2025年湖南省长沙市第一中学数学高一第一学期期末联考试题含解析.doc

2025年湖南省长沙市第一中学数学高一第一学期期末联考试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若动点．分别在直线和上移动，则线段的中点到原点的距离的最小值为（）
A. B.
C. D.
2． “幸福感指数”是指某个人主观地评价自己对目前生活状态的满意程度的指标.常用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意度越高.甲、乙两位同学分别随机抽取位本地市民，调查他们的幸福感指数，甲得到位市民的幸福感指数分别为，，，，，，，，，，乙得到位市民的幸福感指数的平均数为，方差为，则这位市民幸福感指数的方差为（）
A. B.
C. D.
3．下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是

A.①② B.②③
C.③④ D.②④
4．为参加学校运动会，某班要从甲，乙，丙，丁四位女同学中随机选出两位同学担任护旗手，那么甲同学被选中的概率是（）
A. B.
C. D.
5．如果，且，那么下列命题中正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
6．已知函数的图象关于直线对称，则=
A. B.
C. D.
7．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
8．设a>0，b>0，化简的结果是（ ）
A. B.
C. D.-3a
9．设，则等于
A. B.
C. D.
10．已知函数，若对一切，都成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．水葫芦又名凤眼莲，是一种原产于南美洲亚马逊河流域属于雨久花科，凤眼蓝属 的一种漂浮性水生植物，繁殖极快，广泛分布于世界各地，被列入世界百大外来入侵种之一．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：

①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30m2；
③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；
④设野生水葫芦蔓延至2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1＋t2＝t3；
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．
其中，正确的是________．(填序号)．
12．已知是球上的点，,，,则球的表面积等于________________
13．已知，则的值为__________
14．若是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________．（写出所有真命题的序号）
①若直线，则在平面内，一定不存在与直线平行的直线
②若直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直
③若直线，则在平面内，不一定存在与直线垂直的直线
④若直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线
15．函数的值域为___________.
16．已知，，则ab＝_____________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．为保护环境，污水进入河流前都要进行净化处理.我市工业园区某工厂的污水先排入净化池，然后加入净化剂进行净化处理.根据实验得出，在一定范围内，每放入1个单位的净化剂，在污水中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为.若多次加进净化剂，则某一时刻净化剂在污水中释放的浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用.
（1）若投放1个单位的净化剂4小时后，求净化剂在污水中释放的浓度；
（2）若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：，）
（3）若第一次投放1个单位的净化剂，3小时后再投放2个单位的净化剂，设第二次投放t小时后污水中净化剂浓度为（毫克/立方米），其中，求的表达式和浓度的最小值.
18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象的一部分如图所示

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当时，求函数y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的x值
19．已知函数是定义域为上的奇函数，且
（1）求的解析式；
（2）用定义证明：在上增函数.
20．已知点P是圆C：(x－3)2＋y2＝4上的动点，点A(－3，0)，M是线段AP的中点
（1）求点M的轨迹方程；
（2）若点M的轨迹与直线l：2x－y＋n＝0交于E，F两点，若直角坐标系的原点在以线段为直径的圆上，求n的值
21．已知，，且
（1）求函数的解析式；
（2）当时，的最小值是，求此时函数的最大值，并求出函数取得最大值时自变量的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】先分析出M的轨迹，再求到原点的距离的最小值.
【详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l，故其方程为：，故到原点的距离的最小值为.
故选：C
【点睛】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：
①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；
②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.
2、C
【解析】设乙得到位市民的幸福感指数为，甲得到位市民的幸福感指数为，求出，，由甲的方差可得的值，再求出的值，由方差公式即可求解.
【详解】设乙得到位市民的幸福感指数为，则，
甲得到位市民的幸福感指数为，可得，，
所以这位市民的幸福感指数之和为，平均数为，
由方差的定义，乙所得数据的方差：，
由于，解得：.
因为甲得到位市民的幸福感指数为，，，，，，，，，，
所以，
所以这位市民的幸福感指数的方差为：

，
故选：C.
3、D
【解析】图①的三种视图均相同；图②的正视图与侧视图相同；图③的三种视图均不相同；图④的正视图与侧视图相同．故选D
4、C
【解析】求出从甲、乙、丙、丁4位女同学中随机选出2位同学担任护旗手的基本事件，甲被选中的基本事件，即可求出甲被选中的概率
【详解】解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2位担任护旗手，共有种方法，
甲被选中，共有3种方法，
甲被选中的概率是
故选：C
【点睛】本题考查通过组合的应用求基本事件和古典概型求概率，考查学生的计算能力，比较基础
5、D
【解析】根据不等式的性质逐项分析判断即可.
【详解】对于A，若，，满足，但不成立，错误；
对于B，若，则，错误；
对于C，若，，满足，但不成立，错误；
对于D，由指数函数的单调性知，正确.
故选：D.
6、C
【解析】因为函数的图象关于直线对称，所以
，即，

