2025年江苏省如皋中学数学高一第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

2025年江苏省如皋中学数学高一第一学期期末统考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1． (　　)
A.0 B.1
C.6 D.
2．已知全集，集合，，它们的关系如图（Venn图）所示，则阴影部分表示的集合为（ ）

A. B.
C. D.
3．已知条件，条件，则p是q的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．设、是两个非零向量，下列结论一定成立的是（）
A.若，则
B.若，则存在实数，使得
C若，则
D.若存在实数，使得，则|
5．已知，则的大小关系为
A. B.
C. D.
6．设是两条不同的直线,是两个不同的平面，且，则下列说法正确的是
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
7．已知定义域为的单调递增函数满足：，有，则方程的解的个数为（）
A.3 B.2
C.1 D.0
8．已知点，，，且满足，若点在轴上，则等于
A. B.
C. D.
9．已知，那么（）
A. B.
C. D.
10．，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设函数，则__________，方程的解为__________
12．若向量与共线且方向相同，则___________
13．设函数，若其定义域内不存在实数，使得，则的取值范围是______
14．设函数，若实数满足，且，则的取值范围是_______________________
15．____
16．已知是定义在上奇函数，且函数为偶函数，当时，，则______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，且的图象经过点
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值；
（3）若，求证：在区间内存在零点
18．某中学共有3000名学生，其中高一年级有1200名学生，为了解学生的睡眠情况，现用分层抽样的方法，在三个年级中抽取了200名学生，依据每名学生的睡眠时间（单位：小时），绘制出了如图所示的频率分布直方图.

（1）求样本中高一年级学生的人数及图中a的值；
（2）估计样本数据中位数（保留两位小数）；
（3）估计全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数.
19．已知函数是偶函数（其中为自然对数的底数，…）
（1）求的值；
（2）若方程在区间上有实数根，求实数的取值范围
20．已知定义在上的函数是奇函数
（1）求函数的解析式；
（2）判断的单调性，并用单调性定义证明
21．已知集合，函数的定义域为集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）求满足的实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】首先根据对数的运算法则，对式子进行相应的变形、整理，求得结果即可.
【详解】，
故选B.
【点睛】该题考查的是有关对数的运算求值问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，熟练掌握对数的运算法则是解题的关键.
2、C
【解析】根据所给关系图（Venn图），可知是求 ,由此可求得答案.
【详解】根据题意可知，阴影部分表示的是，
故，
故选:C.
3、B
【解析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断
【详解】由，得，即，
由，得，即
推不出，但能推出，
∴p是q的必要不充分条件.
故选：B
4、B
【解析】利用向量共线定理、垂直数量积为0来综合判断.
【详解】A：当、方向相反且时，就可成立，A错误；
B：若，则、方向相反，故存在实数，使得，B正确；
C：若，则说明，不一定有，C错误；
D：若存在实数，使得，则，D错误.
故选：B
5、D
【解析】,且,, ,故选D.
6、A
【解析】本道题目分别结合平面与平面平行判定与性质，平面与平面平行垂直判定与性质，即可得出答案．
【详解】A选项,结合一条直线与一平面垂直,则过该直线的平面垂直于这个平面,故正确;B选项,平面垂直,则位于两平面的直线不一定垂直,故B错误;C选项,可能平行于与相交线,故错误;D选项,m与n可能异面，故错误
【点睛】本道题目考查了平面与平面平行判定与性质，平面与平面平行垂直判定与性质，发挥空间想象能力，找出选项的漏洞，即可．
7、A
【解析】根据给定条件求出函数的解析式，再将问题转化成求两个函数图象公共点个数作答.
【详解】因定义域为的单调递增函数满足：，有，
则存在唯一正实数使得，且，即，于是得，
而函数在上单调递增，且当时，，因此，，
方程，
于是得方程的解的个数是函数与的图象公共点个数，
在同一坐标系内作出函数与的图象如图，

观察图象知，函数与的图象有3个公共点，
所以方程解的个数为3.
故选：A
【点睛】思路点睛：图象法判断方程的根的个数，常常将方程变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
8、C
【解析】由题意得，
∴
设点的坐标为，
∵，
∴，
∴，解得
故选：C
9、B
【解析】先利用指数函数单调性判断b，c和1大小关系，再判断a与1的关系，即得结果.
【详解】因为在单调递增，，故，即，
而，故.
故选：B.
10、D
【解析】作出弧度角的正弦线、余弦线和正切线，利用三角函数线来得出、、的大小关系.
【详解】作出弧度角的正弦线、余弦线和正切线如下图所示，则，，，其中虚线表示的是角的终边，
，则，即.
故选：D.

