高考数学第1轮总复习 全国统编教材 12.1数学归纳法及其应用(第2课时)课件 理 课件.ppt

立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,*,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,*,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,*,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,*,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,*,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,单击此处编辑母版文本样式,第十二章 极限与导数,数学归纳法及其应用,第 讲,（第二课时）,1,题型,3,用数学归纳法探求数列的通项公式,1.已知数列,a,n,满足：,a,1,=1，,a,2,=,，,a,n,(,a,n,+1,-1)=,n,(,a,n,+1-,a,n,)(,n,2)，求数列,a,n,的通项公式.,解：,由已知可得,因为,a,1,=1，,a,2,=,，,所以,由此猜想,：,2,证明,:,(1),当,n,=1,时，结论成立,.,(2),假设当,n=k,时结论成立，即,则当,n=k,+1,时，,所以当,n=k,+1,时，结论也成立,.,综合,(1)(2),知，,数列,a,n,的通项公式是,3,点评：,“归纳猜想证明”是求数列的通项公式与前,n,项和公式的常用方法，也是近几年高考理科数学试卷中数列问题的一个主要类型，应引起足够的重视.,4,数列,a,n,满足,S,n,=2,n-a,n,(,n,N*).,(1)计算,a,1,a,2,a,3,a,4,并由此猜想通项公式,a,n,;,(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.,解：,(1)当,n,=1时，,a,1,=,S,1,=2-,a,1,所以,a,1,=1;,当,n,=2时，,a,1,+,a,2,=,S,2,=22-,a,2,所以,a,2,=,;,当,n,=3时，,a,1,+,a,2,+,a,3,=,S,3,=23,-a,3,所以,a,3,=,;,当,n,=4时，,a,1,+,a,2,+,a,3,+a,4,=,S,4,=24-,a,4,所以,a,4,=,.由此猜想,5,(2),证明:,当,n,=1时，,a,1,=1，结论成立.,假设,n=k,(,k,1且,k,N*)时,结论成立，,即,那么当,n=k,+1(,k,1且,k,N*)时，,a,k,+1,=,S,k,+1,-,S,k,=2(,k,+1)-,a,k,+1,-2,k,+,a,k,=2+,a,k,-,a,k,+1,.,所以2,a,k,+1,=2+,a,k,所以,这表明,n=k+,1时，结论也成立.,由知，猜想,成立.,6,题型,4,用数学归纳法探求数列的有关性质,2.,已知两个数列,a,n,、,b,n,满足：,a,1,=2,，,b,1,=-1,，且,a,n,=,a,n,-1,b=,，试推测,a,n,+,b,n,的变化规律，并证明你的结论,.,解：,当,n,=1,时，,a,1,+b,1,=1.,因为,所以,a,2,+,b,2,=1,，,由此猜测：,a,n,+b,n,=1.,证明：,(1),当,n,=1,时，,a,1,+,b,1,=1,显然成立,.,7,(2)假设当,n=k,时，,a,k,+b,k,=1，,即,b,k,=1-,a,k,成立，,则,a,k,+1,+,b,k,+1,=,a,k,b,k,+1,+,b,k,+1,=(,a,k,+1),b,k,+1,所以当,n=k,+1时，结论成立.,综合(1)(2)知，对任意,n,N*，都有,a,n,+b,n,=1.,故,a,n,+b,n,=1，为定值.,8,点评：,探求数列中的有关性质，一般是先观察,n,=1,，,2,，,3,时的命题的性质，对这几项进行归纳、分析，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法来证明,.,9,已知数列,a,n,是公差不为零的等差数列，且,a,4,是,a,2,与,a,8,的等比中项，设,b,n,=,a,n,a,n,+1,a,n,+2,，,S,n,为数列,b,n,的前,n,项和，试推断是否存在常数,p,，使对一切,n,N*都有,pa,1,S,n,=b,n,a,n,+3成立？说明你的理由.,解：,设数列,a,n,的公差为,d,(,d,0).,由已知，得,a,2,a,8,=,a,4,2,，,所以(,a,1,+,d,)(,a,1,+7,d,)=(,a,1,+3,d,),2,，,则,a,1,=,d,，所以,a,n,=,nd,.,10,(1),当,n,=1,时，所以,4,a,1,S,1,=,b,1,a,4,成立,.,(2),假设当,n=k,时，,4,a,1,S,k,=b,k,a,k,+3,成立,即,则,11,所以,4,a,1,S,k,+1,=,b,k,+1,a,k,+4,，,即,n=k,+1,时，有,4,a,1,S,n,=,b,n,a,n,+3,成立,.,综合,(1)(2),知，存在常数,p,=4,，,使对一切,n,N,*,，,都有,pa,1,S,n,=,b,n,a,n,+3,成立,.,12,3.已知数列,a,n,满足:,证明：,证法1：,(1)当,n,=1时，,因为,所以不等式成立.,(2)假设当,n=k,时不等式成立，即,则,题型,5,用数学归纳法证数列不等式,13,因为,所以,14,所以,即当,n=k,+1时，,不等式成立.综合(1)(2)知，,对任意,n,N*都成立.,证法,2,：,(1),当,n,=1,时，,所以不等式成立,.,当,n,=2,时，,所以不等式成立,.,15,(2),假设当,n=k,(,k,2),时不等式成立，,即,因为函数,在,0,，上是增函数，,所以,16,即,所以当,n=k,+1,时不等式成立,.,综合,(1)(2),知，对任意,n,N,*,都成立,.,17,证法,3,：,(1),同证法,1.,(2),假设当,n=k,时，不等式成立，,即 若,则,若,18,则,所以当,n=k,+1,时，不等式 成立,.,综合,(1)(2),知，,对任意,n,N,*,都成立,.,19,点评：,用数学归纳法证明不等式的关键是“变形”，即在归纳假设的基础上通过放缩、比较、综合等证明不等式的方法，得到要证明的目标不等式,.,20,已知数列,a,n,的通项,求证：,证明：,(1),当,n,=1,时，,所以不等式成立,.,(2),假设,n=k,时，不等式成立，,即 成立,.,21,则当,n=k,+1,时，,所以当,n=k,+1,时，不等式成立,.,综合,(1)(2),知，对任意,n,N,*,，,不等式都成立,.,22,1.,数学归纳法原理类似于“多米诺骨牌游戏”，其实质是逐一验证对一切从,n,0,开始的正整数，命题都成立，它是一种从有限验证无穷的数学方法,.,2.,归纳法是推理的方法，数学归纳法是证明的方法，由归纳法得出的结论不一定正确，只有用数学归纳法证明后才能确定其真实性,.,3.,“,归纳,猜想,证明”是求解某些探索性问题的一种重要的思想方法，它在数列问题中有着广泛的应用，必须熟练掌握,.,23,4.,数学归纳法应用中的存在性问题，应先取特殊值，求得参数取值，然后再用数学归纳法严格证明，不需再考虑参数其他取值情况,.,5.,在用数学归纳法证明数列不等式时，需要从问题要证的结论出发去寻找出过渡命题，探索并证明过渡命题成为此类问题的中心环节，而这一过渡命题又恰好是证明原命题的关键,.,这就是说，为方便用数学归纳法证明数列不等式，有时需要运用“变更命题”的技巧，这在证明数列不等式问题中经常用到,.,24,