2025-2026学年湖南G10教育联盟数学高一上期末检测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年湖南G10教育联盟数学高一上期末检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）

A. B.8
C.6 D.
2．下列命题正确的是（）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
3．设，表示两个不同平面，表示一条直线，下列命题正确的是（ ）
A.若，，则.
B.若，，则.
C.若，，则.
D.若，，则.
4．已知函数，则（）
A.2 B.5
C.7 D.9
5．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知是上的奇函数，且当时，，则当时，（）
A. B.
C. D.
7．已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为

A. B.
C. D.
8．下列叙述正确的是(　　)
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B.钝角是第二象限角
C.第二象限角比第一象限角大 D.不相等的角终边一定不同
9．已知集合，则 （ ）
A B.
C. D.
10．如图，正方体中，
①与平行；
②与垂直；
③与垂直

以上三个命题中，正确命题的序号是（ ）
A.①② B.②③
C.③ D.①②③
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若的最小正周期为，则的最小正周期为______
12．已知，则的值为________
13．已知是定义在上的偶函数，并满足：，当，，则___________.
14．已知角的终边经过点，则________.
15．在中，角、、所对的边为、、，若，，，则角________
16．定义在R上的奇函数f (x)周期为2，则__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放个(，且)单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(分钟)变化的函数关系式近似为，其中.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中洗衣液浓度不低于克/升时，它才能起到有效去污的作用.
(1)若只投放一次个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为克/升，求的值；
(2)若只投放一次个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
(3)若第一次投放个单位的洗衣液，分钟后再投放个单位的洗衣液，则在第分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由.
18．已知函数在区间上的最大值为5，最小值为1
（1）求，的值；
（2）若正实数，满足，求的最小值
19．设函数，.
（1）若方程在区间上有解，求a的取值范围.
（2）设，若对任意的，都有，求a的取值范围.
20．已知函数的最小正周期为，其中
（1）求的值；
（2）当时，求函数单调区间；
（3）求函数在区间上的值域
21．设，.
（1）求的值；
（2）求与夹角的余弦值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据斜二测画法得出原图形四边形的性质，然后可计算周长
【详解】由题意，所以原平面图形四边形中，，，，所以，
所以四边形的周长为：
故选：B

2、D
【解析】由不等式性质依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，若，由可得：，A错误；
对于B，若，则，此时未必成立，B错误；
对于C，当时，，C错误；
对于D，当时，由不等式性质知：，D正确.
故选：D.
3、C
【解析】由或判断；由，或相交判断；根据线面平行与面面平行的定义判断；由或相交，判断.
【详解】若，，则或，不正确；
若，，则，或相交，不正确；
若，，可得没有公共点，即，正确；
若，，则或相交，不正确,故选C.
【点睛】本题主要考查空间平行关系的性质与判断，属于基础题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
4、D
【解析】先求出，再求即可，
【详解】由题意得，
所以，
故选：D
5、C
【解析】根据幂函数和指数函数的单调性比较判断
【详解】∵，，∴.
故选：C
6、B
【解析】设，则，求出的解析式，根据函数为上的奇函数，即可求得时，函数的解析式，得到答案.
【详解】由题意，设，则，则，
因为函数为上的奇函数，则，
得，
即当时，.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，其中解答中熟记函数的奇偶性，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7、D
【解析】取的中点，连接，，则（或补角）是与所成的角，利用勾股定理可求该角为直角.
【详解】
如图，取的中点，连接，，则，，
（或补角）是与所成的角，
，，
，，而，所以，.
故选：D.
【点睛】本题考查异面直线所成的角，此类问题一般需要通过平移构建平面角，再利用解三角形的方法求解.
8、B
【解析】利用象限角、钝角、终边相同角的概念逐一判断即可.
【详解】∵直角不属于任何一个象限，故A不正确；
钝角属于是第二象限角,故B正确；
由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，故C不正确；
由于20°与360°+20°不相等，但终边相同，故D不正确.
故选B
【点睛】本题考查象限角、象限界角、终边相同的角的概念，综合应用举反例、排除等手段，选出正确的答案
9、D
【解析】利用元素与集合的关系判断即可.
【详解】由集合，即集合是所有的偶数构成的集合.
所以，，，
故选：D
10、C
【解析】根据线面平行、线面垂直的判定与性质，即可得到正确答案
【详解】解：对于①，在正方体中，由图可知与异面，故①不正确
对于②，因为，不垂直，所以与不垂直，故②不正确
对于③，在正方体中，平面，又∵平面，∴与垂直.故③正确
故选：C
【点睛】此题考查线线平行、线线垂直，考查学生的空间想象能力和对线面平行、线面垂直的判定与性质的理解与掌握，属基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先由的最小正周期，求出的值，再由的最小正周期公式求的最小正周期.
【详解】的最小正周期为，即，则
所以的最小正周期为
故答案为：
12、
【解析】∵，
∴，
解得
答案：
13、5
【解析】根据可得周期，再结合偶函数，可将中的转化到内，可得的值.
【详解】因为，所以，
所以，即函数的一个周期为4，
所以，
又因为是定义在上的偶函数，
所以，
因当，，所以，所以.
故答案为：2.5.
14、
【解析】根据终边上的点，结合即可求函数值.
【详解】由题意知：角在第一象限，且终边过，
∴.
故答案为：.
15、.
【解析】利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围得出角的值.
【详解】由余弦定理得，
，，故答案为.
【点睛】本题考查余弦定理的应用和反三角函数，解题时要充分结合元素类型选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.
16、0
【解析】以周期函数和奇函数的性质去求解即可.
【详解】因为是R上的奇函数，所以，又周期为2，所以，
又，所以，故，
则对任意，
故
故答案为：0

