上海市松江区 2025年高二上数学期末达标测试试题含解析.doc

上海市松江区 2025年高二上数学期末达标测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列说法中正确的是
A.命题“若，则”的逆命题为真命题
B.若为假命题，则均为假命题
C.若为假命题，则为真命题
D.命题“若两个平面向量满足，则不共线”的否命题是真命题.
2．设函数是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立.则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
3．在等比数列中，若，则公比（）
A. B.
C.2 D.3
4．已知P是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点且，则的面积是（ ）
A. B.2
C. D.1
5．已知，是双曲线的左、右焦点，点A是的左顶点，为坐标原点，以为直径的圆交的一条渐近线于、两点，以为直径的圆与轴交于两点，且平分，则双曲线的离心率为（）
A. B.2
C. D.3
6．已知，则a，b，c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
7．现要完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．这两项调查宜采用的抽样方法是（）
A①简单随机抽样，②分层抽样 B.①分层抽样，②简单随机抽样
C.①②都用简单随机抽样 D.①②都用分层抽样
8．等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（）
A.若有最大值，则数列的公差小于0
B.若，则使的最大的n为18
C.若，，则中最大
D.若，，则数列中的最小项是第9项
9．已知直线与直线垂直，则（ ）
A. B.
C. D.3
10．设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（）
A. B.
C. D.
11．设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（ ）
A.4 B.5
C.4或5 D.5或6
12．设正实数，满足(其中为正常数)，若的最大值为3，则（ ）
A.3 B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数在[1，3]单调递增，则a的取值范围___
14．对某市“四城同创”活动中100名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为的数据不慎丢失，则依据此图可估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在的人数为________

15．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
16．已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为_____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥中，，，，平面，点F在线段上运动.

（1）若平面，请确定点F的位置并说明理由；
（2）若点F满足，求平面与平面的夹角的余弦值.
18．（12分）已知数列中，，（）.
（1）求证是等比数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和为.
19．（12分）如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM＝2MC.

（1）求证：BM∥平面PAD；
（2）若AD＝2，PD＝3，∠BAD＝60°，求三棱锥P­ADM的体积
20．（12分）已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前项和
21．（12分）如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，其中，且.

（1）求四棱锥S－ABCD的侧面积；
（2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.
22．（10分）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线的方程.
（2）若直线为曲线切线，且经过坐标原点，求直线的方程及切点坐标.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】A中，利用四种命题的的真假判断即可；B、C中，命题“”为假命题时，、至少有一个为假命题；D中，写出该命题的否命题，再判断它的真假性
【详解】对于A，命题“若，则”的逆命题是：若，则；
因为也成立.所以A不正确；
对于B，命题“”为假命题时，、至少有一个为假命题，所以B错误；C错误；
对于D平面向量满足”，
则不共线的否命题是，若“平面向量满足”，则共线；
由知：，一定有，，
所以共线，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查了命题的真假性判断问题，也考查了推理与判断能力，是基础题
2、B
【解析】根据当时，可知在上单调递减，结合可确定在上的解集；根据奇偶性可确定在上的解集；由此可确定结果.
【详解】，当时，，
在上单调递减，
，，在上的解集为，
即在上的解集为；
又为上的奇函数，，
为上的偶函数，在上的解集为，
即在上的解集为；
当时，，不合题意；
综上所述：的解集为.
故选：.
【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题关键是能够通过构造函数的方式，确定所构造函数的单调性和奇偶性，进而根据零点确定不等式的解集.
3、C
【解析】由题得，化简即得解.
【详解】因为，
所以，
所以，
解得.
故选：C
4、A
【解析】设，先求出m、n，再利用面积公式即可求解.
【详解】在中，设，则,解得：.
因为，所以，
所以的面积是.
故选：A
5、B
【解析】由直径所对圆周角是直角，结合双曲线的几何性质和角平分线定义可解.
【详解】由圆的性质可知，，，所以，
因为，所以
又因为平分，所以，
由，得，
所以，即
所以
故选：B

