2025年广东省惠州市惠东高级中学数学高二上期末监测模拟试题含解析.doc

2025年广东省惠州市惠东高级中学数学高二上期末监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．两圆与的公切线有（）
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
2．函数的图象大致是（）
A. B.
C. D.
3．空间直角坐标系中，已知则点关于平面的对称点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
4． “”是“直线与圆相切”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点，均在y轴上，椭圆C的面积为，且短轴长为，则椭圆C的标准方程为（　　）
A. B.
C. D.
6．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A.2 B.3
C.6 D.9
7．在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为
A. B.1
C. D.
8．已知函数在上可导，且，则与的大小关系为
A. B.
C. D.不确定
9．已知经过两点（5，m）和（m，8）的直线的斜率等于1，则m的值为（ ）
A.5 B.8
C. D.7
10．函数在点处的切线方程的斜率是（）
A. B.
C. D.
11．命题：“∃x＜1，x2＜1”的否定是（ ）
A.∀x≥1，x2＜1 B.∃x≥1，x2≥1
C.∀x＜1，x2≥1 D.∃x＜1，x2≥1
12．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列满足，，若为等差数列，则___________，若，则数列的前项和为___________.
14．在公差不为的等差数列中，，，成等比数列，数列的前项和为
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前项和为，求
15．若不同的平面的一个法向量分别为，，则与的位置关系为___________.
16．在数列中，，，记是数列的前项和，则= ___.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知等比数列的公比，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，若，求满足条件的最大整数n.
18．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为

（1）求点的位置；
（2）求点到平面的距离
19．（12分）在中，其顶点坐标为.
（1）求直线的方程；
（2）求的面积.
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线1与坐标轴的交点都在圆C上
（1）求圆C的方程；
（2）设过点P(0，－2)的直线l与圆C交于A，B两点，且AB＝2，求l的方程
21．（12分）已知双曲线
（1）若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
（2）若双曲线的离心率为，求实数的取值范围
22．（10分）已知A（ -3，0），B（3，0），四边形AMBN的对角线交于点D（1，0），kMA与kMB的等比中项为 ，直线AM，NB相交于点P.
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）若点N也在C上，点P是否在定直线上?如果是，求出该直线，如果不是，请说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】求得圆心坐标分别为，半径分别为，根据圆圆的位置关系的判定方法，得出两圆的位置关系，即可求解.
【详解】由题意，圆与圆，
可得圆心坐标分别为，半径分别为，
则，
所以，可得圆外离，
所以两圆共有4条切线.
故选：D.
2、A
【解析】根据函数的定义域及零点的情况即可得到答案.
【详解】函数的定义域为，
则排除选项、,
当时，，
则在上单调递减，且，，
由零点存在定理可知在上存在一个零点，则排除，
故选：.
3、D
【解析】根据空间直角坐标系的对称性可得答案.
【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得关于平面的对称点的坐标为，
故选：D.
4、A
【解析】根据题意，结合直线与圆的位置关系求出，即可求解.
【详解】根据题意，由直线与圆相切，
知圆心到直线的距离，解得或，
因此“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.
故选：A.
5、C
【解析】设出椭圆的标准方程，根据已知条件，求得，即可求得结果.
【详解】因为椭圆的焦点在轴上，故可设其方程为，
根据题意可得，，故可得，
故所求椭圆方程为：.
故选：C.
6、C
【解析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
7、A
【解析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E是棱中点，可得，代入，利用数量积运算性质即可得出.
【详解】如图所示

由正四面体的性质可得：
可得：
是棱中点

故选：
【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.
8、B
【解析】由,
所以.
9、C
【解析】根据斜率的公式直接求解即可.
【详解】由题可知,,解得.
故选：C
【点睛】本题主要考查了两点间斜率的计算公式,属于基础题.
10、D
【解析】求解导函数，再由导数的几何意义得切线的斜率.
【详解】求导得，由导数的几何意义得，所以函数在处切线的斜率为.
故选：D
11、C
【解析】将特称命题否定为全称命题即可
【详解】根据含有量词的命题的否定，
则“∃x＜1，x2＜1”的否定是“∀x＜1，x2≥1”.
故选：C.
12、D
【解析】由于BF⊥x轴，故，设，由得，选D.
考点：椭圆的简单性质

