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高中数学必修1主要考点
考点一:集合间的运算:求交集(A∩B)、并集(A∪B)、补集(CUA)
类型题1:用列举法表示的集合间的运算
对于用列举法表示的集合间的运算,A∩B(交集)为A与B的相同元素组成的集合,A∪B(并集)为A与B的所有元素合在一起并把重复元素去掉一个所组成的集合,CUA(补集)为在全集U中把A拥有的元素全部去掉剩下的元素所组成的集合。
例1、已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合A={1,3,5,7},集合B={2,5,8},求A∩B,A∪B,CUA。
解:A∩B={1,3,5,7}∩{2,5,8}={5}
A∪B={1,3,5,7}∪{2,5,8}={1,2,3,5,7,8}
CUA={2,4,6,8,9,10}
类型题2:用描述法表示的集合间的运算(主要针对用不等式描述元素特征)
对于用描述法表示的集合间的运算,主要采用数形结合的方法,将集合用数轴或文氏图表示出来(常选用数轴表示),再通过观察图形求相应运算。A∩B(交集)为图形中A与B重叠即共同拥有的部分表示的集合。A∪B(并集)为图形中A加上B所表示的集合。CUA(补集)为图形中表示全集U的部分中去除表示A剩下的部分所表示的集合(若全集为R,则数轴表示时是整条数轴)注意表示数轴是带有等于号的用实心点表示,没带等于号的用空心点表示。
例2、已知集合A={x|0<x<2},B={x|-1<x<3},求A∩B,A∪B,CRA。
解:A∩B={x|0<x<2}∩{x|-1<x<3}={x|0<x<2}
数轴表示:(此部分可在草稿纸进行)
A∪B={x|0<x<2}∪{x|-1<x<3}={x|-1<x <3}
数轴表示:(此部分可在草稿纸进行)
CRA={x|x≤0或x≥2}
数轴表示:(此部分可在草稿纸进行)
考点二:求函数的定义域
求函数定义域的主要依据:
(1)分式的分母不为0;
(2)偶次方根的被开方数不小于0,0取0次方没有意义(即指数为0的幂函数底数不能为0);
(3)对数函数的真数必须大于0;
(4)指数函数和对数函数的底数必须大于0且不等于1;
(5)当函数涉及实际问题时,还必须保证实际问题有意义。
(6)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合。(即求各集合的交集)
注意:函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式。
例1:已知函数f (x) = +,求函数的定义域。
解: 解得:
∴所给函数的定义域为。
例2、求函数的定义域。
解: 解得: ∴所给函数的定义域为。
例3、求函数的定义域。
解: 解得: ∴所给函数的定义域为。
例4、设一个矩形周长为80,其中一边长为x,求它的面积关于x的函数的解析式,并写出定义域.
解:由题意知,另一边长为,且边长为正数,所以0<x<40.
所以s= = (40-x)x (0<x<40)
考点三:相同函数的判断
构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)
两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。
例1、下列函数中哪个与函数y=x相等?
(1)y = ()2 ; (2)y = () ; (3)y = ; (4)y=
解:函数y=x的定义域为R,对应关系为y=x;
(1)y = ()2的定义域为{x|x>0},定义域不相同;
(2)y = ()定义域为R,化简后对应关系为y=x,与y=x为同一函数;
(3)y =定义域为R,化简后对应关系为y=|x|,对应关系不相同;
(4)y=定义域为{x|x≠0},定义域不相同。
考点四:单调性证明及性质应用
1、定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数;
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数。
2、性质
增函数:在单调区间内,对于任意x1<x2,均有f(x1)<f(x2),且函数图象在此区间内呈现上升趋势;
减函数:在单调区间内,对于任意x1<x2,均有f(x1)>f(x2),且函数图象在此区间内呈现下降趋势;
3、定义法证明单调性步骤
① 在单调区间内任取x1,x2∈D,且x1<x2;(取值)
② 作差f(x1)-f(x2);
③ 变形(通常是因式分解和配方);
④ 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
⑤ 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
例1、证明函数f(x)=在[3,5]上是减函数。
证明:设,且,则
,
,
因此,函数f(x)=在[3,5]上是减函数。
4、利用函数单调性求变量取值范围
常见给出一个二次函数在某一区间上的单调性,并求变量的取值范围。此类题型注意二次函数的对称轴必须落在所给单调区间的外面,再结合二次函数开口方向即可求解。
例2、设函数在区间上是增函数,求实数的取值范围。
解:∵二次函数图象开口向上,
对称轴为:
∴函数在区间上是增函数
又由题意知:函数在区间上是增函数
∴,解得: ∴实数的取值范围为
考点五:求函数最值:求函数最值一般结合函数单调性进行求解
例1、求函数,的最大值与最小值。
解:∵函数为二次函数,图像开口向上,对称轴为x=1
∴函数在对称轴处取得最小值f(1)=-2,又f(0)=f(2)=-1,故函数最大值为-1。
考点六:奇偶性判断及性质应用
1、定义
偶函数:一般地,对于函数的定义域内的任意一个,都有,那么就叫做偶函数.(学生活动)依照偶函数的定义给出奇函数的定义.
