2026届安徽六安市舒城中学高二上数学期末监测模拟试题含解析.doc

2026届安徽六安市舒城中学高二上数学期末监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.54 B.45
C.27 D.81
2．如下图，面与面所成二面角的大小为，且A，B为其棱上两点．直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面中，且都垂直于AB，已知，，，则（）

A. B.
C. D.
3．已知点是椭圆方程上的动点，、是直线上的两个动点，且满足，则（）
A.存在实数使为等腰直角三角形的点仅有一个
B.存在实数使为等腰直角三角形的点仅有两个
C.存在实数使为等腰直角三角形的点仅有三个
D.存在实数使为等腰直角三角形的点有无数个
4．函数在处的切线方程为()
A. B.
C. D.
5．过点且垂直于直线的直线方程是（）
A. B.
C. D.
6．过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（ ）
A B.
C. D.
7．已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数为（）
①②③
A.0 B.1
C.2 D.3
8．已知向量，且，则的值为（ ）
A.4 B.2
C.3 D.1
9．已知双曲线左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若线段的中垂线过点，则双曲线的离心率为（ ）
A.3 B.2
C. D.
10．若，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
11．已知m是2与8的等比中项，则圆锥曲线x2﹣＝1的离心率是（　　）
A.或 B.
C. D.或
12．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4

概率
0.1
0.16
03
0.3
0.1
0.04
则至少有两人排队的概率为（ ）
A.0.16 B.0.26
C.0.56 D.0.74
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，，且，则的最小值为___________
14．已知空间向量，，若，则______.
15．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=3，AA1=4， P是侧面BCC1B1上的动点，且AP⊥ BD1，记点P到平面ABCD的距离为d，则d的最大值为____________.

16．如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，若该棱锥的体积为，则该正方体的体对角线长为___________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、，离心率为.过的直线与椭圆的一个交点为，过垂直于的直线与椭圆的一个交点为，.

（1）求椭圆的方程和点的轨迹的方程；
（2）若曲线上的动点到直线：的最大距离为，求的值.
18．（12分）已知抛物线的焦点与曲线的右焦点重合.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若抛物线上的点满足，求点的坐标.
19．（12分）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.设数列的前项和为，且__________.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
20．（12分）已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项
（1）求数列的通项公式；
（2）若,,求
21．（12分）函数
（1）求在上的单调区间；
（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围
22．（10分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产．某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，并将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等

（1）估计口罩生产车间工人生产速度的中位数（结果写成分数的形式）；
（2）为了解该车间工人生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄（参加工作的年限），数据如下表：
工龄x（单位：年）
4
6
8
10
12
生产速度y（单位：件/小时）
42
57
62
62
67
根据上述数据求每名工人的生产速度y关于他的工龄x的回归方程，并据此估计该车间某位有16年工龄的工人的生产速度
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式为：，
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】由三视图可得该几何体是由平行六面体切割掉一个三棱锥而成，直观图如图所示，

所以该几何体的体积为
故选B
点睛：本题考查了组合体的体积，由三视图还原出几何体，由四棱柱的体积减去三棱锥的体积.
2、B
【解析】根据题意，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，进一步判断出该四边形为矩形，然后确定出为二面角的平面角，进而通过余弦定理和勾股定理求得答案.
【详解】如图，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，所以.因为，所以，又，所以是该二面角的一个平面角，即，由余弦定理.

因为，，所以，易得四边形ABDE为矩形，则，而，所以平面ACE，则，于是.
故选：B.
3、B
【解析】求出点到直线的距离的取值范围，对点是否为直角顶点进行分类讨论，确定、的等量关系，综合可得出结论.
【详解】设点，则点到直线的距离为.
因为椭圆与直线均关于原点对称，
①若为直角顶点，则.
当时，此时，不可能是等腰直角三角形；
当时，此时，满足是等腰直角三角形的直角顶点有两个；
当时，此时，满足是等腰直角三角形的直角顶点有四个；
②若不是直角顶点，则.
当时，满足是等腰直角三角形的非直角顶点不存在；
当时，满足是等腰直角三角形的非直角顶点有两个；
当时，满足是等腰直角三角形非直角顶点有四个.
综上所述，当时，满足是等腰直角三角形的点有八个；
当时，满足是等腰直角三角形的点有六个；
当时，满足是等腰直角三角形的点有四个；
当时，满足是等腰直角三角形的点有两个；
当时，满足是等腰直角三角形的点不存在.
故选：B.
4、C
【解析】利用导数的几何意义即可求切线方程﹒
【详解】，
，，
，
在处的切线为：，即﹒
故选：C﹒
5、A
【解析】根据所求直线垂直于直线，设其方程为，然后将点代入求解.
【详解】因为所求直线垂直于直线，
所以设其方程为，
又因为直线过点，
所以，
解得
所以直线方程为：，
故选：A.
6、A
【解析】直线AC、BD与坐标轴重合时求出四边形面积，与坐标轴不重合求出四边形ABCD面积最小值，再比较大小即可作答.
【详解】因四边形ABCD的两条对角线互相垂直，由椭圆性质知，四边形ABCD的四个顶点为椭圆顶点时，而，
四边形ABCD的面积，
当直线AC斜率存在且不0时，设其方程为，由消去y得：，
设，则，
，
直线BD方程为，同理得：，
则有，
当且仅当，即或时取“=”，而，
所以四边形ABCD面积最小值为.
故选：A
7、C
【解析】根据等差数列的定义判断
【详解】设的公差为，
则，是等差数列，
，是常数列，也是等差数列，
若，则不是等差数列，
故选：C
8、A
【解析】由题意可得，利用空间向量数量积的坐标表示列方程，解方程即可求解.
【详解】因为，所以，
因为向量，，
所以，解得，
所以的值为，
故选：A.
9、C
【解析】由双曲线的定义得出中各线段长（用表示），然后通过余弦定理得出的关系式，变形后可得离心率
【详解】由题意
又
则有：
可得：，，
中，
中．
可得：
解得：
则有：
故选：C
10、C
【解析】利用函数在上单调递减即可求解.
【详解】解：因为函数在上单调递减，
所以若，，则；
反之若，，则.
所以若，则“”是“”的充要条件，
故选：C.
11、A
【解析】利用等比数列求出m，然后求解圆锥曲线的离心率即可
【详解】解：m是2与8的等比中项，可得m＝±4，
当m=4时,圆锥曲线为双曲线x2﹣＝1, 它的离心率为：,
当m=-4时，圆锥曲线x2﹣＝1为椭圆，离心率：，
故选：A
12、D
【解析】利用互斥事件概率计算公式直接求解
【详解】由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：
至少有两人排队的概率为：

