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高一数学必修1主要考点.doc

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高中数学必修1主要考点 考点一:集合间的运算:求交集(A∩B)、并集(A∪B)、补集(CUA) 类型题1:用列举法表示的集合间的运算 对于用列举法表示的集合间的运算,A∩B(交集)为A与B的相同元素组成的集合,A∪B(并集)为A与B的所有元素合在一起并把重复元素去掉一个所组成的集合,CUA(补集)为在全集U中把A拥有的元素全部去掉剩下的元素所组成的集合。 例1、已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合A={1,3,5,7},集合B={2,5,8},求A∩B,A∪B,CUA。 解:A∩B={1,3,5,7}∩{2,5,8}={5} A∪B={1,3,5,7}∪{2,5,8}={1,2,3,5,7,8} CUA={2,4,6,8,9,10} 类型题2:用描述法表示的集合间的运算(主要针对用不等式描述元素特征) 对于用描述法表示的集合间的运算,主要采用数形结合的方法,将集合用数轴或文氏图表示出来(常选用数轴表示),再通过观察图形求相应运算。A∩B(交集)为图形中A与B重叠即共同拥有的部分表示的集合。A∪B(并集)为图形中A加上B所表示的集合。CUA(补集)为图形中表示全集U的部分中去除表示A剩下的部分所表示的集合(若全集为R,则数轴表示时是整条数轴)注意表示数轴是带有等于号的用实心点表示,没带等于号的用空心点表示。 例2、已知集合A={x|0<x<2},B={x|-1<x<3},求A∩B,A∪B,CRA。 解:A∩B={x|0<x<2}∩{x|-1<x<3}={x|0<x<2} 数轴表示:(此部分可在草稿纸进行) A∪B={x|0<x<2}∪{x|-1<x<3}={x|-1<x <3} 数轴表示:(此部分可在草稿纸进行) CRA={x|x≤0或x≥2} 数轴表示:(此部分可在草稿纸进行) 考点二:求函数的定义域 求函数定义域的主要依据: (1)分式的分母不为0; (2)偶次方根的被开方数不小于0,0取0次方没有意义(即指数为0的幂函数底数不能为0); (3)对数函数的真数必须大于0; (4)指数函数和对数函数的底数必须大于0且不等于1; (5)当函数涉及实际问题时,还必须保证实际问题有意义。 (6)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合。(即求各集合的交集) 注意:函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式。 例1:已知函数f (x) = +,求函数的定义域。 解: 解得: ∴所给函数的定义域为。 例2、求函数的定义域。 解: 解得: ∴所给函数的定义域为。 例3、求函数的定义域。 解: 解得: ∴所给函数的定义域为。 例4、设一个矩形周长为80,其中一边长为x,求它的面积关于x的函数的解析式,并写出定义域. 解:由题意知,另一边长为,且边长为正数,所以0<x<40. 所以s= = (40-x)x (0<x<40) 考点三:相同函数的判断 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。 例1、下列函数中哪个与函数y=x相等? (1)y = ()2 ; (2)y = () ; (3)y = ; (4)y= 解:函数y=x的定义域为R,对应关系为y=x; (1)y = ()2的定义域为{x|x>0},定义域不相同; (2)y = ()定义域为R,化简后对应关系为y=x,与y=x为同一函数; (3)y =定义域为R,化简后对应关系为y=|x|,对应关系不相同; (4)y=定义域为{x|x≠0},定义域不相同。 考点四:单调性证明及性质应用 1、定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I, 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数; 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数。 2、性质 增函数:在单调区间内,对于任意x1<x2,均有f(x1)<f(x2),且函数图象在此区间内呈现上升趋势; 减函数:在单调区间内,对于任意x1<x2,均有f(x1)>f(x2),且函数图象在此区间内呈现下降趋势; 3、定义法证明单调性步骤 ① 在单调区间内任取x1,x2∈D,且x1<x2;(取值) ② 作差f(x1)-f(x2); ③ 变形(通常是因式分解和配方); ④ 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ⑤ 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). 例1、证明函数f(x)=在[3,5]上是减函数。 证明:设,且,则 , , 因此,函数f(x)=在[3,5]上是减函数。 4、利用函数单调性求变量取值范围 常见给出一个二次函数在某一区间上的单调性,并求变量的取值范围。此类题型注意二次函数的对称轴必须落在所给单调区间的外面,再结合二次函数开口方向即可求解。 例2、设函数在区间上是增函数,求实数的取值范围。 