高一数学必修1主要考点.doc

高中数学必修1主要考点
考点一：集合间的运算：求交集(A∩B）、并集(A∪B)、补集(CUA)
类型题1：用列举法表示的集合间的运算
对于用列举法表示的集合间的运算，A∩B（交集）为A与B的相同元素组成的集合，A∪B（并集）为A与B的所有元素合在一起并把重复元素去掉一个所组成的集合，CUA（补集）为在全集U中把A拥有的元素全部去掉剩下的元素所组成的集合。
例1、已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A={1,3,5,7}，集合B={2,5,8}，求A∩B，A∪B，CUA。
解：A∩B={1,3,5,7}∩{2,5,8}={5}
A∪B={1,3,5,7}∪{2,5,8}={1,2,3,5,7,8}
CUA={2,4,6,8,9,10}
类型题2：用描述法表示的集合间的运算（主要针对用不等式描述元素特征）
对于用描述法表示的集合间的运算，主要采用数形结合的方法，将集合用数轴或文氏图表示出来（常选用数轴表示），再通过观察图形求相应运算。A∩B（交集）为图形中A与B重叠即共同拥有的部分表示的集合。A∪B（并集）为图形中A加上B所表示的集合。CUA（补集）为图形中表示全集U的部分中去除表示A剩下的部分所表示的集合（若全集为R，则数轴表示时是整条数轴）注意表示数轴是带有等于号的用实心点表示，没带等于号的用空心点表示。
例2、已知集合A={x|0<x<2}，B={x|-1<x<3}，求A∩B，A∪B，CRA。
解：A∩B={x|0<x<2}∩{x|-1<x<3}={x|0<x<2}
数轴表示：（此部分可在草稿纸进行）

A∪B={x|0<x<2}∪{x|-1<x<3}={x|-1<x <3}
数轴表示：（此部分可在草稿纸进行）

CRA={x|x≤0或x≥2}
数轴表示：（此部分可在草稿纸进行）

考点二：求函数的定义域
求函数定义域的主要依据：
（1）分式的分母不为0；
（2）偶次方根的被开方数不小于0，0取0次方没有意义（即指数为0的幂函数底数不能为0）；
（3）对数函数的真数必须大于0；
（4）指数函数和对数函数的底数必须大于0且不等于1；
（5）当函数涉及实际问题时，还必须保证实际问题有意义。
（6）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合。（即求各集合的交集）
注意：函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式。
例1：已知函数f (x) = +，求函数的定义域。
解： 解得：
∴所给函数的定义域为。
例2、求函数的定义域。
解： 解得： ∴所给函数的定义域为。
例3、求函数的定义域。
解： 解得： ∴所给函数的定义域为。
例4、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.
解：由题意知，另一边长为，且边长为正数，所以0＜x＜40.
所以s= = （40－x）x （0＜x＜40）

考点三：相同函数的判断
构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
例1、下列函数中哪个与函数y=x相等？
（1）y = ()2 ; （2）y = () ; （3）y = ; （4）y=
解：函数y=x的定义域为R，对应关系为y=x；
（1）y = ()2的定义域为{x|x>0}，定义域不相同；
（2）y = ()定义域为R，化简后对应关系为y=x，与y=x为同一函数；
（3）y =定义域为R，化简后对应关系为y=|x|，对应关系不相同；
（4）y=定义域为{x|x≠0}，定义域不相同。
考点四：单调性证明及性质应用
1、定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数。
2、性质
增函数：在单调区间内，对于任意x1<x2，均有f(x1)<f(x2)，且函数图象在此区间内呈现上升趋势；
减函数：在单调区间内，对于任意x1<x2，均有f(x1)>f(x2)，且函数图象在此区间内呈现下降趋势；
3、定义法证明单调性步骤
① 在单调区间内任取x1，x2∈D，且x1<x2；（取值）
② 作差f(x1)－f(x2)；
③ 变形（通常是因式分解和配方）；
④ 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
例1、证明函数f（x）＝在［3,5］上是减函数。
证明：设，且，则

