2025年黑龙江龙江二中数学高一第一学期期末教学质量检测试题含解析.doc

2025年黑龙江龙江二中数学高一第一学期期末教学质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知直线和互相平行，则实数等于（ ）
A.或3 B.
C. D.1或
2．函数的零点所在的区间为　　
A. B.
C. D.
3．已知是R上的奇函数，且对，有，当时，，则（ ）
A.40 B.
C. D.
4．已知函数，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
5．已知，，且，则
A.2 B.1
C.0 D.-1
6．下列各对角中，终边相同的是（ ）
A.和 B.和
C.和 D.和
7．设，，，则有（）
A. B.
C. D.
8．已知函数，则的图像大致是（）
A. B.
C. D.
9．若直线与圆交于两点，关于直线对称，则实数的值为（ ）
A. B.
C. D.
10．对空间中两条不相交的直线和，必定存在平面，使得（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．以边长为2的正三角形的一条高所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体的表面积为__________
12．已知定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______
13．函数最大值为__________
14．已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_____
15．函数的值域是________
16．已知，则_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点

（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1
18．如图，在三棱柱中，侧棱平面，、分别是、的中点，点在侧棱上，且，，求证：

（1）直线平面；
（2）平面平面.
19．设函数且是定义在上的奇函数
（1）求的值；
（2）若，试判断函数的单调性不需证明，求出不等式的解集
20．已知直线
（1）求证：直线过定点
（2）求过(1)的定点且垂直于直线直线方程.
21．阅读材料：我们研究了函数的单调性、奇偶性和周期性，但是这些还不能够准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，图象在上都是上升的，但是却有着显著的不同.如图1所示，函数的图象是向下凸的，在上任意取两个点，函数的图象总是在线段的下方，此时函数称为下凸函数；函数的图象是向上凸的，在上任意取两个点，函数的图象总是在线段的上方，则函数称为上凸函数.具有这样特征的函数通常称做凸函数.

定义1：设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的下凸函数.如图2.下凸函数的形状特征：曲线上任意两点之间的部分位于线段的下方.定义2：设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的上凸函数.如图3.上凸函数的形状特征：曲线上任意两点之间的部分位于线段的上方.上凸（下凸）函数与函数的定义域密切相关的.例如，函数在为上凸函数，在上为下凸函数.函数的奇偶性和周期性分别反映的是函数图象的对称性和循环往复，属于整体性质；而函数的单调性和凸性分别刻画的是函数图象的升降和弯曲方向，属于局部性质.关于函数性质的探索，对我们的启示是：在认识事物和研究问题时，只有从多角度、全方位加以考查，才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面的问题：
（1）请尝试列举一个下凸函数：___________；
（2）求证：二次函数是上凸函数；
（3）已知函数，若对任意，恒有，尝试数形结合探究实数a的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由两直线平行，得到，求出，再验证，即可得出结果.
详解】∵两条直线和互相平行，
∴，解得或，
若，则与平行，满足题意；
若，则与平行，满足题意；
故选：A
2、B
【解析】函数的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反，函数是连续函数
【详解】解：函数是连续增函数，
，，即，
函数的零点所在区间是，
故选：
【点睛】本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号，属于基础题
3、C
【解析】根据已知和对数运算得，，再由指数运算和对数运算法则可得选项.
【详解】因为，，
故，.
∵，故.
故选：C
【点睛】关键点点睛：解决本题类型的问题的关键在于：1、由已知得出抽象函数的周期；2、根据函数的周期和对数运算法则将自变量转化到已知范围中，可求得函数值.
4、A
【解析】可判断在单调递增，根据单调性即可判断.
【详解】当时，单调递增，
，，
，.
故选：A.
5、D
【解析】∵，
∴
∵
∴
∴
故选D
6、C
【解析】利用终边相同的角的定义，即可得出结论
【详解】若终边相同，则两角差，
A.，故A选项错误；
B.，故B选项错误；
C.，故C选项正确；
D.，故D选项错误.
故选：C.
【点睛】本题考查终边相同的角的概念，属于基础题.
7、C
【解析】利用和差公式，二倍角公式等化简，再利用正弦函数的单调性比较大小.
【详解】，
，，
因为函数在上是增函数，，
所以
由三角函数线知：，，因为，
所以，所以