因此，选C.
7、C
【解析】先推导出函数的周期为，可得出，然后利用函数的奇偶性结合函数的解析式可计算出结果.
【详解】函数是上的奇函数，且，，
，所以，函数的周期为，
则.
故选：C.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期求函数值，解题的关键就是推导出函数的周期，考查计算能力，属于中等题.
8、D
【解析】由分数指数幂的运算性质可得结果.
【详解】因为，，所以.
故选：D.
9、D
【解析】由题意结合指数对数互化确定的值即可.
【详解】由题意可得：，则.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查对数与指数的互化，对数的运算性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10、C
【解析】将，成立，转化为，对一切成立，由求解即可.
【详解】解：因为函数，若对一切，都成立，
所以，对一切成立，
令，
所以，
故选：C
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、①②④
【解析】设且，根据图像求出，结合计算进而可判断①②③④；
根据第1到第3个月、第2到第4个月的面积即可求出对应的平均速度，进而判断⑤.
【详解】因为其关系为指数函数，
所以可设且，
又图像过点，所以.
所以指数函数的底数为2，故①正确；
当时，，故②正确；
当y=4时，；
当y=12时，；
所以，故③错误；
因为，
所以，故④正确；
第1到第3个月之间的平均速度为：，
第2到第4个月之间的平均速度为：，
，故⑤错误.
故答案为：①②④
12、
【解析】
由已知S,A,B,C是球O表面上的点，所以 ，又，，所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC三边长为长方体的外接球的半径，因为，,所以，所以球的表面积
点睛：本题考查了球内接多面体，球的表面积公式，属于中档题．其中根据已知条件求球的直径（半径）是解答本题的关键
13、
【解析】

答案：
14、②④
【解析】①当时，在平面内存在与直线平行的直线．②若直线，则平面的交线必与直线垂直，而在平面内与平面的交线平行的直线有无数条，因此在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直．③当直线为平面的交线时，在平面内一定存在与直线垂直的直线．④当直线为平面的交线，或与交线平行，或垂直于平面时，显然在平面内一定存在与直线垂直的直线．当直线为平面斜线时，过直线上一点作直线垂直平面，设直线在平面上射影为，则平面内作直线垂直于，则必有直线垂直于直线，因此在平面内，一定存在与直线垂直的直线
考点：直线与平面平行与垂直关系
15、
【解析】由函数定义域求出的取值范围，再由的单调性即可得解.
【详解】函数的定义域为R，而，当且仅当x=0时取“=”，又在R上单调递减，
于是有，
所以函数的值域为.
故答案为：
16、1
【解析】将化成对数形式，再根据对数换底公式可求ab的值.
【详解】，
.
故答案为：1.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）6毫克/立方米
（2）7.1 （3），； 的最小值为12毫克/立方米
【解析】（1）由函数解析式，将代入即可得解；
（2）分和两种情况讨论，根据题意列出不等式，从而可得出答案；
（3）根据题意写出函数的解析式，再根据基本不等式即可求得最小值.
【小问1详解】
解：由，
当时，，
所以若投放1个单位的净化剂4小时后，净化剂在污水中释放的浓度为6毫克/立方米；
【小问2详解】
解：因为净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用，
当时，令，得恒成立，
所以当时，起到净化污水的作用，
当时，令，得，则，
所以，
综上所述当时，起到净化污水的作用，
所以若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约达7.1小时；
【小问3详解】
解：因为第一次投入1个单位的净化剂，3小时后再投入2个单位净化剂，要计算的是第二次投放t小时后污水中净化剂浓度为，
所以，，
因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，，
当时，取最小值12毫克/立方米.
18、（1）（2），，，
【解析】试题分析：（1）由图象知，，从而可求得，继而可求得；
（2）利用三角函数间的关系可求得，利用余弦函数的性质可求得时的最大值与最小值及相应的值
试题解析：：（1）由图象知，
∴
∴
图象过点，则，
∵，
∴，于是有
（2）
.
∵，
∴
当，即时，；
当，即时，
考点：（1）由的部分图象求其解析式；（2）正弦函数的定义域和值域.
【方法点晴】本题考查由的部分图象确定其解析式，考查余弦函数的性质，考查规范分析与解答的能力，属于中档题．由三角函数图象求解析式时，主要是通过图象最高点或最低点得到振幅，通过图象的周期得到，最后代入特殊点得到的值；在求三角函数最值时，主要是通过辅角公式将其化为一般形式或，在得最值.
19、（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）利用奇函数可求，然后利用可求，从而可得解析式；
（2）先设量，作差，变形，然后判定符号，可得单调性.
【详解】（1）因为为奇函数，所以，即；
因为，所以，即；
所以.
为奇函数
综上，
（2）证明：任取，设，
；
因为，，
所以，，所以，
故在上是增函数.
【点睛】本题主要考查函数解析式的求解和单调性的证明，明确函数单调性的证明步骤是求解的关键，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.
20、（1）；（2）
【解析】（1）设，，，利用为中点，表示出，代入圆方程即可；
（2）根据轨迹以及结合韦达定理、平面向量的数量积，列出关于的方程即可
【详解】（1）设为所求轨迹上的任意一点，点P为，
则．①
又是线段AP的中点，
，则，
代入①式得
（2）联立，消去y得
由得．②
设，，则．③
由可得，
，，
展开得
由③式可得，
化简得．④
根据②④得
21、（1）（2）
【解析】（1）由向量的数量积运算代入点的坐标得到三角函数式，运用三角函数基本公式化简为的形式；（2）由定义域可得到的范围，结合函数单调性求得函数最值及对应的自变量值
试题解析：（1）
即

（2）由， ， ，
，
，
此时，
考点：1．向量的数量积运算；2．三角函数化简及三角函数性质