2026届无锡市侨谊实验中学数学高一上期末复习检测模拟试题含解析.doc

2026届无锡市侨谊实验中学数学高一上期末复习检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知定义域为的单调递增函数满足：，有，则方程的解的个数为（）
A.3 B.2
C.1 D.0
2．已知全集，集合，集合，则集合为
A. B.
C. D.
3．设，则的大小关系是（）
A. B.
C. D.
4．已知函数是定义域为的奇函数，且，当时，，则（）
A. B.
C. D.
5．复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或
者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息( )元.（参考数据：）
A.176 B.100
C.77 D.88
6．已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（）
A. B.
C. D.或
7．土地沙漠化的治理，对中国乃至世界来说都是一个难题，我国创造了治沙成功案例——毛乌素沙漠.某沙漠经过一段时间的治理，已有1000公顷植被，假设每年植被面积以20%的增长率呈指数增长，按这种规律发展下去，则植被面积达到4000公顷至少需要经过的年数为（）（参考数据：取）
A.6 B.7
C.8 D.9
8．若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
9．，，且（3） (λ），则λ等于（　　）
A. B.－
C.± D.1
10．已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设函数，且；
（1）若，求的最小值；
（2）若在上能成立，求实数的取值范围
12．若角的终边经过点，则___________
13．若正数x，y满足，则的最小值是_________
14．正实数a，b，c满足a + 2-a = 2，b + 3b = 3，c + = 4，则实数a，b，c之间的大小关系为_________ .
15．函数是幂函数，且当时，是减函数，则实数=_______
16．已知函数，满足对任意都有成立，那么实数的取值范围是________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在中，，，点在的延长线上，点是边上的一点，且存在非零实数，使.
（Ⅰ）求与的数量积；
（Ⅱ）求与的数量积.

18．已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求的解析式；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
19．已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点.
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当直线l的倾斜角为45º时，求弦AB的长.
20．已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
21．已知不过第二象限的直线l：ax-y-4=0与圆x2+（y-1）2=5相切
（1）求直线l的方程；
（2）若直线l1过点（3，-1）且与直线l平行，直线l2与直线l1关于直线y=1对称，求直线l2的方程
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据给定条件求出函数的解析式，再将问题转化成求两个函数图象公共点个数作答.
【详解】因定义域为的单调递增函数满足：，有，
则存在唯一正实数使得，且，即，于是得，
而函数在上单调递增，且当时，，因此，，
方程，
于是得方程的解的个数是函数与的图象公共点个数，
在同一坐标系内作出函数与的图象如图，

观察图象知，函数与的图象有3个公共点，
所以方程解的个数为3.
故选：A
【点睛】思路点睛：图象法判断方程的根的个数，常常将方程变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
2、C
【解析】 ,选C
3、B
【解析】利用“”分段法确定正确选项.
【详解】，，
所以.
故选：B
4、A
【解析】由奇偶性结合得出，再结合解析式得出答案.
【详解】由函数是定义域为的奇函数，且，，而，则
故选：A
5、B
【解析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案
【详解】由题意，某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%，若在银行存放5年，可得金额为元，即利息为元，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝时，利率可达4.01%，若存放5年，可得金额为元，即利息为元，所以将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息元，故选B
【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题
6、C
【解析】根据扇形面积公式，求出扇形的半径，再由弧长公式，即可求出结论.
【详解】因为扇形的弧长为4，面积为2，
设扇形的半径为，则，
解得，则扇形的圆心角的弧度数为.
故选:C.
【点睛】本题考查扇形面积和弧长公式应用，属于基础题.
7、C
【解析】根据题意列出不等式，利用对数换底公式，计算出结果.
【详解】经过年后，植被面积为公顷，由，得.因为，所以，又因为，故植被面积达到4000公顷至少需要经过的年数为8.
故选：C
8、C
【解析】先分别探究函数与的单调性，再求的最大值.
【详解】因为在上单调递增，在上单调递增.
而，，
所以的取值范围为.
【点睛】本题主要考查分段函数的最值以及指数函数，对数函数的单调性，属于中档题.
9、A
【解析】利用向量垂直的充要条件列出方程，利用向量的运算律展开并代值，即可求出λ
【详解】∵，∴=0，∵(3)⊥(λ)，∴（3）•（λ）=0，
即3λ2+（2λ﹣3）﹣22=0，∴12λ﹣18=0，解得λ=
故选A
10、B
【解析】要取得最小值，则与共线且反向
即位于的中线上，中线长为
设，则
则
当时，取最小值，