故选：C.
8、C
【解析】判断函数的奇偶性，再利用时，函数值的符号即可求解.
【详解】由，
则，
所以函数为奇函数，排除B、D.
当，则，
所以，，
所以，排除A.
故选：C
9、A
【解析】
所以直线过圆的圆心，
圆的圆心为，
，解得.
故选A.
【点睛】本题给出直线与圆相交，且两个交点关于已知直线对称，求参数的值．着重考查了直线与圆的位置关系等知识，属于基础题.
10、C
【解析】讨论两种情况，利用排除法可得结果.
【详解】和是异面直线时，选项A、B不成立，排除A、B；
和平行时，选项D不成立，排除D,
故选C.
【点睛】本题主要考查空间线面关系的判断，考查了空间想象能力以及排除法的应用，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】以边长为2的正三角形的一条高所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体为圆锥，圆锥的底面半径，母线长，
该几何体的表面积为：.
故答案为
12、
【解析】根据题意求出函数和图像，画出图像根据图像解题即可.
【详解】因为满足，即；
又由，可得，因为当时，
所以当时，，所以，即；
所以当时，，所以，即；
根据解析式画出函数部分图像如下所示；因为对任意，恒成立，
根据图像当时，函数与图像交于点，
即的横坐标即为的最大值才能符合题意，所以，解得，
所以实数的取值范围是：.
故答案为：.

13、3
【解析】分析:利用复合函数的性质求已知函数的最大值.
详解：由题得当=1时，函数取最大值2×1+1=3.故答案为3.
点睛：本题主要考查正弦型函数的最大值，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.
14、
【解析】利用函数是减函数,根据对数的图象和性质判断出的大致范围，再根据为减函数，得到不等式组,利用函数的图象,方程的解的个数,推出的范围
【详解】函数（且），
在上单调递减，则：；
解得，
由图象可知，在上,有且仅有一个解，
故在上,同样有且仅有一个解，
当即时,联立,
则,解得或1（舍去），
当时由图象可知，符合条件，
综上：的取值范围为.
故答案为

【点睛】本题考查函数的单调性和方程的零点,对于分段函数在定义域内是减函数,除了每一段都是减函数以外,还要注意右段在左段的下方,经常会被忽略,是一个易错点；复杂方程的解通常转化为函数的零点,或两函数的交点,体现了数学结合思想,属于难题.
15、##
【解析】求出的范围，再根据对数函数的性质即可求该函数值域.
【详解】，而定义域上递减，
，无最小值，
函数的值域为
故答案为：.
16、
【解析】
将条件平方可得答案.
【详解】因为，所以，所以
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.
【解析】（1）通过证明，来证得平面.
（2）通过证明平面，来证得平面平面.
【详解】（1）由于分别是的中点，所以.
由于平面,平面，所以平面.
（2）由于平面，平面，所以.
由于，所以平面,
由于平面，所以平面平面.

【点睛】本小题主要考查线面平行证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.
18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）由中位线的性质得出，由棱柱的性质可得出，由平行线的传递性可得出，进而可证明出平面；
（2）证明出平面，可得出，结合可证明出平面，再由面面垂直的判定定理即可证明出结论成立.
【详解】（1）、分别为、的中点，为的中位线，，
为棱柱，，，
平面，平面，平面；
（2）在三棱柱中，平面，
平面，，
又且，、平面，
平面，而平面，故.
又，且，、平面，
平面，又平面，平面平面.
【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明，考查推理能力，属于中等题.
19、（1）
（2）
【解析】（1）由奇函数的性质可得，从而可求出的值；
（2）由可得，从而可判断出函数单调性，然后根据函数的奇偶性和单调性解不等式
【小问1详解】
∵是定义在上的奇函数，
，即  ，
，  
当时，，
，
 故符合题意
【小问2详解】
∵，又且，
，
都是上的减函数，
是定义在上的减函数，
故
，

，
不等式的解集
20、（1）见解析；（2）.
【解析】⑴将直线化为，解不等式组即可得证；⑵由（1）知定点为，结合题目条件计算得直线方程
解析：（1）根据题意将直线化为的
解得，所以直线过定点
（2）由（1）知定点为，设直线的斜率为k，
且直线与垂直，所以，
所以直线的方程为
21、（1），；
（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）根据下凸函数的定义举例即可；
（2）利用上凸函数定义证明即可；
（3）根据（2）中结论，结合条件，函数满足上凸函数定义，根据数形结合求得参数取值范围.
【小问1详解】
，；
【小问2详解】
对于二次函数，，满足

，
即，满足上凸函数定义，二次函数是上凸函数.
【小问3详解】
由（2）知二次函数是上凸函数，
同理易得二次函数为下凸函数，
对于函数，其图像可以由两个二次函数的部分图像组成，如图所示，

若对任意，恒有，
则函数满足上凸函数定义，即，
即.