河北省鸡泽县第一中学2025-2026学年高二上数学期末考试试题含解析.doc

河北省鸡泽县第一中学2025-2026学年高二上数学期末考试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，点坐标为，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
2．已知点是双曲线的左焦点，定点，是双曲线右支上动点，则的最小值为（）.
A.7 B.8
C.9 D.10
3．如图，在长方体中，，，则直线和夹角的余弦值为（ ）

A. B.
C. D.
4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A.1 B.2
C. D.
5．（ ）
A.-2 B.0
C.2 D.3
6．抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点．反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线，从点发出一条平行于x轴的光线，经过抛物线两次反射后，穿过点，则光线从A出发到达B所走过的路程为（）
A.8 B.10
C.12 D.14
7．（文科）已知点为曲线上的动点,为圆上的动点,则的最小值是
A.3 B.5
C. D.
8．设各项均为正项的数列满足，，若，且数列的前项和为，则（）
A. B.
C.5 D.6
9．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（）
A.圆 B.椭圆
C.抛物线 D.直线
10．已知实数a，b满足，则下列不等式中恒成立的是（）
A. B.
C. D.
11．已知直线，当变化时，所有直线都恒过点（）
A.
B.
C.
D.
12．已知且，则下列不等式恒成立的是
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数单调增区间为______.
14．过点的直线与抛物线相交于，两点，，则直线的方程为______.
15．若两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为_________
16．已知抛物线：，过焦点作倾斜角为的直线与交于，两点，，在的准线上的投影分别为，两点，则__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
(I)若曲线在点处的切线方程为,求的值；
(II)若,求的单调区间.
18．（12分）已知等差数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最大值及相应的的值.
19．（12分）已知点是椭圆E：一点，且椭圆的离心率为.

（1）求此椭圆E方程；
（2）设椭圆的左顶点为A，过点A向上作一射线交椭圆E于点B，以AB为边作矩形ABCD，使得对边CD经过椭圆中心O.
（i）求矩形ABCD面积的最大值；
（ii）问：矩形ABCD能否为正方形？若能，求出直线AB的方程；若不能，请说明理由.
20．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线交抛物线于两点，设，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
21．（12分）著名的“康托尔三分集”是由德国数学家康托尔构造的，是人类理性思维的产物，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段记为第一次操作；再将剩下的两个闭区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷.每次操作后剩下的闭区间构成的集合即是“康托尔三分集”.例如第一次操作后的“康托尔三分集”为.
（1）求第二次操作后的“康托尔三分集”；
（2）定义的区间长度为，记第n次操作后剩余的各区间长度和为，求；
（3）记n次操作后“康托尔三分集”的区间长度总和为，若使不大于原来的，求n的最小值.
（参考数据：，）
22．（10分）等比数列中，，
（1）求的通项公式；
（2）记为的前n项和．若，求m的值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，进而把问题转化为求|PM|+|PD|的最小值，即可求解
【详解】解：由题意，设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，
所以要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，

当D，P，M三点共线时，|PM|+|PD|取得最小值为
故选：B
2、C
【解析】设双曲线的右焦点为M，作出图形，根据双曲线的定义可得，可得出
，利用A、P、M三点共线时取得最小值即可得解.
【详解】∵是双曲线的左焦点，
∴，，，，
设双曲线的右焦点为M，则，
由双曲线的定义可得，则，
所以，
当且仅当A、P、M三点共线时，等号成立，
因此，的最小值为9.
故选：C.

【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：
（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；
（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.
3、D
【解析】如图建立空间直角坐标系，分别求出的坐标，由空间向量夹角公式即可求解.
【详解】如图：以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，
所以，
所以直线和夹角的余弦值为，
故选：D.

4、A
【解析】分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求出结果
【详解】双曲线中，焦点坐标为
渐近线方程为：
∴双曲线的焦点到渐近线的距离
故选：A
5、C
【解析】根据定积分公式直接计算即可求得结果
【详解】由
故选：C
6、C
【解析】利用抛物线的定义求解.
【详解】如图所示：

焦点为，设光线第一次交抛物线于点，第二次交抛物线于点，
过焦点F，准线方程为：，
作垂直于准线于点，作垂直于准线于点，
则，
，
，
，
故选：C
7、A
【解析】数形结合分析可得,当时能够取得的最小值,根据点到圆心的距离减去半径求解即可.
【详解】由对勾函数的性质,可知,当且仅当时取等号,
结合图象可知当A点运动到时能使点到圆心的距离最小,
最小为4,从而的最小值为.

