，那么k=_________.
三、解答题
6.椭圆=1(a＞b＞0),B(0,b)、B′(0,-b),A(a,0),F为椭圆的右焦点，若直线AB⊥
B′F,求椭圆的离心率.
7.在面积为1的△PMN中，tanM=,tanN=-2，建立适当的坐标系，求以M、N为焦点且过点P的椭圆方程.
8.如图，从椭圆＝1(a＞b＞0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴端点A及短轴的端点B的连线AB∥OM.
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设Q是椭圆上任意一点，F2是右焦点，求∠F1QF2的取值范围；
(3)设Q是椭圆上一点，当QF2⊥AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若△F1PQ的面积为20，求此时椭圆的方程.
参考答案
一、1.C 2.D 3.C
二、4.2

∴(|PF1|－|PF2|)2=100－2×40=20.
||PF1|－|PF2||=2.
5.1
三、6.
7.以MN所在直线为x轴，线段MN的中垂线为y轴建立坐标系，可得椭圆方程为

8.(1) (2)［0,］ (3)
提示：(1)∵MF1⊥x轴，
∴xM=－c,代入椭圆方程求得yM=,
∴kOM=－
∵OM∥AB,
∴－
从而e=.
(2)设|QF1|=r1,|QF2|=r2,∠F1QF2=θ,则r1+r2=2a,|F1F2|=2c.
由余弦定理,得cosθ=

≥
当且仅当r1=r2时，上式取等号.
∴0≤cosθ≤1,θ∈［0,］.
(3)椭圆方程可化为,又PQ⊥AB，
∴kPQ=－
PQ:y=(x－c)代入椭圆方程，得5x2－8cx+2c2=0.
求得|PQ|=
F1到PQ的距离为d=
∴
∴椭圆方程为

椭圆训练题：
1. 椭圆的离心率，则m=__________
2. 椭圆4x2+2y2=1的准线方程是_______________
3. 已知F1、F2为椭圆的两个焦点，A、B为过F1的直线与椭圆的两个交点，则△ABF2的周长是____________
4. 椭圆上有一点P到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，则P点的坐标是_______________
5. 椭圆焦点为F1、F2，P是椭圆上的任一点，M为P F1的中点，若P F1的长为s，那么OM的长等于____________
6. 过椭圆的一个焦点F作与椭圆轴不垂直的弦AB，AB的垂直平分线交AB于M，交x轴于N，则：=___________
7. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率，长轴长是6，则椭圆的方程是____________
8. 方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的值是______________
9. 椭圆的两焦点把准线间的距离三等分，则这椭圆的离心率是______________
10. 椭圆上一点P到右焦点F2的距离为b，则P点到左准线的距离是_______
11. 椭圆，这个椭圆的焦点坐标是__________
12. 曲线表示椭圆，那么m的取值是______________
13. 椭圆上的一点，A点到左焦点的距离为，则x1=___________
14. 椭圆的两个焦点坐标是______________
15. 椭圆中心在原点，焦点在x轴上，两准线的距离是，焦距为，其方程为______
16. 椭圆上一点P与两个焦点F1、F2所成的DPF1F2中，，则它的离心率e=__________
17. 方程表示椭圆，则a的取值是______________
18. 若表示焦点在x轴上的椭圆，则l的值是________
19. 椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列，则____________
20. P是椭圆上一点，它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的4倍，则P点的坐标是_______________
21. 中心在原点，对称轴在坐标轴上，长轴为短轴的2倍，且过的椭圆方程是______
22. 在面积为1的△PMN中，，那么以M、N为焦点且过P的椭圆方程是_____________
23. 已知△ABC，且三边AC、AB、BC的长成等差数列，则顶点C的轨迹方程是_________
24. 椭圆的焦距为2，则m的值是__________
25. 椭圆的焦点到准线的距离是____________
26. 椭圆的准线平行于x轴，则m的值是__________
27. 中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是_______
28. 椭圆的焦距等于长轴长与短轴长的比例中顶，则离心率等于___________
29. 中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则此椭圆方程是_________
30. 椭圆的中心为，对称轴是坐标轴，短轴的一个端点与两个焦点构成面积为12的三角形，两准线间的距离是，则此椭圆方程是_____________
31. 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是____________
32. 将椭圆绕其左焦点逆时针方向旋转90°，所得椭圆方程是_______
33. 椭圆上一点M到右准线的距离是7.5，那么M点右焦半径是______
34. AB是椭圆的长轴，F1是一个焦点，过AB的每一个十等分点作AB的垂线，交椭圆同一侧于点P1，P2，P3，××××××，P9，则的值是________
35. 中心在原点，一焦点为F（0，1），长短轴长度比为t，则此椭圆方程是__________
36. 若方程表示焦点在y轴的椭圆，则k的取值是__________
37. 椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上一点，若线段PF1的中点在y轴上，那么：=___________
38. 经过两点的椭圆方程是_____________
39. 以椭圆的右焦点F2（F1为左焦点）为圆心作一圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于M、N，若直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率是___________
40. 椭圆的两个焦点F1、F2及中心O将两准线间的距离四等分，则一焦点与短轴两个端点连线的夹角是__________
41. 点A到椭圆上的点之间的最短距离是___________
42. 椭圆与圆有公共点，则r的取值是________
43. 若，直线与椭圆总有公共点，则m的值是___________
44. 设P是椭圆上一点，两个焦点F1、F2，如果，则离心率等于__________
45. P是椭圆上任一点，两个焦点F1、F2，那么的最大值是_______
46. 椭圆长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则此直角三角形的面积是__________
47. 椭圆长轴长为6，焦距，过焦点F1作一倾角为a的直线交椭圆于M、N两点，当等于短轴长时，a的值是_______
48. 设椭圆的长轴两端点A、B，点P在椭圆上，那么直线PA与PB的斜率之积是__________
49. 倾斜角为的直线与椭圆交于A、B两点，则线段AB的中点M的轨迹方程是______________
50. 已知点A（0，1）是椭圆上的一点，P是椭圆上任一点，当弦长AP取最大值时，点P的坐标是_____________