，
，

因此，函数f（x）＝在［3,5］上是减函数。
4、利用函数单调性求变量取值范围
常见给出一个二次函数在某一区间上的单调性，并求变量的取值范围。此类题型注意二次函数的对称轴必须落在所给单调区间的外面，再结合二次函数开口方向即可求解。
例2、设函数在区间上是增函数，求实数的取值范围。
解：∵二次函数图象开口向上，
对称轴为：
∴函数在区间上是增函数
又由题意知：函数在区间上是增函数
∴，解得： ∴实数的取值范围为
考点五：求函数最值：求函数最值一般结合函数单调性进行求解
例1、求函数，的最大值与最小值。
解：∵函数为二次函数，图像开口向上，对称轴为x=1
∴函数在对称轴处取得最小值f(1)=-2，又f(0)=f(2)=-1，故函数最大值为-1。
考点六：奇偶性判断及性质应用
1、定义
偶函数：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．
奇函数：一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．
2、性质
偶函数：，图象关于y轴对称；
图象在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。
奇函数：，图象关于原点对称， ；
图象在关于原点对称的两个区间上的单调性相同。
典型题：利用奇偶性性质求函数解析式
例1、函数是定义域为R的奇函数，当时，，求当时，的表达式。
解：令则
是定义域为R的奇函数，
∴当时，。
∴当时，的表达式为：
3、判断奇偶性步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定；
③作出相应结论：
若；
若
例2、判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
解：（1）的定义域为{2}，定义域不关于原点对称
因此函数既不是奇函数，也不是偶函数
（2）的定义域为R，定义域关于原点对称
又
∴是偶函数
考点七：指数式、对数式运算
1、实数指数幂的运算性质：
（1）·
（2）
（3）
2、对数的运算性质：如果，且，，，那么：
·＋；
－；
．
3、换底公式：
（，且；，且；）．
例1计算下列各式的值：
（1） (2) (3)
解：（1）
（2）
（3）
考点八：指数型函数、对数型函数、幂函数过定点问题
利用指数函数、对数函数、幂函数过定点求解：
指数函数图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1（即ax=1）。
对数函数图象过定点（1,0），即当x=1时，y=0（即logax=0）。
幂函数图象过定点（1,1），即当x=1时，y=1（即xa=1）。
例：函数的图象必经过点 。
解：由指数函数过定点（0，1）可知：
当x-2=0时，ax-2=1，则y= ax-2+1=1+1=2，
即当x=2时，y= ax-2+1=2，
因此，函数的图象必经过点（2，2）。
考点九：指数不等式、对数不等式
借助指数函数、对数函数图象性质（尤其是单调性）求解：
指数函数：若0<a<1：当 x < 0 时，y > 1；当 x > 0 时，0＜y < 1 。在定义域上减。
若a >1： 当 x < 0 时，0＜y < 1；当 x > 0 时，y > 1。在定义域上增。
对数函数：若0<a<1：当0<x<1时, y>0；当x>1时, y<0。在定义域上减。
若a >1： 当0<x<1时, y<0；当x>1时, y>0。在定义域上增。
注意别忽略对数式对真数的限制：真数大于0。
例：解不等式
解：∵对数式中真数大于0，∴解得
又函数在上是增函数
∴原不等式化为解得
∴原不等式的解集是
考点十：利用指数函数、对数函数单调性求变量取值范围
例：已知函数y=(a+1)x在R上为减函数，求变量a的取值范围。
解：由函数y=(a+1)x在R上为减函数可知：0<a+1<1 解得：-1<a<0
因此，变量a的取值范围为{a|-1<a<0}。
考点十一：零点问题
1、方程与函数的关系：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与轴有交点函数y=f(x)有零点．
2、求函数零点（或方程的根）所在区间：
方法一：（代入法）对于选择题，可选用代入法，根据零点定理（y=f(x)是在区间
[a，b]上的连续函数，如果有f(a)f(b)<0，则：函数y=f(x)在区间[a，b]内有零点，方程f(x)=0在（a，b）内有实根。）确定零点所在区间。
例1：函数的零点所在的一个区间是（ ）
A、（-2，-1） B、（-1，0） C、（0，1） D、（1，2）
【解析】代入法。选C。
方法二：（图像法）若所给函数由基本初等函数组合而成（即G(x)=g(x)-f(x)），可将函数对应的方程化成f(x)=g(x)的形式，则零点所在区间就是这两个函数f(x)与g(x)图像交点所在区间。在坐标轴上画出两个函数的图形，找出图像交点所在区间即可。
如上面的例1中函数对应方程可化为，在坐标轴上画出函数的图象，可发现两函数图象交点在区间（0，1）内。
3、求函数零点（方程的根）的个数或根据零点个数求变量取值范围。
求函数零点的个数即求对应方程的根的个数，也是函数图象与x轴的交点个数。比较常见涉及的函数为二次函数。此类题型可用二次函数的图像或对应一元二次方程的根的判别式△进行判断。
例2：函数有 个零点。
解：令方程有一实根。
因此，函数有 1 个零点。
例3：函数只有有一个零点，求a的取值范围。
解：（1）若a=0，则f(x)=-x-1为一次函数，函数必有一个零点为-1；
（2）若a≠0,则函数是二次函数，由函数只有一个零点知：

综上所述，当是函数只有一个零点。