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第一章
§1.1 集合
1. 关于集合的元素的特征
（1）确定性（组成元素不确定的如：我国的小河流）
（2）互异性
（3）无序性
集合相等：构成两个集合的元素完全一样
(1) 若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.
(2)

例：已知A={1,1+d，1+2d}，B={1，q，q2}，若A=B，求的，d，q的值。
解：d=－34，q=－12

2. 元素与集合的关系；
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作aA
子集与真子集：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作或.
若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，或Q不包含P.记作

若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集. 或.
子集与真子集的性质：传递性：若，，则
空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.

3. 常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作N
正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R

4. 集合的表示方法
（1） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；
（2） 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，…；
（3） 自然语言描述法：小于10的所有正偶数组成的集合。（{2,4,6,8}）
问：1、{1，3，5，7，9}如何用自然语言描述法表示？2、用例举法表示集合
练习：（1）已知集合M={a，b，c}中的三个元素可构成某一三角形的三条边，那么此三角形一定不是（ ）
A直角三角形 B 锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形
5. 集合间的基本运算
并集（∪）：一般的由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，成为集合A与B的并集，记作A∪B，即：
,韦恩图如下：

交集（∩）：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即：
韦恩图如下：

全集（U）：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就成这个集合为全集，记为U。
补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即
CUA ={x | xÎU且 xÏA}，韦恩图如下：
A
U
CUA

练习：
1、若A={0，2，4}，CUA={-1，2}， CUB={-1，0，2}，求B= 。
2、设A={x|x>-2},B={x|x<0},求A∩B.
3、若A={x|x=4n,n∈Z}，B={x|x=6n,n∈Z}，求A∩B.
4、A={x|a≤x≤a+3},B={x|x＜-1或x＞5} ， 分别求出满足下列条件的a的取值范围 : (1) A∩B=Æ (2) A∩B=A
5、已知A={x|-1＜x＜2}, B= {x|1＜x＜3}求A∪B.

7、已知X={x|x2+px+q=0，p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，且
，试求p、q；
8、已知集合A={a+2，(a+1)2，a2+3a+3}，且1∈A，求实数a 的值
9、已知集合A={x|x2－5x＋6=0}，B={x|mx＋1=0}，A∪B=A，求实数m的值组成的集合。
10、集合A={x||x－2|≤2，x∈R}，B={y|y=－x2，－1≤x≤2}，则CR(A∩B)等于（）
A.R B.{x|x∈R，x≠0} C.{0} D. Φ（空集）
11、已知{a，b}A，且A为{a，b，c，d，e}的真子集，则满足条件的集合A的个数是（）
12、记函数f（x）=lg（2x－3）的定义域为集合M，函数g（x）=1－2x－1的定义域为集合N，求：（1）集合M、N；（2）集合m∩N，M∪N
13、已知集合A={x||x－a|≤1}，B={x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B=Φ，则实数a的取值范围是（）

§1.2 函数
函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作： y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域
区间：（1）、开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）、无穷区间；区间的数轴表示
例1：已知函数f (x) = +，求函数的定义域。
例2：设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域。
函数的定义域小结：
（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .
（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .
（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）
（5）满足实际问题有意义.
例3：下列函数中哪个与函数y=x相等？
（1）y = ()2 ; （2）y = () ;
（3）y = ; （4）y=x=-b±b2-4ac2a
练习：1.求下列函数的定义域
（1）y=12－|x|＋x2－1

1－x2
（2） y=lg⁡（|x|－x）

（3）已知f（x）的定义域为（－1,1），求函数F（x）=f（1－x）＋f（1x）的定义域。
2.已知A={1,2,3，k}，B={4,7，a4，a2＋3a}，a∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y=3x+1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k，A，B。
解：a=2，k=5，A={1,2,3,5}，B={4,7,16,10}
映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
记作“：A→B”
说明：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．
（2）“都有唯一”包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．
例：1.已知A={x，y}，B={a，b，c}，从集合A到集合B的所有不同的映射有（）个。
2. 已知A={x，y}，B={a，b，c}，从集合B到集合A的所有不同的映射有（）个。
函数的表示方法：解析法、列表法、图像法
练习：1.已知f（x－2）=2x2－9x＋13，求f（x）——配凑法
答案：f（x）=2x2－x＋3
2.已知f（x＋1）=x＋2x，求f（x＋1），f（x2）——换元法
答案：f（x＋1）=x2＋2x，（x≥0）；f（x2）=x4－1，（x≤－1或x≥1）
3.已知f（x）是一次函数，且有f[f（x）]=9x＋8，求f（x）——待定系数法
答案：f（x）=3x＋2或f（x）=－3x－4
4.设f（x）满足关系式f（x）＋2f（1x）=3x，求f（x）——消元法
答案：f（x）=2x－x，x∈{x|x∈R，x≠0}
6.已知x≠0，函数f（x）满足f（x－1x）=x2＋1x2，则f（x）的表达式为（）
A.f（x）=x＋1x B.f（x）=x2＋2 C.f（x）=x2 D.f（x）=（x－1x）2
7.已知函数f（x）=2x，（x﹤4）fx－1，（x≥4），那么f（5）的值为（）
A.32 B.16 C.8 D.64
8.若函数f（2x＋1）x2－2x，则f（3）=（）
9.已知函数f（x）=x21＋x2，则f（1）＋f（2）＋f（12）＋f（3）＋f（13）＋
f（4）＋f（14）的值为（）
10.已知f（2x＋1）=lgx，求f（x）
11.已知f（x）是二次函数，且f（0）=0，f（x＋1）=f（x）＋x＋1，求f（x）
12.定义在（－1,1）内的函数f（x）满足：2f（x）－f（－x）=lg（x＋1），求函数f（x）的解析式.
§1.3 函数的基本性质