椭圆训练题答案
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7.
8. 9. 10. 11.
12. 13. 14.
15. 16. 17.
18. 19. 20.
21. 22. 23.
24. 25. 26. 27.
28. 29. 30.
31. 32. 33. 34.
35. 36. 37. 38.
39. 40. 41. 42. 43. m≥1且m≠5 44. 45. 60° 46. 47. 48. 49. 50.
椭圆训练试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．请将唯一正确结论的代号填入题后的括号内．
1．椭圆＝１的准线平行于x轴，则实数m的取值范围是 （ 　）
A．－１＜m＜３ B．－＜m＜3且m≠0
C．－１＜m＜３且m≠0 D．m＜－1且m≠0
2． a、b、c、p分别表示椭圆的半长轴、半短轴、半焦距、焦点到相应准线的距离，则它们
的关系是 （ ）
A．p= B．p= C．p= D．p=
3．短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B
两点，则ΔABF2的周长为 （ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
4．下列命题是真命题的是 （ ）
A．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
B．到定直线x=和定F(c，0)的距离之比为的点的轨迹是椭圆
C．到定点F(-c，0)和定直线x=-的距离之比为(a>c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆
D．到定直线x=和定点F(c，0)的距离之比为(a>c>0)的点的轨迹是椭圆
5．P是椭圆+=1上任意一点，F1、F2是焦点，那么∠F1PF2的最大值是 （ ）
A．600 B．300 C．1200 D．900
6．椭圆+=1上一点P到右准线的距离是2b，则该点到椭圆左焦点的距离是（ ）
A．b B．b C．b D．2b
7．椭圆+=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段F1P的中点在y轴上，那么
|PF1|是|PF2|的 （ ）
A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍
8．设椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点是F1和F2，长轴是A1A2，P是椭圆上异于A1、A2的
点，考虑如下四个命题：
①|PF1|-|A1F1|=|A1F2|-|PF2|； ②a-c<|PF1|<a+c；
③若b越接近于a，则离心率越接近于1；
④直线PA1与PA2的斜率之积等于-．
其中正确的命题是 （ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①④
9．过点Ｍ（－２，０）的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于Ｐ１、Ｐ２两点，线段Ｐ１Ｐ２的中点
为Ｐ，设直线l的斜率为k1（k1≠0），直线ＯＰ的斜率为k2，则k1k2的值为 （ ）
A．２ B．－２ C． D．－
10．已知椭圆+=1(a>b>0)的两顶点A(a，0)、B(0，b)，右焦点为F，且F到直线AB的距离等于F到原点的距离，则椭圆的离心率e满足 （ ）
A．0<e< B．<e<1 C． 0<e<-1 D．-1<e<1
11．设Ｆ１、Ｆ２是椭圆＝１（a＞b＞0）的两个焦点，以Ｆ１为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为Ｍ，若直线Ｆ２Ｍ与圆Ｆ１相切，则该椭圆的离心率是（ ）
A．２－ B．－１ C． 　 D．
12．在椭圆+=1内有一点P（1，-1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是` （ ）
A． B． C．3 D．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将最简结果填入题中的横线上．
13．椭圆+=1的离心率是2x2-11x+5=0的根，则k= ．
14．如图，∠ＯＦＢ＝，ＳΔＡＢＦ＝２－，则以ＯＡ为长半轴，ＯＢ
为短半轴，Ｆ为一个焦点的椭圆的标准方程为　　　　．
15．过椭圆＝１的下焦点，且与圆x2＋y2－3x＋y＋＝0相切
的直线的斜率是　　　　　．
16．过椭圆+=1的左焦点作一条长为的弦AB，将椭圆绕其左准线旋转一周，则
弦AB扫过的面积为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答题应写出必要的计算步骤或推理过程．
17．（本小题满分12分）
已知A、B为椭圆+=1上两点，F2为椭圆的右焦点，若|AF2|+|BF2|=a，AB中点到椭圆左准线的距离为，求该椭圆方程．

