宁夏固原市第一中学2026届数学高一上期末经典试题含解析.doc

宁夏固原市第一中学2026届数学高一上期末经典试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知是第三象限角，则是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第一或第四象限角 D.第二或第四象限角
2．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）
A. B.
C. D.
3．下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是
A. B.
C. D.
4．国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的末来”.某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第三个号码为（）
随机数表如下：

A.13 B.24
C.33 D.36
5．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
6．化简
A. B.
C.1 D.
7．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（）

A.90° B.45°
C.60° D.30°
8．下列各个关系式中，正确的是（ ）
A.={0}
B.
C.{3，5}≠{5，3}
D.{1}{x|x2=x}
9．设函数，，则函数的零点个数是
A.4 B.3
C.2 D.1
10．已知定义域为的奇函数满足，若方程有唯一的实数解，则（）
A.2 B.4
C.8 D.16
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；
④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________
12．函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω>0，－<φ<）的部分图象如图所示，则的值是________

13．已知若，则（ ）.
14．已知满足任意都有成立，那么的取值范围是___________.
15．已知平面向量，，，，，则的值是______
16．将函数图象上所有点的横坐标压缩为原来的后，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的单调递增区间为____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期及对称轴方程；
（Ⅱ）当时，求函数的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量的值.
18．某校高一（1）班共有学生50人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元,经测算和市场调查,若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水,则年总费用由两部分组成：一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其他费用780元,其中纯净水的销售价（元/桶）与年购买总量（桶）之间满足如图所示的关系.

（Ⅰ）求与的函数关系；
（Ⅱ）当为120时,若该班每年需要纯净水380桶,请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料相比,哪一种花钱更少？
19．已知函数
（1）求函数的最小正周期及函数的单调递增区间；
（2）求函数在上的值域
20．已知函数在一个周期内的图像经过点和点，且的图像有一条对称轴为.
（1）求的解析式及最小正周期；
（2）求的单调递增区间.
21．已知函数的图象关于原点对称.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）若函数在内存在零点，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】因为是第三象限角，所以，
所以，
当为偶数时，是第二象限角，
当为奇数时，是第四象限角.
故选：D．
2、B
【解析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断
【详解】对于A, 最小正周期为2π, 在区间上单调递减，不合题意；
对于B, 最小正周期为π,在区间上单调递减，符合题意；
对于C, 最小正周期为2π,在区间上单调递减，不合题意；
对于D, 最小正周期为π,在区间上单调递增，不合题意；
故选：B.
3、C
【解析】对于A，函数的偶函数，不符合，故错；对于B，定义域为 ，是非奇非偶函数，故错；对于C，定义域R，是奇函数，且是增函数，正确；对于D，是奇函数，但是是减函数，故错
考点：本题考查函数的奇偶性和单调性
点评：解决本题的关键是掌握初等函数的奇偶性和单调性
4、D
【解析】随机数表进行读数时，确定开始的位置以及位数，逐一往后即可，遇到超出范围或重复的数字跳过即可.
【详解】根据随机数表的读取方法，第2行第4列的数为3，每次从左向右选取两个数字，所以第一组数字为32，作为第一个号码；第二组数字58，舍去；第三组数字65，舍去；第四组数字74，舍去；第五组数字13，作为第二个号码；第六组数字36，作为第三个号码，所以选取的第三个号码为36
故选：D
5、D
【解析】根据图象可得：，，，.，
则.令，，，而函数.即可求解.
【详解】解：函数，的图象如下：

根据图象可得：若方程有四个不同的解，，，，且，
则，，，.
，，
则.
令，，，而函数在，单调递增.
所以，则.
故选：D.
【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意借助图象分析问题，属于中档题.
6、D
【解析】先考虑分母化简，利用降次公式，正切的两角和与差公式打开，整理，可得答案
【详解】化简分母得

.
故原式等于.故选D
【点睛】本题主要考查了两角和与差公式以及倍角公式．属于基础题
7、D
【解析】设G为AD的中点，连接GF，GE，由三角形中位线定理可得，，则∠GFE即为EF与CD所成的角，结合AB=2，CD=4，EF⊥AB，在△GEF中，利用三角函数即可得到答案.
【详解】解：设G为AD的中点，连接GF，GE
则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线.
∴ ，且，，且，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数
又EF⊥ AB，
∴ EF⊥ GF
则△GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°
∴ 在直角△GEF中，
∴ ∠GEF=30°
故选：D.

