湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校2025-2026学年数学高一上期末质量检测试题含解析.doc

湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校2025-2026学年数学高一上期末质量检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．根据表中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（）
x
-1
0
1
2
3

0.37
1
2.72
7.39
20.09
A. B.
C. D.
2．下图是函数的部分图象，则（）

A. B.
C. D.
3．已知函数的最大值与最小值的差为2，则（）
A.4 B.3
C.2 D.
4．下列所给四个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（　　）
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再去上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速

A.①②④ B.④②③
C.①②③ D.④①②
5．当生物死后，它体内的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半.2010年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14检测，检测出碳14的残留量约为初始量的，以此推断此水坝建成的年代大概是公元前（ ）（参考数据：，)
A.年 B.年
C.年 D.年
6．函数的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
7．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级
人数
平均分数
方差
甲
30

2
乙
20

3
其中，则甲、乙两个班数学成绩的方差为（ ）
A.2.2 B.2.6
C.2.5 D.2.4
8．在中，满足，则这个三角形是（）
A.正三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
9．设函数，若，则
A. B.
C. D.
10．函数的一个零点所在的区间是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的定义域是___________.
12．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若（且），则a的取值范围为_____________.
13．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)
A. B.
C. D.－1
14．若函数的定义域为[－2，2]，则函数的定义域为 ______
15．用表示函数在闭区间上的最大值．若正数满足，则的最大值为__________
16．函数(且)的图象恒过定点_________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知两点，，两直线：，：
求：（1）过点且与直线平行的直线方程；
（2）过线段的中点以及直线与的交点的直线方程
18．某工厂有甲，乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲，乙两条生产线的产量之比为.现采用分层抽样的方法从甲，乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）.

一等品
二等品
甲生产线
76
a
乙生产线
b
2
（1）写出a，b的值；
（2）从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率；
（3）以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲，乙两条产品生产线随机抽取10件产品记表示从甲生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，表示从乙生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，试比较和的大小.（只需写出结论）
19．定义在R上的函数对任意的都有，且，当时.
（1）求的值，并证明是R上的增函数；
（2）设，
（i）判断的单调性（不需要证明）
（ii）解关于x的不等式.
20．在①函数的图象向右平移个单位长度得到的图像，图像关于对称；②函数这两个条件中任选一个，补充在下而问题中，并解答.
已知______，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）若在上的值域为，求a的取值范围；
（2）求函数在上的单调递增区间.
21．从某校随机抽取100名学生，调查他们一学期内参加社团活动的次数，整理得到的频数分布表和频率分布直方图如下：
　组号
　分组
　频数
　1

　6
　2

　8
　3

　17
　4

　22
　5

　25
　6

　12
　7

　6
　8

　2
　9

　2
　合计
　100
从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的概率；
求频率分布直方图中的a、b的值；
假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生本学期参加社团活动的平均次数