18．（本小题满分12分）
设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，并且椭圆与圆x2+y2-4x-2y+=0交于A、B两点，若线段AB的长等于圆的直径．
（1） 求直线AB的方程；
（2） 求椭圆的方程．

19．（本小题满分12分）
已知+=1的焦点F1、F2，在直线l：x+y-6=0上找一点M，求以F1、F2为焦点，通过点M且长轴最短的椭圆方程．

20．（本小题满分12分）
一条变动的直线l与椭圆+=1交于P、Q两点，M是l上的动点，满足关系|MP|·|MQ|=2．若直线l在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M的轨迹方程，并说明曲线的形状．

21．（本小题满分12分）
设椭圆+=1的两焦点为F1、F2，长轴两端点为A1、A2．
（1） P是椭圆上一点，且∠F1PF2=600，求ΔF1PF2的面积；
（2） 若椭圆上存在一点Q，使∠A1QA2=1200，求椭圆离心率e的取值范围．

22．（本小题满分14分）
已知椭圆的一个顶点为Ａ（０，－１），焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为３．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线y＝kx＋m（k≠0）相交于不同的两点Ｍ、Ｎ，当｜ＡＭ｜＝｜ＡＮ｜时，求m的取值范围．

椭圆训练试卷参考答案
一、B D C D A A A AＤC B C
二、13．4或 14． 15． 16．18π
三、17．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由焦点半径公式有a-ex1+a-ex2=a，∴x1+x2=a(∵e=)，即AB中点横坐标为a，又左准线方程为x=-a，∴a+a=，即a=1，∴椭圆方程为x2+y2=1．
18．解：（1）直线AB的方程为y=-x+2； （2）所求椭圆的方程为+=1．
19．解：由+=1，得F1（2，0），F2（-2，0），F1关于直线l的对称点F1/（6，4），连F1/F2交l于一点，即为所求的点M，∴2a=|MF1|+|MF2|=|F1/F2|=4，∴a=2，又c=2，∴b2=16，故所求椭圆方程为+=1．
20．解：设动点M(x，y)，动直线l：y=x+m，并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是方程组的解，消去y，得3x2+4mx+2m2-4=0，其Δ=16m2-12(2m2-4)>0，∴-<m<，x1+x2=-，
x1x2=，故|MP|=|x-x1|，|MQ|=|x-x2|．由|MP||MQ|=2，得|x-x1||x-x2|=1，也即|x2-(x1+x2)x+x1x2|=1，于是有|x2++|=1．∵m=y-x，∴|x2+2y2-4|=3．由x2+2y2-4=3，得椭圆+=1夹在直线y=x±间两段弧，且不包含端点．由x2+2y2-4=-3，得椭圆x2+2y2=1．
21．解：（1）设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则S=r1r2sin∠F1PF2，由r1+r2=2a，
4c2=r12+r22-2cos∠F1PF2，得r1r2=．代入面积公式，得
S=b2=b2tg∠=b2．
（2）设∠A1QB=α，∠A2QB=β，点Q(x0，y0)(0<y0<b)．tgθ=tg(α+β)==
=．∵+=1，∴x02=a2--y02．∴tgθ= ==-．
∴2ab2≤c2y0≤c2b， 即3c4+4a2c2-4a4≥0，∴3e4+4e2-4≥0，解之得e2≥，∴≤e<1为所求．
22．解：（1）用待定系数法．椭圆方程为＝１．
（2）设Ｐ为弦ＭＮ的中点．由得（3k2＋1）x2＋6kmx＋3（m2－1）＝0．由Δ＞０，得m2＜3k2＋1 ①，∴xP＝，从而，yP＝kxp＋m＝．∴kAP＝．由ＭＮ⊥ＡＰ，得　　　＝－，即2m＝3k2＋1 ②．将②代入①，得2m＞m2，解得０＜m＜2．由②得k2＝＞０．解得m＞．故所求m的取值范围为（，２）．

1、征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。
2、忍别人所不能忍的痛，吃别人所别人所不能吃的苦，是为了收获得不到的收获。就像驴子面前吊着个萝卜就会往前走。正因为有那个目标，你才有劲儿往前走。