8、D
【解析】由空集的定义知={0}不正确，A不正确；
集合表示有理数集，而不是有理数，所以B不正确；
由集合元素的无序性知{3，5}={5，3}，所以C不正确；
{x|x2=x}={0，1}，所以{1}{0，1},所以D正确.
故选D.
9、B
【解析】
函数的零点个数就是函数的图象和函数的图象的交点个数，分别画出函数的图象和函数的图象,如图，由图知，它们的交点个数是，函数的零点个数是,故选B.
【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .
10、B
【解析】由条件可得，为周期函数，且一个周期为6，设，则得到偶函数，由有唯一的实数解，得有唯一的零点，则，从而得到答案.
【详解】由得，即，
从而，所以为周期函数，且一个周期为6，
所以.
设，将的图象向右平移1个单位长度，
可得到函数的图象，
且为偶函数.由有唯一的实数解，得有唯一的零点，
从而偶函数有唯一的零点，且零点为，即，即，
解得，所以
故选：.
【点睛】关键点睛：本题考查函数的奇偶性和周期性的应用，解答本题的关键是由条件得到，得到为周期函数，设的图象，且为偶函数.由有唯一的实数解，得有唯一的零点，从而偶函数有唯一的零点，且零点为，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、①②④
【解析】①取BD的中点O，连接OA,OC,所以,所以平面OAC，所以AC⊥BD；②设正方形的边长为a，则在直角三角形ACO中，可以求得OC=a，
所以△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成45角；④分别取BC，AC的中点为M，N，连接ME，NE，MN.则MN∥AB，且MN＝AB＝a，ME∥CD，且ME＝CD＝a，∴∠EMN是异面直线AB，CD所成的角．在Rt△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a，∴NE＝AC＝a.∴△MEN是正三角形，∴∠EMN＝60°，故④正确
考点：本小题主要考查平面图形向空间图形的折叠问题，考查学生的空间想象能力.
点评：解决此类折叠问题，关键是搞清楚折叠前后的变量和不变的量.
12、
【解析】，把代入，得
，，
，故答案为
考点：1、已知三角函数的图象求解析式；2、三角函数的周期性
【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题．求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”（即图象上升时与轴的交点） 时；“第二点”（即图象的“峰点”） 时；“第三点”（即图象下降时与轴的交点） 时；“第四点”（即图象的“谷点”） 时；“第五点”时
13、
【解析】利用平面向量平行的坐标表示进行求解.
【详解】因为，
所以，即；
故答案：.
【点睛】本题主要考查平面向量平行的坐标表示，两向量平行坐标分量对应成比例，侧重考查数学运算的核心素养.
14、
【解析】由题意可知，分段函数在上单调递减，因此分段函数的每一段都是单调递减，且左边一段的最小值不小于右边的最大值，即可得到实数的取值范围.
【详解】由任意都有成立，可知函数在上单调递减，
又因，所以，解得.
故答案为：.
15、
【解析】根据向量垂直向量数量积等于，解得α·β＝，再利用向量模的求法，将式子平方即可求解.
【详解】由得，
所以，
所以
所以.
故答案为：
16、
【解析】根据函数图象的变换，求出的解析式，结合函数的单调性进行求解即可.
【详解】由数图象上所有点的横坐标压缩为原来的后，
得到，再将图象向左平移个单位长度，得到函数
的图象，即
令，函数的单调递增区间是
由，得，
的单调递增区间为.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）最小正周期是，对称轴方程为；（Ⅱ）时，函数取得最小值，最小值为-2，时，函数取得最大值，最大值为1.
【解析】（Ⅰ）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质求出对称轴及最小正周期；
（Ⅱ）由的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：（Ⅰ）由与得
所以的最小正周期是；
令，解得，即函数的对称轴为；
（Ⅱ）当时，
所以，当，即时，函数取得最小值，最小值为
当，即时，函数取得最大值，最大值为.
18、（Ⅰ）;（Ⅱ）该班学生集体改饮桶装纯净水花钱更少.
【解析】
(Ⅰ)根据题意设出直线方程,再代入图示数据,即可得出与的函数关系;
(Ⅱ)分别求出两种情形下的年花费费用,进行比较即可.
【详解】(Ⅰ)根据题意,可设,
时,;时,,
,解得,
所以与的函数关系为:;
(Ⅱ)该班学生购买饮料的年费用为(元),
由(Ⅰ)知,当时,,
故该班学生购买纯净水的年费用为:(元),比购买饮料花费少,
故该班学生集体改饮桶装纯净水花钱更少.
【点睛】本题考查函数模型的选取及实际应用,属于简单题.
19、（1）最小正周期为；单调递增区间为；（2）
【解析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简得到，由解析式可确定最小正周期；令，解不等式可求得单调递增区间；
（2）利用可求得的范围，对应正弦函数可确定的范围，进而得到所求值域.
【详解】（1），
的最小正周期；
令，解得：，
的单调递增区间为；
（2）当时，，，
，即在上的值域为.
20、（1），；（2）.
【解析】（1）由函数图象经过点且f（x）的图象有一条对称轴为直线，
可得最大值A，且能得周期并求得ω，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式
（2）利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间
【详解】（1）函数f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，）在一个周期内的图象经过点，，且f（x）的图象有一条对称轴为直线，
故最大值A＝4，且,
∴，
∴ω＝3
所以.
因为的图象经过点，所以，
所以，.
因为，所以，
所以.
（2）因为，所以，，
所以，，
即的单调递增区间为.
【点睛】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+）的性质求解析式，通常由函数的最大值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出的值，考查了正弦型函数的单调性问题，属于基础题
21、（1），；（2）
【解析】（Ⅰ）题意说明函数是奇函数，因此有恒成立，由恒等式知识可得关于的方程组，从而可解得；
（Ⅱ）把函数化简得，这样问题转化为方程在内有解，也即在内有解，只要作为函数，求出函数的值域即得
试题解析：
（Ⅰ）函数的图象关于原点对称，
所以，所以，
所以，即，
所以，
解得，；
（Ⅱ）由，由题设知在内有解，即方程在内有解.
在内递增，得.
所以当时，函数在内存在零点.