河北省保定市第二中学2025-2026学年数学高一第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

河北省保定市第二中学2025-2026学年数学高一第一学期期末考试模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设，，，则a，b，c的大小关系是　　
A. B.
C. D.
2．设是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下面四个说法：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，，则.
其中所有错误说法的序号是（）
A.①③ B.①④
C.①③④ D.②③④
3．函数的最小正周期是
A. B.
C. D.
4．如图：在正方体中，设直线与平面所成角为，二面角的大小为，则为

A. B.
C. D.
5．已知，则(　　)
A. B.1
C. D.2
6．某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：）
A类轮胎：94，96，99，99，105，107
B类轮胎：95，95，98，99，104，109
根据以上数据，下列说法正确的是（　　）
A.A类轮胎行驶的最远里程的众数小于B类轮胎行驶的最远里程的众数
B.A类轮胎行驶的最远里程的极差等于B类轮胎行驶的最远里程的极差
C.A类轮胎行驶的最远里程的平均数大于B类轮胎行驶的最远里程的平均数
D.A类轮胎的性能更加稳定
7．形如的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数有最小值，则“囧函数”与函数的图像交点个数为（）
A.1 B.2
C.4 D.6
8．函数的单调递减区间为
A.， B.，
C.， D.，
9．已知集合，，则集合
A. B.
C. D.
10．已知直线，且，则的值为（ ）
A.或 B.
C. D.或
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的单调递增区间为_____________
12．已知，，，则，，的大小关系是______．（用“”连接）
13．设函数则的值为________
14．______.
15．如果函数满足在集合上的值域仍是集合，则把函数称为H函数．例如：就是H函数．下列函数：①；②；③；④中，______是H函数（只需填写编号）（注：“”表示不超过x的最大整数）
16．已知函数，$x0ÎR，使得，则a=_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，均为锐角，且，是方程的两根.
（1）求的值；
（2）若，求与的值.
18．已知向量， ，且.
（1）的值；
（2）若，，且，求的值
19．有一圆与直线相切于点，且经过点，求此圆的方程
20．现有三个条件：①对任意的都有；②不等式的解集为；③函数的图象过点.请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解(请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置)
已知二次函数，且满足________(填所选条件的序号).
（1）求函数的解析式；
（2）设，若函数在区间上的最小值为3，求实数m的值.
21．已知为定义在上的奇函数，当时，函数解析式为.
（1）求的值，并求出在上的解析式；
（2）求在上的最值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】利用函数，，单调性，借助于0和1，即可对a、b、c比较大小，得到答案
【详解】由题意，可知函数是定义域上的增函数，，
又是定义域上的增函数，，
又是定义域上的减函数，，
所以，故选A
【点睛】本题主要考查了函数值的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数、对数函数的单调性，借助指数函数、对数函数的单调性进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2、C
【解析】①利用平面与平面的位置关系判断；②利用线面垂直的性质定理判断；③利用直线与直线的位置关系判断；④利用面面垂直的性质定理判断.
【详解】①若，，则或相交，故错误；
②若，，则可得，故正确；
③若，，则，故错误；
④若，，，当时，，故错误.
故选：C
3、D
【解析】分析：直接利用周期公式求解即可.
详解：∵，，
∴．故选D
点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于简单题.由 函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.
4、B
【解析】连结BC1，交B1C于O，连结A1O，
∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥DC，
∴BO⊥平面A1DCB1，∴∠BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角θ1，
∵BO=A1B，∴θ1=30°；
∵BC⊥DC，B1C⊥DC，
∴∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，
∵BB1=BC，且BB1⊥BC，∴θ2=45°
故答案选：B
5、D
【解析】根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，再根据换底公式及对数的运算法则计算可得；
【详解】解：，，，
，

故选：D
6、D
【解析】根据众数、极差、平均数和方差的定义以及计算公式即可求解.
【详解】解：对A：A类轮胎行驶的最远里程的众数为99，B类轮胎行驶的最远里程的众数为95，选项A错误；
对B：A类轮胎行驶的最远里程的极差为13，B类轮胎行驶的最远里程的极差为14，选项B错误
对C：A类轮胎行驶的最远里程的平均数为，B类轮胎行驶的最远里程的平均数为，选项C错误
对D：A类轮胎行驶的最远里程的方差为，B类轮胎行驶的最远里程的方差为，故A类轮胎的性能更加稳定，选项D正确
故选：D
7、C
【解析】令，根据函数有最小值，可得，由此可画出“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象，由图象分析可得结果.
【详解】令，则函数有最小值
∵，
∴当函数是增函数时，在上有最小值，
∴当函数是减函数时，在上无最小值，
∴.此时“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象如图所示，