奇函数:一般地,对于函数的定义域的任意一个,都有,那么就叫做奇函数.
2、性质
偶函数:,图象关于y轴对称;
图象在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。
奇函数:,图象关于原点对称, ;
图象在关于原点对称的两个区间上的单调性相同。
典型题:利用奇偶性性质求函数解析式
例1、函数是定义域为R的奇函数,当时,,求当时,的表达式。
解:令则
是定义域为R的奇函数,
∴当时,。
∴当时,的表达式为:
3、判断奇偶性步骤:
①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
②确定;
③作出相应结论:
若;
若
例2、判断下列函数的奇偶性
(1) (2)
解:(1)的定义域为{2},定义域不关于原点对称
因此函数既不是奇函数,也不是偶函数
(2)的定义域为R,定义域关于原点对称
又
∴是偶函数
考点七:指数式、对数式运算
1、实数指数幂的运算性质:
(1)·
(2)
(3)
2、对数的运算性质:如果,且,,,那么:
·+;
-;
.
3、换底公式:
(,且;,且;).
例1计算下列各式的值:
(1) (2) (3)
解:(1)
(2)
(3)
考点八:指数型函数、对数型函数、幂函数过定点问题
利用指数函数、对数函数、幂函数过定点求解:
指数函数图象过定点(0,1),即当x=0时,y=1(即ax=1)。
对数函数图象过定点(1,0),即当x=1时,y=0(即logax=0)。
幂函数图象过定点(1,1),即当x=1时,y=1(即xa=1)。
例:函数的图象必经过点 。
解:由指数函数过定点(0,1)可知:
当x-2=0时,ax-2=1,则y= ax-2+1=1+1=2,
即当x=2时,y= ax-2+1=2,
因此,函数的图象必经过点(2,2)。
考点九:指数不等式、对数不等式
借助指数函数、对数函数图象性质(尤其是单调性)求解:
指数函数:若0<a<1:当 x < 0 时,y > 1;当 x > 0 时,0<y < 1 。在定义域上减。
若a >1: 当 x < 0 时,0<y < 1;当 x > 0 时,y > 1。在定义域上增。
对数函数:若0<a<1:当0<x<1时, y>0;当x>1时, y<0。在定义域上减。
若a >1: 当0<x<1时, y<0;当x>1时, y>0。在定义域上增。
注意别忽略对数式对真数的限制:真数大于0。
例:解不等式
解:∵对数式中真数大于0,∴解得
又函数在上是增函数
∴原不等式化为解得
∴原不等式的解集是
考点十:利用指数函数、对数函数单调性求变量取值范围
例:已知函数y=(a+1)x在R上为减函数,求变量a的取值范围。
解:由函数y=(a+1)x在R上为减函数可知:0<a+1<1 解得:-1<a<0
因此,变量a的取值范围为{a|-1<a<0}。
考点十一:零点问题
1、方程与函数的关系:方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与轴有交点函数y=f(x)有零点.
2、求函数零点(或方程的根)所在区间:
方法一:(代入法)对于选择题,可选用代入法,根据零点定理(y=f(x)是在区间
[a,b]上的连续函数,如果有f(a)f(b)<0,则:函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点,方程f(x)=0在(a,b)内有实根。)确定零点所在区间。
例1:函数的零点所在的一个区间是( )
A、(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1) D、(1,2)
【解析】代入法。选C。
方法二:(图像法)若所给函数由基本初等函数组合而成(即G(x)=g(x)-f(x)),可将函数对应的方程化成f(x)=g(x)的形式,则零点所在区间就是这两个函数f(x)与g(x)图像交点所在区间。在坐标轴上画出两个函数的图形,找出图像交点所在区间即可。
如上面的例1中函数对应方程可化为,在坐标轴上画出函数的图象,可发现两函数图象交点在区间(0,1)内。
3、求函数零点(方程的根)的个数或根据零点个数求变量取值范围。
求函数零点的个数即求对应方程的根的个数,也是函数图象与x轴的交点个数。比较常见涉及的函数为二次函数。此类题型可用二次函数的图像或对应一元二次方程的根的判别式△进行判断。
例2:函数有 个零点。
解:令方程有一实根。
因此,函数有 1 个零点。
例3:函数只有有一个零点,求a的取值范围。
解:(1)若a=0,则f(x)=-x-1为一次函数,函数必有一个零点为-1;
(2)若a≠0,则函数是二次函数,由函数只有一个零点知:
综上所述,当是函数只有一个零点。
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