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）分钟；（3）见详解.
【解析】（1）由只投放一次个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为克/升，根据已知可得，，代入可求出的值；（2）由只投放一次个单位的洗衣液，可得，分、两种情况解不等式即可求解；（3）令，由题意求出此时的值并与比较大小即可.
【详解】（1）因为，当两分钟时水中洗衣液的浓度为克/升时，可得，即，解得；（2）因为，所以，当时，，将两式联立解之得；当时，，将两式联立解之得，综上可得，所以若只投放一次个单位的洗衣液，则有效去污时间可达分钟；（3）当时，由题意，因为，所以在第分钟时洗衣液能起到有效去污的作用.
【点睛】本题主要考查分段函数模型的选择和应用，其中解答本题的关键是正确理解水中洗衣液浓度不低于克/升时，它才能起到有效去污的作用，属中等难度题.
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据最值建立方程后可求解；
（2）运用基本不等式可求解.
【小问1详解】
由，可得其对称轴方程为，
所以由题意有，解得.
【小问2详解】
由（1）为，
则，
（当且仅当时等号成立）
所以的最小值为.
19、（1）；（2）.
【解析】（1），有解，即在上有解，设，对称轴为，只需，解不等式，即可得出结论；
（2）根据题意只需，分类讨论去绝对值求出，利用函数单调性求出或取值范围，转化为求关于的不等式，即可求解.
【详解】（1）在区间上有解，
整理得
在区间上有解，
设，对称轴为，
，解得，
所以a的取值范围.是；
（2）
当，
；
当，
，
，
设是减函数，且在恒成立，
在上是减函数，
在处有意义，，
对任意的，都有，
即，
解得，
的取值范围是.
【点睛】本题考查方程零点的分布求参数范围，考查对数函数的图像和性质的综合应用，要注意对数函数的定义域，函数恒成立问题，属于较难题.
20、（1）
（2）函数的单调减区间为，单调增区间为
（3）
【解析】（1）利用求得.
（2）根据三角函数单调区间的求法，求得在区间上的单调区间.
（3）根据三角函数值域的求法，求得在区间上的值域.
【小问1详解】
由函数的最小正周期为，，所以，可得，
【小问2详解】
由（1）可知，
当，有，，
当，可得，
故当时，函数单调减区间为，单调增区间为
【小问3详解】
当，有，，
可得，
有，
故函数在区间上的值域为
21、 (1)-2；(2).
【解析】（1），，所以 ；
（2）因为，所以代值即可得与夹角的余弦值.
试题解析：
（1）
（2）因为，，
所以.