故选：D
【点睛】本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、25
【解析】根据，，且，由，利用基本不等式求解.
【详解】因为，，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为25，
故答案为：25
14、2
【解析】依据向量垂直充要条件列方程，解之即可解决.
【详解】空间向量，，
由，可知，即，解之得
故答案为：2
15、##
【解析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得的坐标之间的关系，以及坐标的范围，即可求得结果.
【详解】以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系如下所示：

设，则，
，
∵，∴，解得，
因为，所以c的最大值为，
即点P到平面的距离d的最大值为.
故答案为：.
16、.
【解析】先根据棱锥的体积求出正方体的棱长，进而求出正方体的体对角线长.
【详解】如图，连接，设正方体棱长为，则.

所以，体对角线.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）椭圆的方程为，点的轨迹的方程为
（2）
【解析】（1）由题意可得，求出，再结合，求出，从而可得椭圆的方程，设，则由题意可得，坐标代入化简可得点的轨迹的方程，
（2）由题意结合点到直线的距离公式可得，设，将直线方程代入椭圆方程中消去，整理利用根与系数的关系，由，可得，因为，代入化简计算可求得答案
【小问1详解】
由题意得，解得，则
，
所以椭圆的方程，
设，则由题意可得，
所以，
所以，
所以点轨迹的方程为
【小问2详解】
由（1）知曲线是以原点为圆心，1为半径的圆，
因为曲线上的动点到直线：的最大距离为，
所以，得，
设，由，得，
所以，

，
因为，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
，
所以，
得，得（舍去），或
18、（1）；（2）或.
【解析】（1）求出双曲线的右焦点坐标，可求出的值，即可得出抛物线的标准方程；
（2）设点，由抛物线的定义求出的值，代入抛物线的方程可求得的值，即可得出点的坐标.
【详解】（1）由双曲线方程可得，，
所以，解得.
则曲线的右焦点为，所以，.
因此，抛物线的标准方程为；
（2）设，由抛物线的定义及已知可得，解得.
代入抛物线方程可得，解得，
所以点的坐标为或.
19、（1）答案不唯一，具体见解析
（2）答案不唯一，具体见解析
【解析】（1）若选①：根据，利用数列通项与前n项和的关系求解；若选②：构造利用等比数列的定义求解；
（2）根据（1）得到，再利用错位相减法求解.
【小问1详解】
解:若选①：，
当时，，
当时，满足上式，
故
若选②：
易得
于是数列是以为首项，2为公比的等比数列，

【小问2详解】
若选①：由（1）得，
从而，
，
作差得，

于是
若选②由（1）得，
从而，
，
作差得，

于是
20、（1）；（2）
【解析】（1）将已知条件整理变形为等比数列的首项和公比来表示，解方程组得到基本量，可得到通项公式（2）化简通项得，根据特点求和时采用错位相减法求解
试题解析：（1）设等比数列的首项为，公比为，
依题意，有2（）=+,代入, 得=8, 2分
∴+=20 ∴解之得或 4分
又单调递增，∴ ="2," =2,∴=2n 6分
（2）, ∴ ① 8分
∴②
∴①-②得＝ 12分
考点：1．等比数列通项公式；2．错位相减求和
21、（1）单调递增区间为；单调递减区间为和
（2）
【解析】（1）求出，然后可得答案；
（2）由条件可得，设，则，然后利用导数可得在上单调递增，，然后分、两种情况讨论求解即可.
【小问1详解】
由题可得
令，得；
令，得，
所以f(x)的单调递增区间为；单调递减区间为和
【小问2详解】
由，得，
即
设，则
设，则
当时，，，所以
所以即在上单调递增，
则
若，则，
所以h(x)在上单调递增
所以h(x)≥h(0)＝0恒成立，符合题意
若a＞2，则，必存在正实数，
满足：当时，，h(x)单调递减，
此时h(x)＜h(0)＝0，不符合题意
综上所述，a的取值范围是

22、（1）
（2）80件/小时
【解析】（1）先利用等差数列的通项公式和频率分布直方图各矩形的面积之和为1求出各组频率，再利用频率分布直方图求中位数；
（2）先求出、，利用最小二乘法求出回归直线方程，再进行预测其生产速度.
【小问1详解】
解：设前4组的频率分别为，，，，公差为，
由频率分布直方图，得，
即，解得，
则，，
所以中位数为.
【小问2详解】
解：由题意，得，
，
由所给公式，得，
，
所以回归直线方程为，
则当时，，
即估计该车间某位有16年工龄的工人的生产速度为80件/小时.