6、A
【解析】根据给定条件构造函数，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.
【详解】令函数，求导得，当时，，
于是得在上单调递减，而，则，即，
所以，
故选：A
7、B
【解析】通过简单随机抽样和分层抽样的定义辨析得到选项
【详解】在①中，由于购买能力与收入有关，应该采用分层抽样；在②中，由于个体没有明显差别，而且数目较少，应该采用简单随机抽样
故选：B
8、B
【解析】由有最大值可判断A；由，可得，，利用可判断BC；，得，，
可判断D.
【详解】对于选项A，∵有最大值，∴ 等差数列一定有负数项，
∴等差数列为递减数列，故公差小于0，故选项A正确；
对于选项B，∵，且，
∴，，
∴，，
则使的最大的n为17，故选项B错误；
对于选项C，∵，，
∴，，
故中最大，故选项C正确；
对于选项D，∵，，
∴，，
故数列中的最小项是第9项，故选项D正确.
故选：B.
9、D
【解析】先分别求出两条直线的斜率，再利用两直线垂直斜率之积为，即可求出.
【详解】由已知得直线与直线的斜率分别为、，
∵直线与直线垂直，
∴，解得，
故选：.
10、A
【解析】设椭圆的标准方程为，根据椭圆和双曲线的定义可得到两图形离心率之间的关系，再根据椭圆的离心率范围可得双曲线的离心率取值范围.
【详解】设椭圆的标准方程为，，
则有已知，
两式相减得，即，
，
因为
，解得
故选：A.
11、A
【解析】结合等差数列的性质得到，解不等式组即可求出结果.
【详解】由，即，解得，因为,故.
故选：A.
12、D
【解析】由于，，为正数，且，所以利用基本不等式可求出结果
【详解】解：因为正实数，满足(其中为正常数)，
所以，则，所以，
所以
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由在区间上恒成立来求得的取值范围.
【详解】依题意在区间上恒成立，
在上恒成立，所以.
故答案为：
14、
【解析】首先根据频率分布直方图计算出年龄在的频率，从而可计算出年龄在的人数.
【详解】年龄在的频率为，
所以年龄在的人数为.
故答案为：.
15、（1）（2）详见解析
【解析】（1）分别求得和，从而得到切线方程；
（2）求导后，令求得两根，分别在、和三种情况下根据导函数的正负得到函数的单调区间.
【详解】（1），，，
，又，
在处的切线方程为.
（2），
令，解得：，.
①当时，若和时，；若时，；
的单调递增区间为，；单调递减区间为；
②当时，在上恒成立，
的单调递增区间为，无单调递减区间；
③当时，若和时，；若时，；
的单调递增区间为，；单调递减区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.
【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的单调区间的问题，属于常考题型.
16、##4.5
【解析】设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则，所以，从而有，最后利用均值不等式即可求解.
【详解】解：设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则，
所以，即，
故，当且仅当时取等，
所以，
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）F为BD的中点，证明见解析；
（2）.
【解析】（1）由为的中点，取的中点，连接易证四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；
（2）根据题意可得平面ABC与平面AFC的夹角为二面角，取的中点H为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，设二面角为，由求解.
【小问1详解】
为的中点.
如图：

取的中点，连接
∵，分别为，的中点，
∴且
∵且
∴平行且等于
∴四边形为平行四边形，则
∵平面ABC，平面ABC
∴平面ABC
【小问2详解】
由题意知，平面ABC与平面AFC的夹角为二面角，
取的中点H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为三角形为等腰三角形，易求，
则，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，即解得
设平面的一个法向量为，
则，即，解得
设二面角为，则，
因为二面角为锐角，所以余弦值为.
18、（1）（2）
【解析】由已知式子变形可得是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式易得
利用错位相减法，得到数列的前项和为
解析：（1）由，（）知，
又，∴是以为首项，为公比的等比数列，
∴，∴
（2），
，
两式相减得，
∴
点睛：本题主要考查数列的证明，错位相减法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力，转化能力和计算能力．第一问中将已知的递推公式进行变形，转化为的形式来证明，还可以根据等比数列的定义来证明；第二问，将第一问中得到的结论代入，先得到的表达式，利用错位相减法，即可得到数列的前项和为
19、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）过M作MN∥CD交PD于点N，证明四边形ABMN为平行四边形，即可证明BM∥平面PAD.
（2）过B作AD的垂线，垂足为E，证明BE⊥平面PAD，在利用VP-ADM＝VM-PAD求三棱锥P-ADM的体积.
【详解】解：（1）证明：如图，过M作MN∥CD交PD于点N，连接AN.
∵PM＝2MC，∴MN＝CD.又AB＝CD，且AB∥CD
∴AB∥MN
∴四边形ABMN为平行四边形
∴BM∥AN.

又BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD
∴BM∥平面PAD.
（2）如图，过B作AD的垂线，垂足为E.
∵PD⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD
∴PD⊥BE.
又AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，AD∩PD＝D
∴BE⊥平面PAD.
由（1）知，BM∥平面PAD
∴点M到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离，即BE.
连接BD，在△ABD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∴BE＝
则三棱锥P­ADM的体积VP-ADM＝VM-PAD＝×S△PAD×BE＝×3×＝.
20、（1）
（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为，依题意得到方程组，解得、，即可求出数列的通项公式；
（2）由（1）可得，再利用分组求和法求和即可；
【小问1详解】

解：设等差数列的公差为，
由题意，得，
解得或，
因为，所以
【小问2详解】
解：当时，，
所以
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据垂直关系依次求解每个侧面三角形边长和面积即可得解；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
小问1详解】
由题可得：，则，
SA⊥底面ABCD，所以，
SA平面SAB，平面SAB⊥底面ABCD，交线，
所以BC⊥平面SAB，BC⊥BS，
，
所以四棱锥的侧面积

【小问2详解】

以A为原点，建立空间直角坐标系如图所示：

设平面SCD的法向量，
，取
所以
取为平面SAB的的法向量

所以平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.
22、 (1) ；(2) 直线的方程为，切点坐标为.
【解析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得结果，（2）设切点，根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，再根据切线过坐标原点解得结果.
【详解】（1）.
所以在点处的切线的斜率，
∴切线的方程为；
（2）设切点为，则直线的斜率为，
所以直线的方程为：，
所以又直线过点，
∴，
整理，得，∴，
∴，的斜率，
∴直线的方程为，切点坐标为.
【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数求切线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.