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】将与的值代入，找到使的,即可选出答案.
【详解】时，.
时，.
时，.
时，
时，.
因为.
所以方程的一个根在区间内.
故选：D.
【点睛】本题考查零点存定理，函数连续，若存在，使,则函数在区间上至少有一个零点.属于基础题.
2、B
【解析】由图象求出函数的周期，进而可得的值，然后逆用五点作图法求出的值即可求解.
【详解】解：由图象可知，函数的周期，即，所以，
不妨设时，由五点作图法，得，所以，
所以
故选：B.
3、C
【解析】根据解析式可得其单调性，根据x的范围，可求得的最大值和最小值，根据题意，列出方程，即可求得a值.
【详解】由题意得在上为单调递增函数，
所以，，
所以，解得，
又，所以.
故选：C
4、D
【解析】根据回家后，离家的距离又变为可判断（1）；由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化；由为了赶时间开始加速，可判断函数的图像上升的速度越来越快；
【详解】离开家不久发现自己把作业本忘在家里，回到家里，
这时离家的距离为，故应先选图像（4）；
途中遇到一次交通堵塞，这这段时间与家的距离必为一定值，故应选图像（1）；
后来为了赶时间开始加速，则可知图像上升的速度越来越快，故应选图像（2）；
故选：D
【点睛】本题主要考查函数图象的识别，解题的关键是理解题干中表述的变化情况，属于基础题.
5、B
【解析】根据碳14的半衰期为5730年，即每5730年含量减少一半，设原来的量为，经过年后变成了，即可列出等式求出的值，即可求解.
【详解】解：根据题意可设原来的量为，
经过年后变成了，
即，
两边同时取对数，得：，
即，
，
，
以此推断此水坝建成的年代大概是公元前年.
故选：B.
6、C
【解析】由解出范围即可.
【详解】由，可得，所以函数的单调递增区间为，
故选C.
7、D
【解析】根据平均数和方差的计算性质即可计算.
【详解】设甲、乙两班学生成绩分别为，甲班平均成绩为，乙班平均成绩为，因为甲、乙两班的平均成绩相等，所以甲、乙两班合在一起后平均成绩依然为，
因为，
同理，
∴甲、乙两班合在一起后的方差为：
.
故选：D.
8、C
【解析】由可知与符号相同,且均为正,则,即,即可判断选项
【详解】由题,因为,所以与符号相同,
由于在中,与不可能均为负,所以,,
又因为,
所以,即,所以,
所以三角形是锐角三角形
故选：C
【点睛】本题考查判断三角形的形状,考查三角函数值的符号
9、A
【解析】由的函数性质，及对四个选项进行判断
【详解】因为，所以函数为偶函数，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，又因为，所以，即，故选择A
【点睛】本题考查幂函数的单调性和奇偶性，要求熟记几种类型的幂函数性质
10、B
【解析】根据零点存在性定理，计算出区间端点的函数值即可判断；
【详解】解：因为，在上是连续函数，且，即在上单调递增，
，，，
所以在上存在一个零点.
故选：.
【点睛】本题考查函数的零点的范围，注意运用零点存在定理，考查运算能力，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用根式、分式的性质求函数定义域即可.
【详解】由解析式知：，则，可得，
∴函数定义域为.
故答案为：.
12、
【解析】根据偶函数的性质，结合绝对值的性质、对数函数的单调性，分类讨论，求出a的取值范围.
【详解】因为已知是定义在R上的偶函数，所以由，又因为 上单调递减，所以有.
当时，；
当时，.
故答案为：
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，考查了对数函数的单调性，考查了数学运算能力.
13、D
【解析】设平均增长率为x,由题得
故填.
14、
【解析】∵函数的定义域为[－2，2]
∴，∴
∴函数的定义域为
15、
【解析】对分类讨论，利用正弦函数的图象求出和，代入，解出的范围，即可得解.
【详解】当，即时，，，因为，所以不成立；
当，即时，，，不满足；
当，即时，，，由得，得，得；
当，即时，，，由得，得，得，得；
当，即时，，，不满足；
当，即时，，，不满足.
综上所述：.
所以得最大值为
故答案为：
【点睛】关键点点睛：对分类讨论，利用正弦函数的图象求出和是解题关键.
16、
【解析】令对数的真数为，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可；
【详解】解：因为函数(且)，
令，解得，所以，即函数恒过点；
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】【试题分析】（1）设所求直线方程为：，将点坐标代入，求得的值，即得所求.（2）求得中点坐标和直线交点的坐标，利用点斜式得到所求直线方程.
【试题解析】
（1）设与：平行的直线方程为：，
将代入，得，解得，
故所求直线方程是：
（2）∵，，∴线段的中点是，
设两直线的交点为，联立解得交点，
则，
故所求直线的方程为：，即
18、（1）；
（2）；
（3）.
【解析】（1）根据题意列出方程组，从而求出a，b的值；
（2记为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，首先列出从6件二等品中任取2件的所有结果，然后再找出事件所包含是基本事件，从而利用古典概型的概率公式即可求出答案.
（3）根据样本中甲，乙产品一等品的概率，同时结合二项分布即可比较大小.
【小问1详解】
由题意，知，解得；
【小问2详解】
记样本中甲生产线的4件二等品为，乙生产线的2件二等品为.
从6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个，它们是：
，
，
记为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，则中的结果有1个，它是.
所以.
【小问3详解】
.
19、（1），证明见解析
（2）（i）在上是单减单减函数（ii）
【解析】(1) 令可得，再可得答案，设，则，所以可证明单调性；
(2) （i）根据复合函数的单调性法则可得答案; （ii）由题意可得，，结合函数的单调性可得的解为，则原不等式等价于，从而可得答案.
【小问1详解】
在中，令可得，则
令可得，可得
任取且，则，所以
则
即，所以是R上的增函数
【小问2详解】
（i）由在上是单减单减函数，又单调递增
由复合函数的单调性规律可得在上是单减单减函数.
（ii）由，
所以的解为
从而不等式的解为
，即
即，整理可得
即，解得或，所以或
所以原不等式的解集为
20、（1）；（2），，.
【解析】先选条件①或条件②，结合函数的性质及图像变换，求得函数，
（1）由，得到，根据由正弦函数图像，即可求解；
（2）根据函数正弦函数的形式，求得，，进而得出函数的单调递增区间.
【详解】方案一：选条件①
由函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，可得，解得，
所以，
又由函数的图象向右平移个单位长度得到，
又函数图象关于对称，可得，，
因为，所以，所以.
（1）由，可得，
因为函数在上的值域为，
根据由正弦函数图像，可得，解得，
所以的取值范围为.
（2）由，，可得，，
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得，
所以函数在上的单调递增区间为，，.
方案二：选条件②：
由
，
因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，可得，所以，
可得，
又由函数的图象向右平移个单位长度得到，
又函数图象关于对称，可得，，
因为，所以，所以.
（1）由，可得，
因为函数在上的值域为，
根据由正弦函数图像，可得，解得，
所以的取值范围为.
（2）由，，可得，，
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得，
所以函数在上的单调递增区间为，，.
【点睛】解答三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先将已知条件化为或的形式，然后再根据三角函数的基本性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质.
21、（1）0.9；（2）b=0.125；（3）7.68次.
【解析】由频数分布表得这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的频数为90，由此能求出从该校随机选取一名学生，估计这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的概率
由频数分布表及频率分布直方图能求出频率分布直方图a，b的值
利用频率分布直方图和频数分布表能估计样本中的100名学生本学期参加社团活动的平均次数
【详解】解：由频数分布表得这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的频数为：，
从该校随机选取一名学生，估计这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的概率
由频数分布表及频率分布直方图得：
频率分布直方图中，
估计样本中的100名学生本学期参加社团活动的平均次数：
次
【点睛】本题考查概率、频率、平均数的求法，考查频数分布表、频率分布直方图等知识，属于基础题