故选
第II卷（非选择题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、（1）3（2）或
【解析】（1）由可得，再利用基本不等式中乘“1”法的应用计算可得；
（2）将已知转化为不等式有解，再对参数分类讨论，分别计算可得.
【小问1详解】
函数，由，可得，
所以，
当时等号成立，又，，，解得时等号成立，
所以的最小值是3.
【小问2详解】
由题知，在上能成立，即能成立，
即不等式有解
①当时，不等式的解集为，满足题意；
②当时，二次函数开口向下，必存在解，满足题意；
③当时，需，解得或
综上，实数的取值范围是或
12、
【解析】根据定义求得，再由诱导公式可求解.
【详解】角的终边经过点,
则，
所以.
故答案为：.
13、##
【解析】由基本不等式结合得出最值.
【详解】（当且仅当时，等号成立），即最小值为.
故答案为：
14、##
【解析】利用指数的性质及已知条件求a、b的范围，讨论c的取值范围，结合对数的性质求c的范围
【详解】由，
由，又，
当时，，显然不成立；
当时，，不成立；
当时，；
综上，.
故答案为：
15、-1
【解析】根据幂函数的定义，令m2﹣m﹣1=1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数当x∈（0，+∞）时为减函数即可
【详解】解：∵幂函数，
∴m2﹣m﹣1=1，
解得m=2，或m=﹣1；
又x∈（0，+∞）时，f（x）为减函数，
∴当m=2时，m2+m﹣3=3，幂函数为y=x3，不满足题意；
当m=﹣1时，m2+m﹣3=0，幂函数为y=x﹣3，满足题意；
综上，m=﹣1，
故答案为﹣1
【点睛】本题考查了幂函数的定义与图像性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值
16、
【解析】利用求解分段函数单调性的方法列出不等式关系，由此即可求解
【详解】由已知可得函数在R上为单调递增函数，
则需满足，解得，
所以实数a的取值范围为，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ)-18；(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)在中由余弦定理得，从而得到三角形为等腰三角形，可得，由数量积的定义可得．(Ⅱ)根据所给的向量式可得点在的角平分线上，故可得，所以，因为，所以得到．设设，则得到，，根据数量积的定义及运算率可得所求
试题解析：
（Ⅰ）在中，
由余弦定理得，
所以，
所以是等腰三角形，且，
所以,
所以
（Ⅱ）由,
得，
所以点在的角平分线上，
又因为点是边上的一点，
所以由角平分线性质定理得，
所以.
因为，
所以.
设，
则，
由，得，
所以，
又，
所以

点睛：解题时注意在三角形中常见的向量与几何特征的关系：
（1）在中，若或，则点是的外心；
（2）在中，若，则点是的重心；
（3）在中，若，则直线一定过的重心；
（4）在中，若，则点是的垂心；
（5）在中，若，则直线通过的内心.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）由是奇函数可得，从而可求得值，即可求得的解析式；
（2）由复合函数的单调性判断在上单调递减，结合函数的奇偶性将不等式恒成立问题转化为，令，利用二次函数的性质求得的最大值，即可求得的取值范围
【详解】（1）因为函数为奇函数，
所以，即，
所以，
所以，
可得，函数.
（2）由（1）知
所以在上单调递减.
由，得，
因为函数是奇函数，
所以，
所以，整理得，
设，，
则，
当时，有最大值，最大值为.
所以，即.
【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
19、（1）2x-y-2=0；（2）
【解析】（1）由圆的方程可求出圆心，再根据直线过点P、C，由斜率公式求出直线的斜率，由点斜式即可写出直线l的方程；
（2）根据点斜式写出直线l的方程，再根据弦长公式即可求出
【详解】（1）已知圆C：的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为，直线l的方程为y=2(x-1)，即 2x-y-2=0
（2）当直线l的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l的方程为y-2=x-2 ,即x-y=0.
所以圆心C到直线l的距离为
因为圆的半径为3，所以，弦AB的长
【点睛】本题主要考查直线方程的求法以及圆的弦长公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题
20、（1）．（2）．（3）
【解析】（1）当时，解对数不等式即可；（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可；（3）根据条件得到，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.
试题解析：（1）由，得，解得
（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0得log2（a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0
即log2（a）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，
即a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①
则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，
即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②，
当a＝4时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立
当a＝3时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立
当a≠4且a≠3时，方程②的解为x＝﹣1或x，
若x＝﹣1是方程①的解，则a＝a﹣1＞0，即a＞1，
若x是方程①的解，则a＝2a﹣4＞0，即a＞2，
则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2
综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，
则a的取值范围是1＜a≤2，或a＝3或a＝4
（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，
即log2（a）﹣log2（a）≤1，
即a≤2（a），即a
设1﹣t＝r，则0≤r，
，
当r＝0时，0，
当0＜r时，，
∵y＝r在（0，）上递减，
∴r，
∴，
∴实数a的取值范围是a
【一题多解】（3）还可采用：当时，，，
所以在上单调递减
则函数在区间上的最大值与最小值分别为，

即，对任意成立
因为，所以函数在区间上单调递增，
时，有最小值，由，得
故的取值范围为
21、（1）2x-y-4=0 （2）2x+y-9=0
【解析】（1）利用直线l与圆x2+（y-1）2=5相切，，结合直线l不过第二象限，求出a，即可求直线l的方程；
（2）直线l1的方程为2x-y+b=0，直线l1过点（3，-1），求出b，即可求出直线l1的方程；利用直线l2与l1关于y=1对称，求出直线的斜率，即可求直线l2的方程
【详解】（1）∵直线l与圆x2+（y-1）2=5相切，∴，
∵直线l不过第二象限，∴a=2，
∴直线l的方程为2x-y-4=0；
（2）∵直线l1过点（3，-1）且与直线l平行，
∴直线l1方程为2x-y+b=0，
∵直线l1过点（3，-1），∴b=-7，
则直线l1的方程为2x-y-7=0，
∵直线l2与l1关于y=1对称，∴直线l2的斜率为-2，且过点（4，1），
∴直线l2的斜率为y-1=-2（x-4），即化简得2x+y-9=0
【点睛】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，属于中档题