【点睛】本题考查同角三角函数值的大小比较，一般利用三角函数线来比较，考查数形结合思想的应用，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①.1 ②.4或-2
【解析】（1）∵，
∴
（2）当时，由可得，解得；
当时，由可得，解得或（舍去）
故方程的解为或
答案：1，或
12、2
【解析】向量共线可得坐标分量之间的关系式，从而求得n.
【详解】因为向量与共线，所以；由两者方向相同可得.
【点睛】本题主要考查共线向量的坐标表示，熟记共线向量的充要条件是求解关键.
13、
【解析】按的取值范围分类讨论.
【详解】当时，定义域，，满足要求；
当时，定义域，取，
，时，，不满足要求；
当时，定义域，，
，满足要求；
当时，定义域，取，
，时，，不满足要求；
综上：
故答案为：
【点睛】关键点睛：由参数变化引起的分类讨论，可根据题设按参数在不同区间，对应函数的变化，找到参数的取值范围.
14、
【解析】结合图象确定a，b，c的关系，由此可得，再利用基本不等式求其最值.
【详解】解：因为函数，若实数a，b，c满足，且，
；
如图：，且；
令；
因为；
，当且仅当时取等号；
，；

故答案为：
15、-1
【解析】根据和差公式得到，代入化简得到答案.
【详解】

故答案为：
【点睛】本题考查了和差公式，意在考查学生的计算能力.
16、
【解析】求出函数的周期即可求解.
【详解】根据题意，为偶函数，即函数图象关于直线对称，
则有，又由为奇函数，则，
则有，即，即函数是周期为4的周期函数，
所以，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】（1）将点代入解析式求解；（2）根据函数单调性求解最大值；（3）零点存在性定理证明在区间内存在零点.
【小问1详解】
因为函数，且的图象经过点，
所以.
所以.
【小问2详解】
因为，所以.
所以在区间上单调递减.
所以在区间上的最大值是.
所以.
所以在区间上的最大值是.
【小问3详解】
因为，
所以.
因为，，
所以，又在区间上的图象是一条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得：在区间内存在零点
18、（1）人数为，；
（2）7.42；（3）约为人.
【解析】（1）由分层抽样等比例性质求高一年级学生的人数，根据直方图及频率和为1求参数a.
（2）由频率直方图及中位数的性质估计中位数.
（3）由直方图计算区间的频率，进而估计全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数.
【小问1详解】
由分层抽样等比例的性质，样本中高一年级学生的人数为.
由，可得.
【小问2详解】
设中位数为x，
由、，知：，
∴.得，故样本数据的中位数约为7.42.
【小问3详解】
由图可知，样本数据落在的频率为.
故全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数约为人.
19、（1）；（2）
【解析】（1）由偶函数的定义可得恒成立，即可求出值；
（2）由题意可分离参数得出有解，求出的值域即可.
【详解】（1）是偶函数，

恒成立，
，解得；
（2）由（1）知，
由得，
令，
当时，，则，
故时，方程在区间上有实数根，
故的取值范围为.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
20、（1）；（2）在上是减函数，证明见解析
【解析】（1）根据奇函数的定义即可求出结果；
（2）设，且，然后与，作差，通过因式分解判断正负，然后根据单调性的概念即可得出结论.
【详解】（1）∵是定义在上的奇函数，
∴，
∴，
此时，，
是奇函数，满足题意
∴
（2），在上是减函数
设，且，
则，
∵，
∴，，，
∴，
即，
∴在上是减函数
21、 (1)或；(2)或.
【解析】（1）由知4满足函数的定义域，由此可得，解不等式可得所求范围．（2）由可得，再根据的大小关系求得集合A，然后根据转化为关于实数的不等式组，解不等式组可得所求范围
试题解析：
（1）因为，
∴，解得或.
∴实数的取值范围为
（2）由于，当时，即时，，函数无意义，
∴，
由,得，解得，
∴.
①当，即时，，
由得，解得；
②当，即时，，，
此时不满足；
③当，即时，，
由得，解得.
又，故.
综上或
∴实数的取值范围是或.
点睛：
（1）解答本题时要注意分类讨论的运用，根据实数的不同的取值得到不同的集合；另外还应注意转化思想的运用，在本题中将集合间的包含关系转化为不等式组求解
（2）对于题中的对数函数，要注意定义域的限制，特别是在本题中得到这一隐含条件是被容易忽视的问题