上海市松江区 2025年高二上数学期末达标测试试题含解析.doc

上海市松江区 2025年高二上数学期末达标测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列说法中正确的是
A.命题“若，则”的逆命题为真命题
B.若为假命题，则均为假命题
C.若为假命题，则为真命题
D.命题“若两个平面向量满足，则不共线”的否命题是真命题.
2．设函数是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立.则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
3．在等比数列中，若，则公比（）
A. B.
C.2 D.3
4．已知P是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点且，则的面积是（ ）
A. B.2
C. D.1
5．已知，是双曲线的左、右焦点，点A是的左顶点，为坐标原点，以为直径的圆交的一条渐近线于、两点，以为直径的圆与轴交于两点，且平分，则双曲线的离心率为（）
A. B.2
C. D.3
6．已知，则a，b，c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
7．现要完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．这两项调查宜采用的抽样方法是（）
A①简单随机抽样，②分层抽样 B.①分层抽样，②简单随机抽样
C.①②都用简单随机抽样 D.①②都用分层抽样
8．等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（）
A.若有最大值，则数列的公差小于0
B.若，则使的最大的n为18
C.若，，则中最大
D.若，，则数列中的最小项是第9项
9．已知直线与直线垂直，则（ ）
A. B.
C. D.3
10．设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（）
A. B.
C. D.
11．设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（ ）
A.4 B.5
C.4或5 D.5或6
12．设正实数，满足(其中为正常数)，若的最大值为3，则（ ）
A.3 B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数在[1，3]单调递增，则a的取值范围___
14．对某市“四城同创”活动中100名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为的数据不慎丢失，则依据此图可估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在的人数为________

15．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
16．已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为_____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥中，，，，平面，点F在线段上运动.

（1）若平面，请确定点F的位置并说明理由；
（2）若点F满足，求平面与平面的夹角的余弦值.
18．（12分）已知数列中，，（）.
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和为.
19．（12分）如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM＝2MC.

（1）求证：BM∥平面PAD；
（2）若AD＝2，PD＝3，∠BAD＝60°，求三棱锥P­ADM的体积
20．（12分）已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前项和
21．（12分）如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，其中，且.

（1）求四棱锥S－ABCD的侧面积；
（2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.
22．（10分）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线的方程.
（2）若直线为曲线切线，且经过坐标原点，求直线的方程及切点坐标.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】A中，利用四种命题的的真假判断即可；B、C中，命题“”为假命题时，、至少有一个为假命题；D中，写出该命题的否命题，再判断它的真假性
【详解】对于A，命题“若，则”的逆命题是：若，则；
因为也成立.所以A不正确；
对于B，命题“”为假命题时，、至少有一个为假命题，所以B错误；C错误；
对于D，“平面向量满足”，
则不共线的否命题是，若“平面向量满足”，则共线；
由知：，一定有，，
所以共线，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查了命题的真假性判断问题，也考查了推理与判断能力，是基础题
2、B
【解析】根据当时，可知在上单调递减，结合可确定在上的解集；根据奇偶性可确定在上的解集；由此可确定结果.
【详解】，当时，，
在上单调递减，
，，在上的解集为，
即在上的解集为；
又为上的奇函数，，
为上的偶函数，在上的解集为，
即在上的解集为；
当时，，不合题意；
综上所述：的解集为.
故选：.
【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式，确定所构造函数的单调性和奇偶性，进而根据零点确定不等式的解集.
3、C
【解析】由题得，化简即得解.
【详解】因为，
所以，
所以，
解得.
故选：C
4、A
【解析】设，先求出m、n，再利用面积公式即可求解.
【详解】在中，设，则,解得：.
因为，所以，
所以的面积是.
故选：A
5、B
【解析】由直径所对圆周角是直角，结合双曲线的几何性质和角平分线定义可解.
【详解】由圆的性质可知，，，所以，
因为，所以
又因为平分，所以，
由，得，
所以，即
所以
故选：B