解:∵二次函数图象开口向上, 对称轴为: ∴函数在区间上是增函数 又由题意知:函数在区间上是增函数 ∴,解得: ∴实数的取值范围为 考点五:求函数最值:求函数最值一般结合函数单调性进行求解 例1、求函数,的最大值与最小值。 解:∵函数为二次函数,图像开口向上,对称轴为x=1 ∴函数在对称轴处取得最小值f(1)=-2,又f(0)=f(2)=-1,故函数最大值为-1。 考点六:奇偶性判断及性质应用 1、定义 偶函数:一般地,对于函数的定义域内的任意一个,都有,那么就叫做偶函数.(学生活动)依照偶函数的定义给出奇函数的定义. 奇函数:一般地,对于函数的定义域的任意一个,都有,那么就叫做奇函数. 2、性质 偶函数:,图象关于y轴对称; 图象在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。 奇函数:,图象关于原点对称, ; 图象在关于原点对称的两个区间上的单调性相同。 典型题:利用奇偶性性质求函数解析式 例1、函数是定义域为R的奇函数,当时,,求当时,的表达式。 解:令则 是定义域为R的奇函数, ∴当时,。 ∴当时,的表达式为: 3、判断奇偶性步骤: ①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ②确定; ③作出相应结论: 若; 若 例2、判断下列函数的奇偶性 (1) (2) 解:(1)的定义域为{2},定义域不关于原点对称 因此函数既不是奇函数,也不是偶函数 (2)的定义域为R,定义域关于原点对称 又 ∴是偶函数 考点七:指数式、对数式运算 1、实数指数幂的运算性质: (1)· (2) (3) 2、对数的运算性质:如果,且,,,那么: ·+; -; . 3、换底公式: (,且;,且;). 例1计算下列各式的值: (1) (2) (3) 解:(1) (2) (3) 考点八:指数型函数、对数型函数、幂函数过定点问题 利用指数函数、对数函数、幂函数过定点求解: 指数函数图象过定点(0,1),即当x=0时,y=1(即ax=1)。 对数函数图象过定点(1,0),即当x=1时,y=0(即logax=0)。 幂函数图象过定点(1,1),即当x=1时,y=1(即xa=1)。 例:函数的图象必经过点 。 解:由指数函数过定点(0,1)可知: 当x-2=0时,ax-2=1,则y= ax-2+1=1+1=2, 即当x=2时,y= ax-2+1=2, 因此,函数的图象必经过点(2,2)。 考点九:指数不等式、对数不等式 借助指数函数、对数函数图象性质(尤其是单调性)求解: 指数函数:若0<a<1:当 x < 0 时,y > 1;当 x > 0 时,0<y < 1 。在定义域上减。 若a >1: 当 x < 0 时,0<y < 1;当 x > 0 时,y > 1。在定义域上增。 对数函数:若0<a<1:当0<x<1时, y>0;当x>1时, y<0。在定义域上减。 若a >1: 当0<x<1时, y<0;当x>1时, y>0。在定义域上增。 注意别忽略对数式对真数的限制:真数大于0。 例:解不等式 解:∵对数式中真数大于0,∴解得 又函数在上是增函数 ∴原不等式化为解得 ∴原不等式的解集是 考点十:利用指数函数、对数函数单调性求变量取值范围 例:已知函数y=(a+1)x在R上为减函数,求变量a的取值范围。 解:由函数y=(a+1)x在R上为减函数可知:0<a+1<1 解得:-1<a<0 因此,变量a的取值范围为{a|-1<a<0}。 考点十一:零点问题 1、方程与函数的关系:方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与轴有交点函数y=f(x)有零点. 2、求函数零点(或方程的根)所在区间: 方法一:(代入法)对于选择题,可选用代入法,根据零点定理(y=f(x)是在区间 [a,b]上的连续函数,如果有f(a)f(b)<0,则:函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点,方程f(x)=0在(a,b)内有实根。)确定零点所在区间。 例1:函数的零点所在的一个区间是( ) A、(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1) D、(1,2) 【解析】代入法。选C。 方法二:(图像法)若所给函数由基本初等函数组合而成(即G(x)=g(x)-f(x)),可将函数对应的方程化成f(x)=g(x)的形式,则零点所在区间就是这两个函数f(x)与g(x)图像交点所在区间。在坐标轴上画出两个函数的图形,找出图像交点所在区间即可。 如上面的例1中函数对应方程可化为,在坐标轴上画出函数的图象,可发现两函数图象交点在区间(0,1)内。 3、求函数零点(方程的根)的个数或根据零点个数求变量取值范围。 求函数零点的个数即求对应方程的根的个数,也是函数图象与x轴的交点个数。比较常见涉及的函数为二次函数。此类题型可用二次函数的图像或对应一元二次方程的根的判别式△进行判断。 例2:函数有 个零点。 解:令方程有一实根。 因此,函数有 1 个零点。 例3:函数只有有一个零点,求a的取值范围。 解:(1)若a=0,则f(x)=-x-1为一次函数,函数必有一个零点为-1; (2)若a≠0,则函数是二次函数,由函数只有一个零点知: 综上所述,当是函数只有一个零点。
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