增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。
注意：
(1) 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
(2) 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．
减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1) ＞f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数。
函数的单调性定义：
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
例1：物理学中的玻意耳定律P=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。（设V1＞V2＞0）
判断函数单调性的方法步骤:
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
① 任取x1，x2∈D，且x1<x2；
② 作差f(x1)－f(x2)；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）.
练习：
1、 用函数单调性的定义证明f（x）=x＋2x在（2，＋∞）上是增函数。
2、 若3x－3－y≥5－x－5y成立，则（）
A、x＋y﹥0 B、x＋y﹤0 C、x＋y≥0 D、x＋y≤0
3、函数y=log1/2（4＋3x－x2）的一个单调递增区间是（）
A.（－∞，32） B. [32，＋∞﹚ C.（－1，32） D. [32，4﹚
4.下列函数中，在区间（0,2）上为增函数的是（）
A.y=－x＋1 B.y=x C.y=x2－4x＋5 D.y=2x
5.函数f（x）=11＋x2（x∈R）的值域是（）
A.（0,1） B，（0,1] C. [0,1） D. [0,1]
6.已知函数f（x）ax2＋2ax＋1，x∈[－3,2]的最大值为4，求其最小值.

函数的奇偶性和周期性：
函数的奇偶性定义：
1．偶函数：
一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．
2．奇函数：
一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
3．具有奇偶性的函数的图象的特征：
偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
练习：
1.已知函数f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，当x∈（－∞，0）时，f（x）=x－x4，则当x∈（0，＋∞）时，f（x）=
2.已知f（x）是定义在R上的偶函数.且在[0，＋∞﹚上为增函数，若
f（a）≥f（2），则实数a的取值范围是：
3.函数f（x）对任意实数x满足条件f（x＋2）=1f（x），若f（1）=－5，则
f（f（5））=

第二章 基本初等函数
§2.1指数函数
一、指数和指数幂的运算
1、 n次方根的含义
一般地，若，则x叫做a的n次方根，其中n ＞1，且n∈Ｎ＊

2、 n次方根的写法

零的n次方根为零，记为
小结：正数的偶次方根有两个，并且互为相反数；负数没有偶次方根；零的任何次方根为零。　
【例1】写出下列数的n次方根
(1)16的四次方根；（２）－２７的五次方根；（３）９的六次方根
解：（１）
（２）
　（３）
３、n次方根的性质
归纳：n次方根的运算性质为
（１）
（２）n为奇数，
n为偶数,
【例2】求下列各式的值
（1） （a>b）
解：　＝－８；
＝　＝１０；
＝；
＝.
[随堂练习]
1. 求出下列各式的值
(a>1)
解：（1）； （2）
（3）3a-3
【例3】：求值：

分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；
解：

[随堂练习]
2．若。
解：
3．计算
解：-9+
第二节
1、分数指数幂
规定：（1）、正数的正分数指数幂的意义为：

正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.
即：
（2）、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.
2、分数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质，对于分数指数幂同样适用，即：

（1）
（2）
（3））
３、无理指数幂
思考：若＞0，P是一个无理数，则该如何理解？
自主学习：学生阅读教材第６２页中的相关内容
归纳得出：的不足近似值，从由小于的方向逼近，的过剩近似值从大于的方向逼近。所以，当不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近.
当的过剩似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近，(如课本图所示) 所以，是一个确定的实数.
总结：一般来说，无理数指数幂是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂. 这样幂的性质就推广到了实数范围

练习：
[轻松过关]
１、下列式子中计算正确的是（　D　　）
A B C D
2下列式子中计算正确的有（　A　　）
（１）；（２）　（３）
A 0 B 1 C 2 D 3
３、的值是（　　Ｂ）
Ａ　２　　　Ｂ　　　Ｃ　　Ｄ　８
４、下列说法正确的是（　Ｃ　）
Ａ无意义　Ｂ　Ｃ　Ｄ
５、用计算器算０．０１２８；（保留４个有效数字）
６、已知 ，则＝　　　７　　　　；
７、计算的值