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①.## ②.
【解析】利用递推关系式，结合等差数列通项公式可求得公差，进而得到；利用递推关系式可知数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，采用裂项相消的方法可求得前项和.
【详解】由得：，解得：；
为等差数列，设其公差为，则，解得：，
；
由知：数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列；偶数项是以为首项，为公差的等差数列；
，又，，
数列的前项和，
.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系求解数列中的项、裂项相消法求和的问题；解题关键是能够根据递推关系式得到数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，由此可通过裂项相消的方法求得所求数列的和.
14、（1）
（2）
【解析】（1）由解出，再由前项和为55求得，由等差数列通项公式即可求解；
（2）先求出，再由裂项相消求和即可.
【小问1详解】
设公差为，由，，成等比数列，可得，即有，整理得，
数列的前项和为55，可得，解得1，1，则；
【小问2详解】
，则
15、平行
【解析】根据题意得到，得出，即可得到平面与的位置关系.
【详解】由题意，平面的一个法向量分别为，，
可得，所以，所以，
即平面与的位置关系为平行.
故答案为：平行
16、930
【解析】当为偶数时，，所以数列前60项中偶数项的和，当为奇数时，，因此数列是以1为首项，公差为2等差数列，前60项中奇数项的和为，所以.
考点：递推数列、等差数列.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】(1)由等比数列的性质可得，结合条件求出，得出公比，从而得出通项公式.
(2)由（1）可得，再求出的前项和，从而可得出答案.
【小问1详解】
由题意可知，有，
，得或
∴或
又，∴
∴
【小问2详解】
，
∴
∴，又单调递增
,
所以满足条件的的最大整数为
18、（1）为棱中点
（2）
【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，结合求出的值，即可得出点的位置；
（2）利用空间向量法可求得点到平面的距离
【小问1详解】
解：因为平面，底面为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，
设，其中，
则，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
由题意可得，
整理可得，因为，解得，
因此，点为棱的中点.
【小问2详解】
解：由（1）知为棱中点，即，则，
又，设平面的法向量为，
由，取，可得，
因为，所以，点到平面的距离为.
19、（1）
（2）
【解析】（1）先求出AB的斜率，再利用点斜式写出方程即可；
（2）先求出，再求出C到AB的距离即可得到答案.
【小问1详解】
由已知，，
所以直线的方程为，即.
【小问2详解】
，
C到直线AB的距离为，
所以的面积为.
20、（1）
（2）或
【解析】（1）求出曲线与坐标轴的交点坐标，设出圆的一般方程，代入求解；
（2）分类讨论，斜率不存在时，直接验证，斜率存在时，设直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理求解
【小问1详解】
时，，
又得，，
所以三交点为，
设圆方程为，
则，解得，
圆方程为；
【小问2详解】
由（1）知圆标准方程为，圆心为，半径为，
直线斜率不存在时，直线为，它与圆的两交点为，满足题意；
斜率存在时，设直线方程为，即，
圆心到的距离为，
又，所以，，
直线方程为即
所以直线方程是：或
21、（1）焦点坐标为，，顶点坐标为，，渐近线方程为；（2）.
【解析】（1）根据双曲线方程确定，即可按照概念对应写出焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
（2）先求（用表示），再根据解不等式得结果.
【详解】（1）当时，
双曲线方程化为，
所以，，，
所以焦点坐标为，，顶点坐标为，，
渐近线方程为.
（2）因为，
所以，
解得，
所以实数的取值范围是
【点睛】本题根据双曲线方程求焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程，根据离心率求参数范围，考查基本分析求解能力，属基础题.
22、（1）；
（2）点P在定直线x=9上.理由见解析.
【解析】(1)设点，根据两点坐标距离公式和等比数列的等比中项的应用列出方程，整理方程即可；
(2)设直线MN方程为：，点，联立双曲线方程消去x得到关于y的一元二次方程，根据韦达定理写出，利用两点坐标和直线的点斜式方程写出直线PA、PB，联立方程组，解方程组即可.
【小问1详解】
设点，则，
又，所以，
整理，得，
即轨迹M的方程C为：；
【小问2详解】
点P在定直线上.
由(1)知，曲线C方程为：，直线MN过点D(1,0)
若直线MN斜率不存在，则，得，不符合题意；
设直线MN方程为：，点，
则，消去x，得，
有，
，，，
所以直线PA方程为：，
直线PB方程为：，
所以点P的坐标为方程组的解，
有，即，
整理，得，解得，
即点P在定直线上.