6、A
【解析】根据给定条件构造函数，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.
【详解】令函数，求导得，当时，，
于是得在上单调递减，而，则，即，
所以，
故选：A
7、B
【解析】通过简单随机抽样和分层抽样的定义辨析得到选项
【详解】在①中，由于购买能力与收入有关，应该采用分层抽样；在②中，由于个体没有明显差别，而且数目较少，应该采用简单随机抽样
故选：B
8、B
【解析】由有最大值可判断A；由，可得，，利用可判断BC；，得，，
可判断D.
【详解】对于选项A，∵有最大值，∴ 等差数列一定有负数项，
∴等差数列为递减数列，故公差小于0，故选项A正确；
对于选项B，∵，且，
∴，，
∴，，
则使的最大的n为17，故选项B错误；
对于选项C，∵，，
∴，，
故中最大，故选项C正确；
对于选项D，∵，，
∴，，
故数列中的最小项是第9项，故选项D正确.
故选：B.
9、D
【解析】先分别求出两条直线的斜率，再利用两直线垂直斜率之积为，即可求出.
【详解】由已知得直线与直线的斜率分别为、，
∵直线与直线垂直，
∴，解得，
故选：.
10、A
【解析】设椭圆的标准方程为，根据椭圆和双曲线的定义可得到两图形离心率之间的关系，再根据椭圆的离心率范围可得双曲线的离心率取值范围.
【详解】设椭圆的标准方程为，，
则有已知，
两式相减得，即，
，
因为
，解得
故选：A.
11、A
【解析】结合等差数列的性质得到，解不等式组即可求出结果.
【详解】由，即，解得，因为,故.
故选：A.
12、D
【解析】由于，，为正数，且，所以利用基本不等式可求出结果
【详解】解：因为正实数，满足(其中为正常数)，
所以，则，所以，
所以
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由在区间上恒成立来求得的取值范围.
【详解】依题意在区间上恒成立，
在上恒成立，所以.
故答案为：
14、
【解析】首先根据频率分布直方图计算出年龄在的频率，从而可计算出年龄在的人数.
【详解】年龄在的频率为，
所以年龄在的人数为.
故答案为：.
15、（1）（2）详见解析
【解析】（1）分别求得和，从而得到切线方程；
（2）求导后，令求得两根，分别在、和三种情况下根据导函数的正负得到函数的单调区间.
【详解】（1），，，
，又，
在处的切线方程为.
（2），
令，解得：，.
①当时，若和时，；若时，；
的单调递增区间为，；单调递减区间为；
②当时，在上恒成立，
的单调递增区间为，无单调递减区间；
③当时，若和时，；若时，；
的单调递增区间为，；单调递减区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.
【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的单调区间的问题，属于常考题型.
16、##4.5
【解析】设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则，所以，从而有，最后利用均值不等式即可求解.
【详解】解：设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则，
所以，即，
故，当且仅当时取等，
所以，
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）F为BD的中点，证明见解析；
（2）.
【解析】（1）由为的中点，取的中点，连接易证四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；
（2）根据题意可得平面ABC与平面AFC的夹角为二面角，取的中点H为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，设二面角为，由求解.
【小问1详解】
为的中点.
如图：

取的中点，连接
∵，分别为，的中点，
∴且
∵且
∴平行且等于
∴四边形为平行四边形，则
∵平面ABC，平面ABC
∴平面ABC
【小问2详解】
由题意知，平面ABC与平面AFC的夹角为二面角，
取的中点H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为三角形为等腰三角形，易求，
则，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，即，解得
设平面的一个法向量为，
则，即，解得
设二面角为，则，
因为二面角为锐角，所以余弦值为.
18、（1）（2）
【解析】由已知式子变形可得是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式易得
利用错位相减法，得到数列的前项和为
解析：（1）由，（）知，
又，∴是以为首项，为公比的等比数列，
∴，∴
（2），
，
两式相减得，
∴
点睛：本题主要考查数列的证明，错位相减法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力，转化能力和计算能力．第一问中将已知的递推公式进行变形，转化为的形式来证明，还可以根据等比数列的定义来证明；第二问，将第一问中得到的结论代入，先得到的表达式，利用错位相减法，即可得到数列的前项和为
19、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）过M作MN∥CD交PD于点N，证明四边形ABMN为平行四边形，即可证明BM∥平面PAD.
（2）过B作AD的垂线，垂足为E，证明BE⊥平面PAD，在利用VP-ADM＝VM-PAD求三棱锥P-ADM的体积.
【详解】解：（1）证明：如图，过M作MN∥CD交PD于点N，连接AN.
∵PM＝2MC，∴MN＝CD.又AB＝CD，且AB∥CD
∴AB∥MN
∴四边形ABMN为平行四边形
∴BM∥AN.

又BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD
∴BM∥平面PAD.
（2）如图，过B作AD的垂线，垂足为E.
∵PD⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD
∴PD⊥BE.
又AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，AD∩PD＝D
∴BE⊥平面PAD.
由（1）知，BM∥平面PAD
∴点M到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离，即BE.
连接BD，在△ABD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∴BE＝
则三棱锥P­ADM的体积VP-ADM＝VM-PAD＝×S△PAD×BE＝×3×＝.
20、（1）
（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为，依题意得到方程组，解得、，即可求出数列的通项公式；
（2）由（1）可得，再利用分组求和法求和即可；
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为，
由题意，得，
解得或，
因为，所以
【小问2详解】
解：当时，，
所以
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据垂直关系依次求解每个侧面三角形边长和面积即可得解；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
小问1详解】
由题可得：，则，
SA⊥底面ABCD，所以，
SA平面SAB，平面SAB⊥底面ABCD，交线，
所以BC⊥平面SAB，BC⊥BS，
，
所以四棱锥的侧面积

【小问2详解】

以A为原点，建立空间直角坐标系如图所示：

设平面SCD的法向量，
，取
所以
取为平面SAB的的法向量

所以平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.
22、 (1) ；(2) 直线的方程为，切点坐标为.
【解析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得结果，（2）设切点，根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，再根据切线过坐标原点解得结果.
【详解】（1）.
所以在点处的切线的斜率，
∴切线的方程为；
（2）设切点为，则直线的斜率为，
所以直线的方程为：，
所以又直线过点，
∴，
整理，得，∴，
∴，的斜率，
∴直线的方程为，切点坐标为.
【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数求切线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.