由图象可知，它们的图象的交点个数为4.
【点睛】本题考查对数函数的性质和函数图象的应用，考查学生画图能力和数形结合的思想运用，属中档题.
8、D
【解析】由题意得
选D.
【点睛】函数的性质
(1).
(2)周期
(3)由 求对称轴
(4)由求增区间;
由求减区间
9、B
【解析】利用一元二次方程的解法化简集合化简集合，利用并集的定义求解即可.
【详解】由一元二次方程的解法化简集合，
或，
，
或，故选B.
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.
10、D
【解析】当时，直线，，此时满足，因此适合题意；
当时，直线，化为，可得斜率，
化为，可得斜率
∵，
∴，计算得出，
综上可得：或
本题选择D选项.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先求出函数的定义域，再利用求复合函数单调区间的方法求解即得.
【详解】依题意，由得：或，即函数的定义域是，
函数在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增，
于是得在是单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：
12、
【解析】结合指数函数、对数函数的知识确定正确答案.
【详解】，
，
所以
故答案为：
13、
【解析】直接利用分段函数解析式，先求出的值，从而可得的值.
【详解】因为函数，
所以，
则，故答案为.
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.
14、
【解析】首先利用乘法将五进制化为十进制，再利用“倒序取余法”将十进制化为二进制即可.
【详解】，
根据十进制化为二进制“倒序取余法”如下：

可得.
故答案为：
【点睛】本题考查了进位制的转化，在求解过程中，一般都是先把其它进制转化为十进制，再用倒序取余法转化为其它进制，属于基础题.
15、③④
【解析】根据新定义进行判断.
【详解】根据定义可以判断①②在集合上的值域不是集合，显然不是H函数.③④是H函数.
③是H函数，证明如下：
显然，
不妨设，可得，即
，恒有成立
，满足
，总存在满足
是H函数.
④是H函数，证明如下：
显然，
不妨设，可得，即
，恒有成立
，满足
，总存在满足
H函数.
故答案为：③④
16、
【解析】由基本不等式及二次函数的性质可得，结合等号成立的条件可得，即可得解.
【详解】由题意，，
因为，当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立；
所以，
又$x0ÎR，使得，所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）；
【解析】（1）利用韦达定理求出，再根据两角和的正切公式即可得解；
（2）求出，再根据二倍角正切公式即可求得，化弦为切即可求出.
【小问1详解】
解：因为，均为锐角，且，是方程的两根，
所以，
所以；
【小问2详解】
因为，均为锐角，，
所以，所以，
所以，
.
18、（1）；（2）
【解析】（1）首先应用向量数量积坐标公式求得，结合，求得，得到结果；
（2）结合题的条件，利用同角三角函数关系式求得，结合角的范围以及（1）的结论，求得，再应用余弦和角公式求得的值，结合角的范围求得，得到结果.
【详解】（1）因为，，
所以

因为，所以，即.
（2）因为，，所以.
因为，，所以.
因为，所以，
所以.
因为， ，所以，所以.
【点睛】该题考查的是有关三角恒等变换的问题，涉及到的知识点有向量数量积坐标公式，同角三角函数关系式，余弦的和角公式，利用角的三角函数值的大小，结合角的范围求角的大小，属于简单题目.
19、x2＋y2－10x－9y＋39＝0
【解析】法一:设出圆的方程,代入B点坐标,计算参数,即可.法二:设出圆的方程，结合题意，建立方程，计算参数，即可．法三：设出圆的一般方程，代入A,B坐标，建立方程，计算参数，即可．法四：计算CA直线方程，计算BP方程，计算点P坐标，计算半径和圆心坐标，建立圆方程，即可
【详解】法一：由题意可设所求的方程为，
又因为此圆过点，将坐标代入圆的方程求得，
所以所求圆的方程为.
法二：设圆的方程为，
则圆心为，由，,
，解得，
所以所求圆的方程为.
法三：设圆的方程为，由，，在圆上，
得，解得，
所以所求圆的方程为.
法四：设圆心为，则，又设与圆的另一交点为，
则的方程为，
即.
又因为，
所以，所以直线的方程为.
解方程组，得，所以
所以圆心为的中点，半径为.
所以所求圆的方程为.
【点睛】考查了圆方程的计算方法，关键在于结合题意建立方程组，计算参数，即可，难度中等
20、（1）；（2）.
【解析】（1）条件①，求出代入根据恒成立可得；条件②由一元二次不等式解的性质可得；条件③代入可得；分别根据选择①②，①③，②③，均可通过联立方程组可得结果；
（2）求出函数的对称轴，将对称轴和区间的端点进行比较，根据函数的单调性列出关于的方程解出即可.
【详解】（1）条件①：因为，
所以
，
即对任意的x恒成立，
所以，解得.
条件②：因为不等式的解集为，
所以，即.
条件③：函数的图象过点，所以.
选择条件①②：，，，此时；
选择条件①③：，
则，，，此时；
选择条件②③：，
则，，，此时.
（2）由（1）知，其对称轴为，
①当，即时，
，解得；
②当，即时，
，解得(舍)；
③当，即时，
，无解.
综上所述，所求实数m的值为.
【点睛】二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.
21、（1）在上的解析式为；（2）函数在[0,1]上的最大与最小值分别为0，-2.
【解析】（1）根据函数的奇偶性可知，代入即可求值；
（2）利用换元得出新的函数，再结合新的函数解析式求最值即可.
【详解】（1）为定义在[－1,1]上的奇函数，且在处有意义，
即
，
设，则

又，

所以，在上的解析式为
（2）当，，
∴设则

当t＝1时，取最大值，最大值为1－1＝0.
当t=0时，取最小值为-2.
所以，函数在[0,1]上的最大与最小值分别为0，-2.