解：原式＝

[适度拓展]
８、化简： （e=2.718¼
）
解：原式＝ + = ２
9、已知求的值
解原式＝，提示： ）
[综合提高]
１０、已知：，，
求的值.
解：由，
又1<a<b，∴，从而得，
∴原式==
=.
二、指数函数及其性质
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
x
y
0
y=2x
定义：一般地，函数（＞0且≠1）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R.
当＞1时，函数的图象为：

-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
x
y
0
当0＜＜1时，函数的图象为：

图象特征
函数性质
＞1
0＜＜1
＞1
0＜＜1
向轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
图象关于原点和轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都在轴上方
函数的值域为R+
函数图象都过定点（0，1）
=1
自左向右，
图象逐渐上升
自左向右，
图象逐渐下降
增函数
减函数
在第一象限内的图
象纵坐标都大于1
在第一象限内的图
象纵坐标都小于1
＞0，＞1
＞0，＜1
在第二象限内的图
象纵坐标都小于1
在第二象限内的图
象纵坐标都大于1
＜0，＜1
＜0，＞1

利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在（＞0且≠1）值域是
（2）若
（3）对于指数函数（＞0且≠1），总有
（4）当＞1时，若＜，则＜；
练习：
1、函数
2、当（－，１）

§2.2对数函数
对数与对数运算
对数：一般地，若，那么数叫做以a为底N的对数，记作
叫做对数的底数，N叫做真数.
2、对数式与指数式的互化
在对数的概念中，要注意：
（1）底数的限制＞0，且≠1
（2）
指数式对数式
幂底数←→对数底数
指 数←→对数
幂 ←N→真数
恒等式：=N
负数和零没有对数。
Loga1=0；logaa=1
两类对数：
① 以10为底的对数称为常用对数，常记为.
② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，常记为.
例：求下列各式中x的值
（1） （2） （3） （4）
分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.
解：（1）
（2）
（3）
（4），所以
对数的运算
运算性质：
　　如果，且，，，那么：
·＋；
－；
．

换底公式
（，且；，且；）．
证明：设ax=b，所以logcax=logcb，因为logcax=xlogca；所以
X=logcax/logca=logcb/logca=logab
换底公式推论
（1）；
（2）．
对数函数的图象
（1）
（2）
（3）
（4）

图象特征
函数性质

函数图象都在y轴右侧
函数的定义域为（0，＋∞）
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸
函数的值域为R
函数图象都过定点（1，1）

自左向右看，
图象逐渐上升
自左向右看，
图象逐渐下降
增函数
减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0
第一象限的图象纵坐标都大于0

第二象限的图象纵坐标都小于0
第二象限的图象纵坐标都小于0

§2.3幂函数
定义：一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.
如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.
五种基本幂函数：

y=x3
y=x-1

定义域
R
R
R

奇偶性
奇
奇
奇
非奇非偶
奇
在第Ⅰ象限单调增减性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减
定点
（1，1）
（1，1）
（1，1）
（1，1）
（1，1）

幂函数性质：
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：）；
（2）＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.
特别地，当＞1，＞1时，∈（0，1），的图象都在图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）
当∠α＜1时，∈（0，1），的图象都在的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.
在第一家限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴.

例题：
证明幂函数上是增函数

证：任取＜则

=
=
因＜0，＞0
所以，即上是增函数.

第三章 函数的应用
§3.1 函数与方程

零点定义：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．
函数零点的意义：
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．
即：
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
函数零点的求法：
求函数的零点：
①（代数法）求方程的实数根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
二次函数的零点：
二次函数
　　　．
（１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
零点存在性的探索：
（Ⅰ）观察二次函数的图象：
① 在区间上有零点______；
_______，_______,
·_____0（＜或＞＝）．
② 在区间上有零点______；
·____0（＜或＞＝）．
（Ⅱ）观察下面函数的图象

① 在区间上______(有/无)零点；
·_____0（＜或＞＝）．
② 在区间上______(有/无)零点；

·_____0（＜或＞＝）．
③ 在区间上______(有/无)零点；
·_____0（＜或＞＝）．

§3.2 二分法

概念：对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）＜0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
求二分法步骤：
1. 确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ε；
2. 求区间（a，b）的中点c；
3. 计算f（c）；
（1） 若f（c）=0，则c就是函数的零点；
（2） 若f（a）·f（b）＜0，则令b=c（此时零点x0∈（a，c））；
（3） 若f（c）·f（b）＜0，则令a=c（此时零点x0∈（c，b））；
4. 判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复2到4.