故选：A
【点睛】本题考查两动点间距离的最值问题,考查转化思想与数形结合思想,属于中档题.
8、D
【解析】由利用因式分解可得，即可判断出数列是以为首项，为公差的等差数列，从而得到数列，数列的通项公式，进而求出
【详解】等价于，而，
所以，即可知数列是以为首项，为公差的等差数列，即有
，所以，
故
故选：D
9、A
【解析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积定义求解其轨迹方程即可.
【详解】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10、D
【解析】利用特殊值排除错误选项，利用函数单调性证明正确选项.
【详解】时，，但，所以A选项错误.
时，，但，所以B选项错误.
时，，但，所以C选项错误.
在上递增，所以，即D选项正确.
故选：D
11、D
【解析】将直线方程整理为，从而可得直线所过的定点.
【详解】可化为，∴直线过定点，
故选：D.
12、C
【解析】∵且，
∴
∴
选C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用导数法求解.
【详解】因为函数，
所以，
当时，，
所以的单调增区间是，
故答案为：
14、##
【解析】根据抛物线方程可得焦点坐标，进而点P为抛物线的焦点，设，利用抛物线的定义可得，有轴，即可得出结果.
【详解】由题意知，抛物线的焦点坐标，又，
所以点P为抛物线的焦点，设，
由，由抛物线的定义得，解得，
所以AB垂直与x轴，所以直线AB的方程为：.
故答案为：
15、
【解析】建立如图直角坐标系，设点，根据题意和两点坐标求距离公式可得
，结合圆的面积公式计算即可.
【详解】以点A为坐标原点，射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系，如图，设点，

则，
由，化简并整理得：，
于是得点M轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其面积为，
所以M点的轨迹围成区域的面积为.
故答案为：
16、
【解析】设，则，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理即得.
【详解】由抛物线：可知则焦点坐标为，
∴过焦点且斜率为的直线方程为,化简可得，
设，则，
由可得，
所以
则
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）
（Ⅱ）在区间上单调递增,在区间上单调递减
【解析】（Ⅰ）求出函数的导函数，根据题意可得得到关于的方程组，解得；
（Ⅱ）求出函数的导函数，解得函数的单调递增区间，解得函数的单调递减区间.
【详解】解：（Ⅰ）

因为函数在点处的切线方程为

解得
（Ⅱ）
令,得或 .
因为,所以时， ；
时，.
故在区间上单调递增,在区间上单调递减
【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于基础题.
18、（1）
（2）当或时，有最大值是20
【解析】（1）用等差数列的通项公式即可.
（2）用等差数列的求和公式即可.
【小问1详解】
在等差数列中，∵,
∴，
解得，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴当或时，有最大值是20
19、（1）；
（2）(i)；(ii).
【解析】(1)根据给定条件列出关于a，b的方程组，解方程组代入得解.
(2)(i)设直线AB方程，与椭圆方程联立求出线段AB长，再求出原点O到直线AB距离列出矩形面积求解即可；
(ii)由(i)及列出方程，由方程解的情况即可判断计算作答.
【小问1详解】
令椭圆半焦距为c，依题意，，解得，
所以椭圆E的方程为：.
【小问2详解】
(i)由(1)知，，设直线AB的斜率为，则直线AB的方程为：，
由消去y并整理得：，点的横坐标，
则点的横坐标有：，解得，
则有，因矩形的边CD过原点O，则，
因此，矩形的面积，当且仅当，即时取“=”，
所以矩形ABCD面积的最大值是.
(ii)假定矩形ABCD能成为正方形，则，由(i)知：，
整理得：，即，而，解得，
所以矩形ABCD能成为正方形，此时，直线AB的方程为.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以
斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过二次函数或基本不等式或导数等求得.
20、（1）
（2）是，0
【解析】（1）根据题意，设抛物线的方程为：，则，，进而根据得，进而得答案；
（2）直线的方程为，进而联立方程，结合韦达定理与向量数量积运算化简整理即可得答案.
【小问1详解】
解：由题意，设抛物线的方程为：，
所以点的坐标为，点的坐标为，
因为，所以，即，解得.
所以抛物线的方程为：
【小问2详解】
解：设直线的方程为，
则联立方程得，
所以，，
因为，
所以
.
所以为定值.
21、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）根据“康托尔三分集”的定义，即可求得第二次操作后的“康托尔三分集”；
（2）根据“康托尔三分集”的定义，分别求得前几次的剩余区间长度的和，求得其通项公式，即可求解；
（3）由（2）可得第次操作剩余区间的长度和为，结合题意，得到，利用对数的运算公式，即可求解.
【小问1详解】
解：根据“康托尔三分集”的定义可得：
第一次操作后的“康托尔三分集”为，
第二次操作后的“康托尔三分集”为；
【小问2详解】
解：将定义的区间长度为，根据“康托尔三分集”的定义可得：
每次去掉的区间长后组成的数为以为首项，为公比的等比数列，
第1次操作去掉的区间长为，剩余区间的长度和为，
第2次操作去掉两个区间长为的区间，剩余区间的长度和为，
第3次操作去掉四个区间长为的区间，剩余区间的长度和为，
第4次操作去掉个区间长为，剩余区间的长度和为，

第次操作去掉个区间长为，剩余区间的长度和为，
所以第次操作后剩余的各区间长度和为；
【小问3详解】
解：设定义区间，则区间长度为1，
由（2）可得第次操作剩余区间的长度和为，
要使得“康托三分集”的各区间的长度之和不大于，
则满足，即，即，
因为为整数，所以的最小值为.
22、（1）或；
（2）5.
【解析】（1）设的公比为q，解方程即得解；
（2）分两种情况解方程即得解.
【小问1详解】
解：设的公比为q，由题设得
由已知得，解得（舍去），或
故或
【小问2详解】
解：若，则
由，得，解得
若，则
由，得，
因为，所以此方程没有正整数解
综上，